高中数学人教B版必修1知识点doc.docx

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高中数学人教B版必修1知识点

付国教案

高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性；

2.元素的互异性；

3.元素的无序性

说明：

（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：

｛„｝女叽我校的篮球队员｝,｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝

1.用拉丁字母表示集合：

A=｛我校的篮球队员｝,B=｛1,2,3,4,5｝

2.集合的表示方法：

列举法与描述法。

注意：

常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

关于“属于”的概念：

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：

a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a

GA,相反，a不属于集合A记作aA

列举法：

把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：

将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是

否属于这个集合的方法：

①语言描述法：

例：

{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：

例：

不等式x-3>2的解集是{xR|x-3>2}或{x|x-3〉2}

4、集合的分类：

1.有限集含有有限个元素的集合

2.无限集含有无限个元素的集合

3.空集不含任何元素的集合例：

{x|x2=—5}

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系一子集

注意：

AB有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。

B或BA反之：

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A

2.“相等”关系（5三5,且5W5,则5=5）实例：

设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

结论：

对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时，集合B的任何一个元素都是集

合A的元素，我们就说集合A等于集合B,即：

A=B

%1任何一个集合是它本身的子集。

AA

%1真子集:

如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

%1如果AB,BC,那么AC

%1如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为①

规定：

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

二、集合的运算

1、交集的定义：

一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集.记作AQB（读作"A交B"）,

即AAB=

{x|xGA,且xGB}.第1页共7页

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2、并集的定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。

记作：

AUB（读

作"A并B"）,即AUB={x|xGA,或xGB}.

3、交集与并集的性质：

AAA=A,An4>=,AAB=BAA,AUA=A,AUe=A,AUB=BUA.

4、全集与补集

（1）补集：

设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS）,由S中所有不属于A的元素组

成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作：

CSA即CSA={xxS且xA}

（2）全集：

如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个

全集。

通常用U来表示。

（3）性质:

⑴CU（CUA）=A

（2）（CUA）nA=①（3）（CUA）UA=U

四、函数的有关概念

1.函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合

B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A-B为从集合A到集合B的一个函数.记作：

y=f（x）,xeA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值

叫做函数值，函数值的集合｛f（x）Ix£A｝叫做函数的值域.

注意：

如果只给出解析式y=f（x）,而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的

集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

定义域补充：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零；

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值

组成的集合.

（6）指数为零底不可以等于零

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（又注意：

求出不等式组的解集即为函数的定义

域。

）

构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

再注意：

（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函

数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关的判断方法：

①表达式相同；②定义域一致（两点必须同时具备）

值域补充：

（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.

（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各二角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

2.函数图象知识归纳

（1）定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（xeA）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x,y）的集

合C,叫做函数y=f（x）,（xGA）的图象.C上每一点的坐标（x,y）均满足函数关系y=f（x）,反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x,y）,均在C上.即记为C={P（x,y）|y=f（x）,xeA}„图象C一般的是一条光滑的连续曲线（或直线），也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

（2）画法

A、描点法：

根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以（x,y）为坐标在坐标系内描出相应

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点P（x,y）,最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换（3）作用：

1、直观的看出函数的性质；

2、利用数形结合的方法分析解题的思路。

提高解题的速度。

发现解题中的错误。

3.了解区间的概念

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示.4.什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

AB

为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f：

AB”给定一个集合A到B的映射，如果aeA,bGB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明：

函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方

向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：

A-B来说，则应满足：

（I）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（II）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（III）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的O依据；

2解析法：

必须注明函数的定义域；O

3图象法：

描点法作图要注意：

确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；O

4列表法：

选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.O

注意：

解析法：

便于算出函数值。

列表法：

便于查出函数值。

图象法：

便于量出函数值补充一：

分段函数：

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

在不同的范围里求函数值时必须把自变

量代入相应的表达式。

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.

（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

补充二：

复合函数：

如果y=f（u）,（uGM）,u=g（x）,（xGA），则y=f[g（x）]=F（x）,（xGA）称为f、g的复合函数。

例如：

y=2sinXy=2cos（X2+l）5.函数单调性

（1）增函数

设函数y=f（x）的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量xl,x2,当xl

区间D称为y=f（x）的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）

如果对于区间D上的任意两个自变量的值xl,x2,当xlf（x2）,那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.

1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；注意：

O

2必须是对于区间D内的任意两个自变量xl,x2；当xl

O

（2）图象的特点

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法：

1任取xl,x2GD,且xl〈x2；O第3页共7页

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2作差f（xl）-f（x2）；O

3变形（通常是因式分解和配方）O;

4定号（即判断差f（xl）-f（x2）的正负）O；

5下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）O.

（B）图象法（从图象上看升降）_

（C）复合函数的单调性

复

函数

单

LFg（x）

增

增

减

减

y=f（u）

增

减

增

减

y=f[g（x）]

增

减

减

增

如下：

注意：

1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

6.函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地,对于函数f（x）的定义域内的任意一个X,都有f（―x）=f（X）,那么f（x）就叫做偶函数.

（2）奇函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个X,都有f（—x）=—f（x）,那么f（x）就叫做奇函数.

1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶注意：

O

性，也可能既是奇函数又是偶函数。

2由函数的奇偶性定义可知，O函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个X,则一X也

一定是定义域内的一个自变量（