新人教版高中数学必修2知识点总结.docx

1、新人教版高中数学必修2知识点总结高中数学必修 2 知识点总结第一章 空间几何体1.1 柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示 ：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE A 或用对角线的端点字母，如五棱柱 B C D E B C D E AD几何特征 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义 ：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶

2、点的三角形，由这些面所围成的几何体分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示 ：用各顶点字母，如五棱锥PA BC D E BC D E几何特征 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义 ：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示 ：用各顶点字母，如五棱台P B C D E A几何特征 ：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边

3、旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴 ,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征： 上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征： 球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2 空间几何体的三视图和直观图(1

4、)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影） ；侧视图（从左向右） 、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。(2)画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等（3）直观图：斜二测画法（4）斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。（5）用斜二测画法画出长方体的步骤： （1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）

5、成图1.3 空间几何体的表面积与体积（ 1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（ 2）特殊几何体表面积公式（ c 为底面周长， h 为高，h 为斜高， l 为母线）1S正棱锥侧面积 S rlchS直棱柱侧面积 ch S圆柱侧 2 rh 圆锥侧面积 21S正棱台侧面积 (c1 c )h S圆 台 侧 面 积 ( r R) l22S圆 柱 表 2 r r l S圆锥表 r r lS圆台表 r2 rl Rl R2（ 3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh柱2V Sh r h圆柱112V锥 Sh V r h圆锥3 31 V台 (S S S S)h 31 1 2 2V (S SS S)h (r r

6、R R )h圆台3 3（ 4）球体的表面积和体积公式： V球 =43R ； S球面 =324 R第二章 直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系D C（ 1）平面 平面的概念： A. 描述性说明； B.平面是无限伸展的； A B 平面的表示： 通常用希腊字母 、 、 表示，如平面 （通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面 BC。 点与平面的关系： 点 A 在平面 内，记作 A ；点 A不在平面 内，记作 A点与直线的关系： 点 A 的直线 l 上，记作： Al； 点 A 在直线 l 外，记作 A l；直线与平面的关系 ：直线 l 在平面 内，记作 l

7、 ；直线 l 不在平面 内，记作 l 。（ 2）公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用： 检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理 1： A l, B l, A ,B l（ 3）公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论： 一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理 2 及其推论作用： 它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据（ 4）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号： 平面 和 相交，

8、交线是 a，记作 a。符号语言： P A B A B l,P l公理 3 的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。1.4 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c 是三条直线a b=ac c b强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用

9、。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点： a 与 b 所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为简便，点 O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 (0 ， ) ；2 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。1.5 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有

10、无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示a a =A a 2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.2 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：A b = a ab1.6 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a B ab = P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；

11、（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。1.7 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa a b= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a a b= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面 互相垂直，记作 L ，直线 L 叫做平面 的

12、垂线，平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时 , 它们唯一公共点 P 叫做垂足。L P2、判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a) 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。1.8 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 l B2、二面角的记法：二面角 -l- 或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。1.9 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：

13、垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4）空间直线、平面的位置关系平面与平面的位置关系 直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系第三章 直线与方程2.4 直线的倾斜角和斜率2.3.2 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角 . 特别地, 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 = 0 .2、 倾斜角 的取值范围： 0 180. 当直线 l 与 x

14、轴垂直时, = 90 .3、直线的斜率 :一条直线的倾斜角 ( 90) 的正切值叫做这条直线的斜率 , 斜率常用小写字母 k 表示 , 也就是 k =tan 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0 =0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90 , k 不存在 .由此可知 , 一条直线 l 的倾斜角 一定存在 , 但是斜率 k 不一定存在 .4、 直线的斜率公式 :给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 x2, 用两点的坐标来表示直线 P1P2的斜率：斜率公式 : k=y2-y1/x2-x13.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，

15、如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果 k1=k2, 那么一定有 L1L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 ( )y y0 k x x01.10 直线的点2 2PP x x y y1 2 2 2 2 1斜式方程1、 直线的 点斜式 方程：直线 l 经过点 P0 (x , y ) ，且斜率为 k0 02、直线的 斜截式方程：已知直线 l 的斜率为 k，且与 y轴的交点为 (0,

16、b) y kx b1.11 直线的两点式方程1、直线的两点式方程： 已知两点 P1 (x ,x ), P (x , y ) 其中 (x1 x , y y ) y-y1/y-y2=x-x1/x-x21 2 2 2 2 2 1 22、直线的截距式方程： 已知直线 l 与 x轴的交点为 A ( a,0) ，与 y轴的交点为 B (0,b)，其中 a 0,b 01.12 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于 x, y的二元一次方程 Ax By C 0（A，B 不同时为 0）2、各种直线方程之间的互化。2.5 直线的交点坐标与距离公式2.3.3两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L 1 ：

17、3x +4y -2=0 L1：2x +y +2=0解：解方程组3x 4y 2 02x 2y 2 0得 x=-2，y=2所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M （-2，2）3.1.3 两点间距离两点间的距离公式3.1.4 点到直线的距离公式1点到直线距离公式：点 ( , )P x0 y 到直线 l : Ax By C 0的距离为：0dAx02ABy0B2C2、 两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1 和l2 的一般式方程为 l1 ： Ax By C1 0，l ： Ax By C2 0，则 l1 与 l2 的距离为2dC12AC2B2第四章 圆与方程1.13 圆的标准方程1、圆的标准方程：2

18、 2 2(x a) ( y b) r圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程2、点 M (x0, y0) 与圆2 2 2(x a) (y b) r 的关系的判断方法：（1）2 2(x a) ( y b) 0 02r ，点在圆外 （2）2 2(x a) ( y b) =0 02r ，点在圆上（3）2 2(x a) ( y b) 0 02r ，点在圆内1.14 圆的一般方程1、圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 02、圆的一般方程的特点：(1) x2 和 y2 的系数相同，不等于 0 没有 xy 这样的二次项(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆

19、的方程就确定了(3) 、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。2.6 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系2 y Dx Ey F2D E设直线 l ：ax by c 0，圆 C ： x 0 ，圆的半径为 r ，圆心 ( , )2 2到直线的距离为 d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相离；（2）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相切；（3）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相交；2.7 圆与圆的位置关系两圆的位置关系设两圆的连心线长

20、为 l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当 l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 相离；（2）当 l r1 r2时，圆 C1 与圆 C2 外切；（3）当 | r1 r2 | l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 相交；（4）当 | |l r1 r 时，圆 C1 与圆 C2 内切；（5）当 l |r1 r2 |时，圆 C1 与圆 C2 内含；21.15 直线与圆的方程的应用直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线 l : Ax By C 0，圆 2 2 2C ，圆心 C a,b 到 l 的距离为: x a y b r则有 d r

21、 l与C相离 ； d r l与C相切 ；d r l与C相交Aa Bb Cd ，2 B2A（2）设直线 l : Ax By C 0，圆2 22C : x a y b r ，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为 ，则有0 l与C ； 0 l与C相切 ； 0 l与C相交相离2xx0 yy r 去解直线与圆相切的问题，其中 x0 , y0 表示 注：如果圆心的位置在原点，可使用公式0切点坐标， r 表示半径。1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转

22、化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论(3)过圆上一点的切线方程：22，圆上一点为 (xxx0 yy r (课本命题 ) 圆 x2+y 2=r 0，y0)，则过此点的切线方程为0 2+(y-b) 2=r 2，圆上一点为 (x0，y0)，则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 (课本命题的推圆(x-a)广)2.8 空间直角坐标系1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 (x, y, z) ， x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R R 在 x 、 y 、 z 轴上的坐标M2、有序实数组 ( x, y, z) ，对应着空间直角坐标系中的一点O yQPM3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 (x, y, z) 来表示，该数组叫x做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记 M (x, y, z) ， x 叫做点M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做点 M 的竖坐标。z2.9 空间两点间的距离公式1、空间中任意一点 P1(x1 , y1 ,z1) 到点 P2 (x2, y2, z2 )之间的距离公P1P2式OM1MM2 HN2yN1Nx2 2P1P (x x ) (y y ) (z z )2 1 2 1 2 1 22