y=k时，债券的价钱等于债券价值,市场也处于均衡状态
例如，某种债券的价钱为900美元，每一年支付利息60美元，
三年后到期归还本金1000美元，那么能够算出该债券许诺
的到期收益率k为%。
若是该债券的预期收益率为9%。
那么，这种债券的价钱是被低估的。
判定债券价钱属于低估仍是高估的方式
第二种方式，比较债券的内在价值与债券价钱的不同。
债券的内在价值（V）与债券价钱（P）二者的差额，概念为债券投资者的净现值（NPV）
NPV>0
债券被低估
NPV<0
债券被高估
该债券的价钱被低估了
第二节债券属性与价值分析
债券的价值分析
税收待遇
债券的可赎回条款
债券的息票率
市场的流通性
违约风险
可转换性
可延期性
到期时刻（期限）
改变债券的到期
收益率水平，
从而阻碍
债券的价钱
一、到期时刻（TimetoMaturity）
当其他条件完全一致时，债券的到期时刻越长，债券价钱的波动幅度越大。
可是当到期时刻转变时，债券的边际价钱变更率递减。
不同到期时刻的债券
表10-2内在价值（价钱）与期限之间的关系
预期收益率
期限
1年10年20年30年
4%
102116127135
5%
101108112115
6%
100100100100
7%
99938988
8%
98868077
12
6
3
单位期限变更引发的边际价钱变更率递减
一、到期时刻（TimetoMaturity）
随着到期时刻的减少同一债券价钱的变更情形
动态的债券价钱
当债券息票率等于预期收益率时，投资者资金的时刻价值
通过利息收入取得补偿
当息票率低于预期收益率时，利息支付不足以补偿资金的时刻
价值，投资者还需从债券价钱的升值中取得资本收益。
例如，几年前发行的某债券的预期收益率和息票率都等于7%，
面值为1000美元，此刻离到期日还有三年时刻，预期收益率
变成8%，那么现在债券合理的市场价钱应该是：
一年后，债券价钱变成：
资本收益为
总收益为70+=
持有期收益率为=8%
当债券价钱由预期收益率确信的现值决按时，折价债券将
会升值，预期的资本收益能够补足息票率与预期收益率的不同；
相反，溢价债券的价钱将会下跌，资本损失抵消了较高
的利息收入，投资者仍然取得相当于预期收益率的收益率。
尽管利息收入与资本收益的比重有所不同，不同息票率的
债券提供给投资者的收益率是相同的。
在一个有效的资本
市场上，通过税负调剂和风险因素的调整后，各类债券的
整体收益应该是相等的。
不然，投资者就会卖掉收益率低
的债券，买入收益率高的债券，致使相应价钱的下降或上升，
直到各类债券收益率相等为止
零息票债券的价钱变更有其特殊性。
在到期日，债券价钱等于面值，到期日之前，由于资金的时刻价值，债券价钱低于面值，而且随着到期日的临近而趋近于面值。
若是利率恒定，那么价钱以等于利率值的速度上升。
零息票债券的价钱变更
二、息票率（CouponRate）
息票率决定了以后现金流的大小。
在其他属性不变的条件下，债券的息票率越低，债券价钱随预期收益率波动的幅度越大。
表10-3内在价值（价钱）转变与息票率之间的关系
息票率
预期收益率
内在价值变化率
（7%到8%）
内在价值变化率
（7%到5%）
7%8%5%
4%
686087
%
+%
5%
7870100
+%
6%
8980112
%
+%
7%
10090125
-%
+%
8%
110100137
-%
+%
三、可赎回条款（CallProvision）
许多债券在发行时含有可赎回条款,即在一按时刻内发行人有权赎回债券。
这是有利于发行人的条款，当预期收益率下降并低于债券的息票率时，债券的发行人能够以更低的本钱筹到资金。
这种舍弃高息债券、以低息债券从头融资的行为称为再融资（Refunding）。
初始赎回价钱通常设定为债券面值加上年利息，而且随着到期时刻的减少而下降，慢慢趋近于面值。
可赎回债券往往规定了赎回爱惜期，即在爱惜期内，发行人不得行使赎回权。
可赎回条款的存在，降低了该类债券的内在价值，
而且降低了投资者的实际收益率。
一样而言，
息票率越高，发行人行使赎回权的概率越大，
即投资债券的实际收益率与债券许诺的收益率
之间的差额越大。
为弥补被赎回的风险，这种债券
发行时通常有较高的息票率和较高的许诺到期收益率。
30年期的可赎回债券，发行价为1150美元，息票率8%
（以半年计息），赎回爱惜期为10年，赎回价钱1100美元。
那么赎回收益率（YTC）可通过下式来求：
YTC=%
YTM=%
而到期收益率（YTM）
四、税收待遇（TaxTreatment）
债券的税收待遇的关键，在于债券的利息收入是不是需要纳税。
由于利息收入纳税与否直接阻碍着投资的实际收益率，因此，税收待遇成为阻碍债券的市场价钱和收益率的一个重要因素。
税收待遇对债券价钱和收益率的阻碍还表此刻贴现债券的价值分析中
美国的税收当局以为，初始折价发行的债券（originalissuediscountbonds,OID），如零息债券，其价钱升值对持有者是一种隐性的利息收入（implicitinterestpayment），即便没有发生债券交易或到期，也应归入该年度的税基。
若是发生债券交易，由市场利率变更引发的额外的损失或收益被视为资本损益（capitalgains）。
五.、流通性（Liquidity）
在其他条件不变的情形下，债券的流动性与债券的名义的到期收益率之间呈反比例关系，即：
流动性高的债券的到期收益率比较低，反之亦然。
相应地，债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系。
六、违约风险（DefaultRisk）
债券的违约风险是指债券发行人未履行契约的规定支付债券的本金和利息，给债券投资者带来损失的可能性。
债券评级是反映债券违约风险的重要指标。
最闻名的两家是标准普尔公司（Standard&Poor’s,S&P）和穆迪投资者效劳公司（Moody’sInvestorsServices）
违约风险越高，投资收益率也应该越高
由于违约风险的存在，债券许诺的到期收益率不必然能够实现，只是一种可能的最大收益率.投资者更关注的是期望的到期收益率（expectedyieldtomaturity）
七.、可转换性（Convertibility）
可转换债券息票率和许诺的到期收益率通常较低。
可是，若是从转换中获利，那么持有者的实际收益率会大于许诺的收益率.
八、可延期性（Extendability）
它给予持有者而不是发行者一种终止或继续拥有债券的权利。
若是市场利率低于息票率，投资者将继续拥有债券；反之，若是市场利率上升，超过了息票率，投资者将舍弃这种债券，收回资金，投资于其他收益率更高的资产。
这一规定有利于投资者，因此可延期债券的息票率和许诺的到期收益率较低。
表10-5债券属性与债券收益率
债券属性
与债券收益率的关系
1.期限
当预期收益率（市场利率）调整时，期限越长，债券的价格波动幅度越大；但是，当期限延长时，单位期限的债券价格的波动幅度递减。
2.息票率
当预期收益率（市场利率）调整时，息票率越低，债券的价格波动幅度越大。
3.可赎回条款
当债券被赎回时，投资收益率降低。
所以，作为补偿，易被赎回的债券的名义收益率比较高，不易被赎回的债券的名义收益率比较低。
4.税收待遇
享受税收优惠待遇的债券的收益率比较低，无税收优惠待遇的债券的收益率比较高。
5.流动性
流动性高的债券的收益率比较低，流动性低的债券的收益率比较高。
6.违约风险
违约风险高的债券的收益率比较高，违约风险低的债券的收益率比较低。
7.可转换性
可转换债券的收益率比较低，不可转换债券的收益率比较高。
8.可延期性
可延期债券的收益率比较低，不可延期的债券收益率比较高。
第三节债券定价原理
一、债券定价原理
定理一：
债券的价钱与债券的收益率成反比例关系。
定理二：
当债券的收益率不变，债券的到期时刻与债券价钱的波动幅度之间成正比关系。
定理三：
随着债券到期时刻的临近，债券价钱的波动幅度减少，而且是以递增的速度减少；反之，到期时刻越长，债券价钱波动幅度增加，而且是以递减的速度增加。
定理四：
关于期限既定的债券，由收益率下降致使的债券价钱上升的幅度大于一样幅度的收益率上升致使的债券价钱下降的幅度。
定理五：
关于给定的收益率变更幅度，债券的息票率与债券价钱的波动幅度之间成反比关系。
换言之，息票率越高，债券价钱的波动幅度越小
二、久期
马考勒利用加权平均数的形式计算债券的平均到期时刻，即马考勒久期
D是马考勒久期，B是债券当前的市场价钱，PV（ct）是债券以后
第t期可现金流（利息或本金）的现值，T是债券的到期时刻。
例如，某债券当前的市场价钱为美元，收益率为10%，
息票率为8%，面值1000美元，三年后到期，一次性归还本金。
该债券的有关数据详见表10-6。
利用公式（），可知：
未来现金流支付时间，t
未来现金流（美元），c
现值系数
未来现金流的现值,PV（ct）
现值乘以支付时间，PV（ct）t
1
80美元
美元
美元
2
80美元
美元
美元
3
1080美元
美元
美元
加总
美元
美元
马考勒久期定理
定理一：
只有贴现债券的马考勒久期等于它们的到期时刻
定理二：
直接债券的马考勒久期小于或等于它们的到期时刻。
只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的马考勒久期等于它们的到期时刻，并等于1
定理三：
统一公债的马考勒久期等于，
其中r是计算现值采纳的贴现率
定理四：
在到期时刻相同的条件下，息票率越高，久期越短。
息票率越高，初期支付的现金流的权重越大，加权平均的到期时刻自然就越短
定理五：
在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期一样也越长。
定理六：
在其他条件不变的情形下，债券的到期收益率越低，久期越长。
这是因为到期收益率越低，远期支付的现金流价值相对越大，其在债券总价值中占的权重也越大。
马考勒久期与债券价钱的关系
假设此刻是0时刻，债券持有者在ti时刻收到的支付为ci（1≤i≤n）,则债券价格P和连续复利到期收益率的关系为：
债券价钱的变更比例等于久期乘到期收益率微小变更量的负数
若是到期收益率为一年计一次复利的收益率（y），那么：
当收益率采纳一年计一次复利的形式时，
人们经常使用修正的久期（ModifiedDuration,用D*表示）来代替久期
修正的久期概念为：
关于给定的收益率
变更幅度，
修正的久期越大，
债券价钱的
波动率越大
久期事实上等于债券价钱对收益率一阶导数的绝对值除以债券价钱
用久期近似估量收益率变更与价钱变更率关系之间的关系
三、凸度
债券的凸度（Convexity）是指债券价钱变更率与收益率变更关系曲线的曲度。
债券的凸度（C）类似地概念为债券价钱对收益率二阶导数除以价钱，即：
价钱灵敏度与凸度的关系
债券价钱变更率和收益率变更之间的关系并非是线性关系，
而是非线性关系
当收益率下降时，价钱的
事实上升率高于用久期计算
出来的近似值，而且凸度
越大，事实上升率越高；
而当收益率上升时，
价钱的实际
下跌比率却小于用久期
计算出来的近似值，
且凸度越大，
价钱的实际下跌
比率越小。
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