网络的稳定性无源性和耗散性.docx

网络的稳定性无源性和耗散性.docx

《网络的稳定性无源性和耗散性.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《网络的稳定性无源性和耗散性.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

网络的稳定性无源性和耗散性

网络的稳定性、无源性和耗散性

第1章概述1

第2章网络的稳定性2

2.1系统平衡点稳定性定义2

2.1.1自治系统平衡点稳定性2

2.1.2时变系统平衡点稳定性3

2.2平衡点稳定性判别方法4

2.2.1自治系统平衡点稳定性判据4

2.2.2时变系统平衡点稳定性判别6

2.3Lyapunov函数的构造方法6

2.4Lp稳定性7

2.5L2增益8

2.6小增益定理9

第3章网络的无源性10

3.1无源性的概念10

3.2无源性条件11

第4章网络的耗散性13

4.1耗散性定义13

4.2耗散性意义：

14

第5章三者之间的关系16

5.1无源性与稳定性关系16

5.2无源性与耗散性的关系17

参考文献18

网络的稳定性、无源性和耗散性

第1章概述

稳定是系统能够正常运行的前提必要条件。

论文介绍了非线性系统平衡点Lyapunov稳

定性分析理论，包括各种稳定形式的严格数学定义、稳定性判别定理。

另外，从映射或算子

的角度给出了非线性系统输入一输出稳定性的定义与判别方法。

无源性的概念是与实际系统的能量存储函数以及外部输入和输出信号相关的概念。

它把系统Lyapunov稳定性和L?

稳定性联系在一起，为分析非线性系统平衡点处Lyapunov稳

定性和系统输入一输出L2稳定性提供了方便直观的工具。

论文介绍了无源性定义和条件。

将无源性的概念扩展，即可引入与系统L2性能准则相关的系统耗散性的概念，这为分

析非线性系统抗扰性能提供了有力工具。

论文对耗散性概念、条件和意义进行了阐述。

论文还表明了三者之间的关系。

第2章网络的稳定性

对于实际工程中的动态系统来讲，稳定性是最基本的要求。

对于非线性系统的稳定性分析，存在许多不同类型的稳定性问题⑴。

例如，Lyapunov稳定性一无外部信号激励的情况

下，系统的状态能够从任意的初始点回到自身所固有的平衡状态的特性。

因此，也称为平衡

点的Lyapunov稳定性。

输入-输出稳定性和输入-状态稳定性一在有界的外部信号激励下，系统的输出和状态响应能够停留在有界的范围内的稳定特性，输入-输出稳定性也叫有界输

入有界输出（BIBO）稳定性。

对于线性系统来讲，平衡点的Lyapunov稳定性和输入-状态（或输出）稳定性实际上是等

价的，但是对于一般的非线性系统则不然。

下面1-3节讨论平衡点的Lyapunov稳定性，4-6节讨论输入-状态（或输出）稳定性。

2.1系统平衡点稳定性定义

2.1.1自治系统平衡点稳定性

考虑如下所描述的非线性自治系统：

x=f（x）,Xo=x（0）（2-1）

式中，D5Rn为状态变量；f:

D—.Rn是关于x局部Lipschitz的；x°是系统初始条件。

假设D为包含x=0点的域，且x=0为式（2-1）系统的一个平衡点，即f（0）=0。

根据微分方程理论可知，在f（J是关于x局部Lipschitz的条件下，对于任意初始条件x0，式（2-1）系统的解x（t）二、（X0,t）在［0,；）上有定义且是连续的。

以后的讨论中，除非特别声明，

均假设系统满足上述解的存在性条件。

需指出，这里只讨论平衡点在坐标原点的稳定性问题。

这是不失一般性的。

因为任何平衡点均可通过坐标变量变换而移到原点，如X=f（X）,f（xe）三0,Xe=0，则令y=X—xe，那

么，就有y=x=f（yxe）二g（y）,g（0）三0，平衡点为ye=0。

为此，对于式（2-1）系统有如下的一些平衡点稳定性定义。

定义2.1（Lyapunov稳定性）如果对于任意给定的；.0，存在一个常数「.二「.（；）.0,

使得对任意满足||x°卜：

:

.的初始条件x，式（2-1）系统的解x（t）满足

||x（t）|^^V^0（2-2）

则称式（2-1）系统在平衡点xe=0处是Lyapunov稳定的，简称稳定。

（2-3）

定义2.2（渐近稳定性）如果式（2-1）系统的平衡点焉=0是稳定的，且选取■:

.使得

||x）||v6n!

勢住）=0

或等价地，存在a0和T二T（a）.0，使得||x°||：

：

：

a,-t_T，则称式（2-1）系统在平衡点Xe=0处是渐近稳定的。

定义2.3（指数稳定性）如果存在常数0，使得对任意满足||X0||：

：

=的初始条件x，式（2-1）系统的解x（t）满足

||x（t）||^me7||x0||,—t—0（2-4）

则称式（2-1）系统在平衡点xe=0处是指数稳定的。

定义2.4（不稳定）如果对于某一个；・0,不管、:

多么小，至少存在一个x0，使得||x0||：

：

：

、：

时，式（2-1）系统的解x（t）有

||x（t1）||*20（2-5）

则称式（2-1）系统在平衡点xe=0处是不稳定的。

注2.1由上述定义可以知道，一个系统在平衡点处如果是指数稳定的，就一定是渐近

稳定的、Lyapunov稳定的，如果是渐近稳定的就一定是Lyapunov稳定的；但反之，若是

Lyapunov稳定的，不一定是渐近稳定的，是渐近稳定的，不一定是指数稳定的。

注2.2对于非线性系统，还要注意局部稳定性和全局稳定性的概念。

局部稳定性是指

对于-x（0）Bh={xRn|||x_XeIL：

：

h}，性能成立。

而全局稳定性是指-x（0）Rn，性能均成

立。

注2.3对于线性定常系统，渐近稳定性总是全局的和指数稳定的，不稳定总是隐含指数发散的。

只有非线性系统才区别渐近稳定性、指数稳定性、全局稳定和局部稳定。

线性系

统的局部稳定性和全局稳定性是一致的，因为线性系统只有一个平衡点，平衡点的稳定性，即是系统的全局稳定性。

2.1.2时变系统平衡点稳定性

考虑非线性时变系统

x=f（t,x）（2-6）

式中，x・D为状态变量；t.R•为时间变量；f:

[0,：

：

）D>Rn是t的分段连续函数，且关

于x在[0,：

：

）D上局部Lipschitz，dRn是包含原点x=0的域。

f（t,0）=0,-t_0,即x=0

是平衡点。

同样，也只研究平衡点在原点的情况。

如果平衡点不在原点，可以通过坐标变换将其

移到原点。

例如，假设系统dy=g（,y）的解为y（.）,._a,通过坐标变换x=y_y（.）,t=._a，di

系统变换为

x=g（,y）-V（）二g（ta,xy（ta））-y（t-a）g（ta,xy（ta））—g（t-a,y（t-a））f（t,x）因此，原点x=0是系统x=f（t,x）在t=0时的一个平衡点，可以通过判别被变换系统在原点的稳定性能，来确定原系统解y（.）的稳定性能。

对于任意初始条件x（t。

）=X0,（x°,t0）•D，式（2-6）系统的解x（t）=（t,t0,x3）在[如：

：

）上有定义且是连续的。

非自治系统平衡点处的稳定性概念与上面介绍的自治系统的稳定性概念基本相同，不同的是自治系统的解仅依赖于t-t。

，而非自治系统的解既依赖于t，又依赖于t0。

因此，对于非自治系统，各种稳定性的定义需要修改，而且需要更详细的划分。

定义2.5（Lyapunov稳定性和一致Lyapunov稳定性）如果对于任意给定的；.0及初始时刻to-0，存在一个常数：

=、：

（■:

切・0，使得对任意满足|以（切IF：

：

、；的初始条件x（to），式（2-6）系统的解（t,t0,x0）满足

||帕,匕冷）||心,仍汛刃（2-7）

则称平衡点xe=0是Lyapunov稳定的。

如果在上述定义中，（;）0而与t°无关，则称平衡点夫=0是一致Lyapunov稳定

的。

如果式（2-7）对任意x（t°）・Rn成立，则称平衡点人=0是全局稳定的。

定义2.6（渐近稳定性和一致渐近稳定性）如果式（2-6）系统的平衡点xe=0是稳定的，

且存在c=c（t0）0使得

]im：

||（t,t0,x0）||=0,-||x（t°）||：

：

:

c（2-8）

则称平衡点xe=0是渐近稳定的。

如果平衡点x.=0是渐近稳定的，且存在的c与to无关，则称平衡点x.=0是一致渐近稳定的。

如果平衡点人=0是一致稳定的，且对于每对正数；和c，存在T=T（；,c）.0，使得

IIx（t）||

则称平衡点x.=0是全局一致渐近稳定的。

定义2.7（指数稳定性）若式（2-6）系统在平衡点x.=0是渐近稳定的，且存在正数k0

和.0,使得下式成立：

IIx（t）归k||^||e-（t3-t_t°,-||x（t°）||：

：

：

c（2-10）

则称平衡点xe=0是指数稳定的。

如果式（2-10）对任意x（t0）■Rn成立，则称平衡点x.=0全局指数稳定。

需指出，时变系统平衡点的指数稳定即为一致指数稳定。

2.2平衡点稳定性判别方法

第2.1节给出了系统平衡点各种稳定性的定义，平衡点的稳定性是可以根据这些定义来

判别的，但是直接由定义进行系统稳定性判别，有时候是很困难的，因此，控制理论发展了

平衡点稳定性判别方法。

2.2.1自治系统平衡点稳定性判据

1.Lyapunov稳定性定理

定理2.1对于式（2-1）系统，令x=0是平衡点，D二R是包含x=0的域，V:

D/R是连续可微函数。

如果在D内，有

（1）V（x）0，且V（0）=0，即V（x）在D内是正定函数；

（2）V（x）_0,即V（x）是半负定函数。

则系统在平衡点x=0处是Lyapunov稳定的。

2.渐近稳定性定理

定理2.2对于式（2-1）系统，令x=0是平衡点，D二R1是包含x=0的域，V:

D—;R是连续可微函数。

如果在D内，有

（1）V（x）・0,且V（0）=0,即卩V（x）在D内是正定函数；

（2）V（x）<0，且V（0）=0即V（x）是负定函数。

则系统在平衡点x=0处是渐近稳定的。

定理2.3（全局渐近稳定）对于式（2-1）系统，令x=0是平衡点，V：

R>R是连续可

微函数。

如果

（1）V（0）=0，V（x）0,一x=0,11x||J二=V（x），：

-；

（2）V（x）：

：

0,-x=0。

则系统在平衡点x=0处是全局渐近稳定的。

3.指数稳定性定理

定理2.4对于式（2-1）系统，令x=0是平衡点，DRn是包含x=0的域。

如果存在连续函数V（x），常数：

1^2,：

30，使得对任意的D，有

（1）：

-1||x||2

2||x||2；

・2

⑵V（x）—3||x||。

则系统在平衡点x=0处是局部指数稳定的。

如果对于任意的x.Rn，条件

（1）、

（2）都成立，

则平衡点是全局指数稳定的。

4.不稳定定理

定理2.5对于式（2-1）系统，令x=0是平衡点，DRn是包含x=O的域。

若存在连续可微函数V:

D_.R，有V（O）=0，并且对于在原点的任意小邻域内（||xo11很小）有V（xo）.0。

同时，定义集合U={x•Br|V（x）0},Br={x^D|||x||：

：

：

r}，在域U内V（x）.0。

则此时系统在平衡点是不稳定的。

5.线性定常系统稳定性判别

现在考虑自治系统的特例线性定常系统的情况。

线性定常系统描述为

x=Ax,x（0）=x0（2-11）

其中，A是非奇异阵。

式（2-11）系统有唯一的平衡点xe=0。

则平衡点的稳定性可由如下定

理判别。

定理2.6对于式（2-11）系统，平衡点崔=0是渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征

根满足Re.：

:

:

0，即矩阵A为Hurwitz矩阵。

而矩阵A特征根均为负实部，当且仅当对任意给定的正定对称阵Q，存在满足如下Lyapunov方程的对称正定阵P，而且，如果A阵是稳定阵，那么，P是方程的唯一解。

PAAtP=-Q（2-12）

6.非线性系统的线性化

考虑式（2-1）非线性系统，其中，f：

D—Rn是连续可微的函数，x=0包含在D中，且

是平衡点，f（0）=0。

由中值定理有

f（x）彳（0）並（z）x,i=1,2,…,n（2-13）

ex

其中，z是连接x与原点的线段上的一点。

由于f（0）=0,贝y

ffff

fi（x）4（z）x4（0）x=（z）亠（0）]x（2-14）

exexexex

所以有

x=Axg（x）（2-15）

fififi

其中，A二」（0）,g（x）=['（z）-（0）]x。

:

x_x

函数g（x）满足不等式g（x）£||fi（z）-f（0）||||x||，由于汙的连续性，有当||x||》0时，

&&&

|1£型|>0。

这意味着在原点的很小的邻域内，非线性系统可以用它的关于原点的线性化

||x||

x=Ax来近似表示，则x=f（x）在原点的稳定性可以用其近似方程中矩阵A来判别。

进而有

下面的Lyapunov间接定理。

定理2.7对于式（2-1）系统，x=0是平衡点，f:

D）Rn连续可微，D是原点的一个邻域。

令A丿（x）心，则

x

⑴如果A的所有特征根均为负实部Re-i：

：

:

0，原点是渐近稳定的。

（2）如果A的特征根有一个或多个Re，i.0，原点是不稳定的。

注2.4定理2.7并未给出对于所有的特征根Re.<0，对于一些特征根Re■i^0的情况

的结论，在这种情况下，用线性化不能确定原点的稳定性。

2.2.2时变系统平衡点稳定性判别

本节将讨论式（2-6）时变系统的平衡点Xe=0是稳定或渐近稳定的条件。

注意，与自治系统相比，时变系统的稳定性分析增加了一致性的概念。

设U二Rn是原点x=0的一个邻域，J二[to，：

：

）,t。

_0是初始时刻。

定理2.8（Lyapunov稳定定理）对于式（2-6）系统，若存在连续可微的正定函数

V（t,x）（V:

JU—；R）,并且V沿式（2-6）系统的轨迹对t的导数

V（t,x）二弓空f（t,x）（2-16）

是连续半负定的，则x=0是该系统稳定的平衡点。

若V（t,x）是正定且渐小的，即存在正定函数W（x）,W（x），使得W（x）W（t,x）乞W2（x）,-（t,x）•JU，则平衡点是一致Lyapunov稳定的。

定理2.9（渐近稳定定理）对于式（2-6）系统，若存在连续可微函数

V:

[0,：

：

）U-；R（U二{x|x・Rn,||x||：

：

:

r}），和连续正定函数（x）,W2（x）,W,（x），使得V（t,x）和

沿式（2-6）系统的任意轨迹V（t,x）的时间导数满足

（1）W1（x）

（V（V

⑵f（t,x）岂敏（X）

及

则x=0是该系统的一致渐近稳定的平衡点。

如果U=Rn，W1（x）是径向无界，则x=0是该

系统的全局一致渐近稳定的平衡点。

定理2.10对于式（2-6）系统，若V（t,x）:

JUrR是系统的Lyapunov函数，且满足

22

（1）ri||x||乞V（t,x）「2||x||<（t,xpJU；

d2

（2）V（t,x）乞」||x『，-（t,x）・JU。

dt

其中，r0,r20^0为给定常数，则零解x=0是指数稳定的。

2.3Lyapunov函数的构造方法

以下是一些实际中常采用的V（x）函数构造方法。

1.线性定常系统：

x=Ax

取Q=1，解ATP*PA-_Q，求出P，由P的正定性判别系统稳定性。

因此，V（x）函

数构造为V（x）=xTPx。

2.线性时变系统：

x=A（t）x

取Q=1，解-P（t^AT（t）P（t）-P（t）A（t）Q（t），求出P（t），由P（t）连续、对称、正定判

别系统稳定性。

因此，V（t,x）函数构造为V（t,x）=xTP（t）x。

3.非线性自治系统：

x=f（x）

4.

对称正定阵，贝UV（x）的时间导数为

V（x）=fTPffTPf=[J（x）f（x）]TPffTP[J（x）f（x）]=fT[JT（x）PPJ（x）]f

令Q=-JT（x）P-PJ（x），则给定Q，求出P，由P的正定性判别系统稳定性。

特例，P=l，则V（x）=fT（x）f（x）,q=JT（x）•J（x），是克拉索夫斯基法。

V=空一空X2…空X3

为负，同时满足旋度方程沁=丄

（i,j=1,2,...n），则在此条件下求得

「Xi^2Xn

XX1

V（x）二IVdx二V（X1,0,0,…,0）

00

X2

dXi亠l；V2（Xi,X2,0,...,0）dX2…亠l；Vn（Xi,X2,...,Xn）dXn

0

2.4Lp稳定性

一般将非线性系统的动态过程描述为如下的状态空间表达式形式：

Xf（t,x,u）

〈（2-17）

y二h（t,x,u）

式中，x・Rn为该系统的内部状态；u・Rm为系统外部输入信号；yRq为系统输出信号。

在考虑外部输入信号作用下系统的输出响应特性分析时，可以采用输入一输出法来建模非线

性系统，就像可以采用传递函数这种外部描述法来建模线性系统一样。

即非线性系统输入-

输出之间关系被描述为如下形式：

y二Hu（2-18）

其中，H代表某种映射或算子，指定了输入y和输出u之间的关系。

下面研究工程系统的品

质特性，即从映射或算子的角度给出非线性系统输入一输出稳定性的定义与判别方法。

1.Lp稳定性定义

定义2.8考虑式（2-18）非线性系统，其中算子H：

L；>L：

e。

如果存在定义在[0,：

J上的

K函数：

■（）和一个非负常数1,使得对任意T[0^：

），有

||（Hu）tIIlp「（I|UtII）Lp「，—u.LmPe（2-19）

成立，则称算子H是Lp稳定的。

其中|廿Lp表示向量空间的Lp范数。

定义2.9考虑式（2-18）非线性系统，其中算子H:

LmPe>Lqpe。

如果存在非负常数和一：

，

使得对任意T三[0,：

:

），有

II（Hu）t||Lp乞I|UtIlLp「，—u•L；e（2-20）

成立，则称算子H是有限增益Lp稳定的。

注2.5如果p-：

:

Lp是一致有界信号L「的空间，则L「稳定性即为有界输入有界输出

稳定性。

显然BIBO稳定意味着任何一个有界输入的激励响应都是有界的。

由于范数的等价性，表征BIBO稳定的定义不局限于L:

空间或：

：

--范数。

实际上，只要输入信号在某种范数意义下有界时，输出信号也在同一范数意义下是有界的，则可称该系统是BIBO稳定的。

定义2.10考虑式（2-18）非线性系统，其中算子H：

L；>L；e。

如果存在正常数r，使得

对所有具有SUpl|u（t）||_r的u・L；e,有不等式（2-19）或不等式（2-20）成立，则称算子0g

H:

L；e>Lpe是小信号Lp稳定的或小信号有限增益Lp稳定的。

2.5L2增益

l2稳定性在系统分析中起着特殊的作用，因为是平方可积信号，因此常可看成为有限的能量信号。

在许多抗干扰控制问题中，系统可以被看成是从一个干扰输入u到一个被控制

控制设计的

输出y的输入一输出映射，希望输出信号y很小。

如果使用L2输入信号，那么，控制设计的目的是保证输入一输出映射是有限增益L2稳定的，并且使系统的L2增益最小。

定理2.11考虑线性定常系统

（2-21）

x=AxBu

y=CxDu

其中，A为Hurwitz矩阵。

设G（s）二C（sl-A）°B-D，则系统的L2增益是

（2-22）

SUp||G（j，川2二"max（GT^j-）G（j-）^max[G（j■）]

••.R

||y||l2

即両sup||G（「）||2。

定理2.12考虑非线性自治系统

y2

H2

e2

U2

H1

yi

式中，xRn,u•Rm,yRq,f：

RnRn是局部Lipschiz的，g:

RnRnm,h:

RnRq在Rn上

那么，对于所有的x・Rn，系统是有限增益L2稳定的，且它的L2增益不大于。

2.6小增益定理

图2-1反馈连接系统

个系统都是有限增益Lp稳定的，即有

（2-25）

（2-26）

IIy1TIlLpE?

1||e,Thp+p1,We€L；e,X/T可0.=O）

||y2T||Lp乞2|6thp「2,一・L；e,—T•[0；）

进一步假设对每对输入u

F面的小增益定理给出了反馈连接系统有限增益Lp稳定性的一个条件。

定理2.13（小增益定理）对于图2-1反馈连接系统，在前面的假设条件下，如果12<1，

则反馈连接系统是有限增益Lp稳定的。

第3章网络的无源性

无源性的概念来源于电网络和物理学的分支⑶,是与系统的能量存储函数以及外部输入

和输出信号相关的概念。

因此，无源性很好地把系统Lyapunov稳定性和L2稳定性联系起来，

为分析非线性系统提供了一个有力的工具。

由于无源性理论利用了物理系统的结构特点，无

源性方法和其它控制技巧结合使用时，可以简化相应的控制方法，用无源化方法设计的非线

性观察器观测器可以减少观测器的参数，而且它也可以简化自适应控制，鲁棒控制，滑模控

制控制，神经网络和模糊控制。

近年来，无源性理论广泛应用于控制系统设计，机器人控制，

机械系统，电力系统和化工过程等方面[3,4]。

3.1无源性的概念

无源性的概念来源于电网络，所以用电路来阐述该定义。

图2-1图3-1所示是电压为U，

电流为y的单端口电阻元件，把该元件看成是以电压u为输入，电流y为输出的系统。

y=h（u）=Gu，G=1/R为电导。

Q

+

y

uR

o

图3-1无源电阻

如果输入功率始终是非负，即如果在u_y特性的每个点（u,y）都满足uy_0,则该电阻

元件是无源的。

对于一个多端口的网络，Rp和yRp是向量，流入网络的功率是内积

pp

uTy'uiyi'uihi（u）。

如果对于所有u都有uTy_0，则认为网络是无源的。

uTy=0是无

i土i土

源性的极限情况。

在这种情况下，认为系统是无损耗的。

首先把这一无源性概念推广到无记忆非线性函数

y=h（t,u）（3-1）

其中，h:

[0,：

：

）Rp—;Rp。

定义3.1考虑式（3-1）系统，

（1）如果uTy_0，—（t,u）[0,二）Rp，则系统是无源的;

（2）如果uTy=0，则系统是无损的；

（3）如果存在某一函数-:

（u），满足uTy_uT「