新人教版高中数学必修2知识点总结.docx
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新人教版高中数学必修2知识点总结
高中数学必修2知识点总结
第一章空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：
定义：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的几何体。
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：
用各顶点字母，如五棱柱
ABCDEA或用对角线的端点字母，如五棱柱'BCDE
'BCDE
''''
AD
'
几何特征：
两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于
底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：
用各顶点字母，如五棱锥
P
A'B'C'D'E
'B'C'D'E
'
几何特征：
侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高
的比的平方。
（3）棱台：
定义：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：
用各顶点字母，如五棱台
P
'BCDE
'''
A
'
几何特征：
①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：
定义：
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：
①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：
定义：
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：
①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：
定义：
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：
①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：
定义：
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：
①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2空间几何体的三视图和直观图
（1）定义三视图：
正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）
注：
正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
（2）画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
（3）直观图：
斜二测画法
（4）斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
（5）用斜二测画法画出长方体的步骤：
（1）画轴
（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3空间几何体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
'
h为斜高，l为母线）
1
S正棱锥侧面积Srl
ch
S直棱柱侧面积chS圆柱侧2rh'
圆锥侧面积
2
1
S正棱台侧面积（c1c）h'S圆台侧面积（rR）l
2
2
S圆柱表2rrlS圆锥表rrl
S圆台表r
2rlRlR2
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
VSh
柱
2
VShrh
圆柱
1
1
2
V锥ShVrh
圆锥
33
1
''
V台（SSSS）h
3
11
''22
V（SSSS）h（rrRR）h
圆台
33
（4）球体的表面积和体积公式：
V
球=
4
3
R；S球面=
3
2
4R
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
DC
（1）平面
α
①平面的概念：
A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；AB
②平面的表示：
通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一
个锐角内）；
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
③点与平面的关系：
点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A
点与直线的关系：
点A的直线l上，记作：
A∈l；点A在直线l外，记作Al；
直线与平面的关系：
直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。
（2）公理1：
如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用：
检验桌面是否平；判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1：
Al,Bl,A,Bl
（3）公理2：
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：
一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：
①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据
（4）公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：
平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。
符号语言：
PABABl,Pl
公理3的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：
交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
1.4空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系：
共面直线
相交直线：
同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：
同一平面内，没有公共点；
异面直线：
不同在任何一个平面内，没有公共点。
2公理4：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：
设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥cc∥b
强调：
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：
判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4注意点：
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直
线中的一条上；
②两条异面直线所成的角θ∈（0，）；
2
③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
1.5—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点
指出：
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示
aαa∩α=Aa∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：
线线平行，则线面平行。
符号表示：
Aα
bβ=>a∥α
a∥b
1.6平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
aβ
Bβ
a∩b=Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
1.7—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：
线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
aβa∥b
α∩β=b
作用：
利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：
如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
作用：
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直
线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂
足。
L
ΑP
2、判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点：
a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
1.8平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：
表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
B
α
2、二面角的记法：
二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
1.9—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
空间直线、平面的位置关系
平面与平面的位置关系
直线与直线的位置关系
直线与平面的位置关系
第三章直线与方程
2.4直线的倾斜角和斜率
2.3.2倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成
的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.
2、倾斜角α的取值范围：
0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=
tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式:
k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，
那么它们平行，即
注意:
上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即
如果k1=k2,那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负
倒数，那么它们互相垂直，即（）
yy0kxx
0
1.10直线的点
22
PPxxyy
122221
斜式方程
1、直线的点斜式方程：
直线l经过点P0（x,y），且斜率为k
00
2、、直线的斜截式
方程：
已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0,b）ykxb
1.11直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：
已知两点P1（x,x）,P（x,y）其中（x1x,yy）y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
12222212
2、直线的截距式方程：
已知直线l与x轴的交点为A（a,0），与y轴的交点为B（0,b），其中a0,b0
1.12直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：
关于x,y的二元一次方程AxByC0（A，B不同时为0）
2、各种直线方程之间的互化。
2.5直线的交点坐标与距离公式
2.3.3两直线的交点坐标
1、给出例题：
两直线交点坐标
L1：
3x+4y-2=0L1：
2x+y+2=0
解：
解方程组
3x4y20
2x2y20
得x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）
3.1.3两点间距离
两点间的距离公式
3.1.4点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
点（,）
Px0y到直线l:
AxByC0的距离为：
0
d
Ax
0
2
A
By
0
B
2
C
2、两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直
线l1和l2的一般式方程为l1：
AxByC10，
l：
AxByC20，则l1与l2的距离为
2
d
C
1
2
A
C
2
B
2
第四章圆与方程
1.13圆的标准方程
1、圆的标准方程：
222
（xa）（yb）r
圆心为A（a,b）,半径为r的圆的方程
2、点M（x0,y0）与圆
222
（xa）（yb）r的关系的判断方法：
（1）
22
（xa）（yb）>
00
2
r，点在圆外
（2）
22
（xa）（yb）=
00
2
r，点在圆上
（3）
22
（xa）（yb）<
00
2
r，点在圆内
1.14圆的一般方程
1、圆的一般方程：
x2y2DxEyF0
2、圆的一般方程的特点：
（1）①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项．
（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
（3）、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指
出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
2.6圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
2yDxEyF
2
DE
设直线l：
axbyc0，圆C：
x0，圆的半径为r，圆心（,）
22
到直
线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当dr时，直线l与圆C相离；
（2）当dr时，直线l与圆C相切；
（3）当dr时，直线l与圆C相交；
2.7圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当lr1r2时，圆C1与圆C2相离；
（2）当lr1r2时，圆C1与圆C2外切；
（3）当|r1r2|lr1r2时，圆C1与圆C2相交；
（4）当||
lr1r时，圆C1与圆C2内切；（5）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内含；
2
1.15直线与圆的方程的应用
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线l:
AxByC0，圆222
C，圆心Ca,b到l的距离为
:
xaybr
则有drl与C相离；drl与C相切；drl与C相交
AaBbC
d，
2B
2
A
（2）设直线l:
AxByC0，圆
22
2
C:
xaybr，先将方程联立消元，得到一个一元二次
方程之后，令其中的判别式为，则有
0l与C；0l与C相切；0l与C相交
相离
2
xx0yyr去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示注：
如果圆心的位置在原点，可使用公式
0
切点坐标，r表示半径。
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：
建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为
代数问题；
第二步：
通过代数运算，解决代数问题；
第三步：
将代数运算结果“翻译”成几何结论．
（3）过圆上一点的切线方程：
2
2，圆上一点为（x
xx0yyr（课本命题）．①圆x2+y2=r0，y0），则过此点的切线方程为
0
2+（y-b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2（课本命题的推
②圆（x-a）
广）．
2.8空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组（x,y,z），x、y、z分别是P、Q、
RR在x、y、z轴上的坐标
M
2、有序实数组（x,y,z），对应着空间直角坐标系中的一点
Oy
Q
P
M'
3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组（x,y,z）来表示，该数组叫
x
做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M（x,y,z），x叫做点
M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。
z
2.9空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点P1（x1,y1,z1）到点P2（x2,y2,z2）之间的距离公
P1
P2
式
O
M1
M
M2H
N2
y
N1
N
x
22
P1P（xx）（yy）（zz）
2121212
2
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