完整版《实变函数》第二章点集.docx
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完整版《实变函数》第二章点集
第二章点集（总授课时数8学时）
教学目的：
欧氏空间Rn上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨论欧氏空间
上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集,闭集和Borel集,Cantor集等常见的集,为后面的学习打下基础.
本章要点由Rn上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集,闭集的定义.由开集生成一个-代数引入Borel集.Cantor集是一个重要的集,它有一些很特别的性质.应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的直观,可以帮助理解本节的内容.
本章难点Borel集、Cantor集的性质.
授课时数8学时
本章先介绍Rn中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集，并讨论了开集与闭集的性质及其构造.最
后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.
§1度量空间，n维欧氏空间
教学目的1、深刻理解Rn中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型的点及点集中的作用.
2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念，理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念.
3、了解邻域的四条性质.
本节要点度量空间的概念.
本节难点度量空间的概念.
授课时数2学时
、度量空间
定义1：
设X为一非空集合，d：
XXR为一映射，且满足
1）d（x,y）0，d（x,y）0xy（正定性）
2）d（x,y）d（y,x）（对称性）
3）d（x,y）d（x,z）d（z,y）（三角不等式）
则称（X,d）为度量空间
例1：
欧氏空间（Rn,d）,其中d（x,y）
离散空间（X,d），其中d（x,y）
3）Ca,b空间（Ca,b表示闭区间a,b上实值连续函数全体）,其中
d（x,y）maatxb|x（t）y（t）|
atb
邻域
定义2：
称集合｛P|d（P,P0）｝为P0的邻域，并记为U（P0,）.P0称为邻域的中
心，称为邻域的半径.在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为P0的邻域，并记为
U（P0）.
不难看出：
点列{Pm}收敛于P0的充分必要条件是对任意0，存在N，当
mN时有：
PmU（P0）.
容易验证邻域具有下面的基本性质：
1）PU（P）；
2）对于U1（P）和U2（P），如果存在PU1（P）U2（P），则存在
U3（P）U1（P）U2（P）
3）对于QU（P），存在U（Q）U（P）；
4）对于QP，存在U（Q）和U（P）满足U（Q）U（P）
定义3：
两个非空的点集A,B间的距离定义为
dA,BinfdP,Q
PA,QB
如果A,B中至少有一个是空集，则规定dA,B0；若BX，则记
dA,BdA,X
显然，若AB，则dA,B0。
定义4：
一个非空的点集E的直径定义为：
EsupdP,Q
P,QE
若E，则称E为有界集。
n
X1X2LXn或Ai
i1n
定义6：
若IIi，其中Iiai,bi为直线上的区间，则称I为n维欧氏空间Rn
i1
中的区间；如果所有Ii都是开（闭、左开右闭、左闭右开）区间，则称I是开（闭、左开右闭、左闭右开）区间。
如果所有的Ii都是直线上的有界区间，则称I是Rn中的有界区间；如果至少有一个Ii是直线上的无界区间，则称I是Rn中的无界区间.
注：
R2中的有界区间即矩形，R3中的区间即长方体，因此Rn中的区间有时也称为“长方体”.
显然，E为有界集的充要条件是存在有界区间IE或E为有界集的充要条件是存在
有界邻域E0U（x0,）
定义7：
n
iiii
II,Ia,bi1
称
I
n
（biai）为区间I的“体积”，即i1
n
I
Ii
.当然，这里约定0
0
0，
当a0时，aa.
i1
区间体积即长方体体积＝长×宽×高，因此规定Rn中的区间体积＝n个边长的乘积，既是
合理的又是自然.
§2、聚点、内点、界点
教学目的1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系.
2、理解并掌握开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念，对一个已知的点集E，会求这些相关的点集.
3、了解Bolzano--Weierstrass定理.
本节要点内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念.
本节难点对一个已知的点集E，求这些相关的点集.
授课时数2学时
欧氏空间中各类点的定义
1）
P0为E的内点：
0,使得U（P0,）
E，记为Eo
2）
P0为E的外点：
0,使得U（P0,）I
E，E的外点的全体记为Ec.
3）
P0为E的边界点：
0,有U（P0,）
E且U（P0,）Ec，记为E
4）
P0为E的聚点：
0,有U（P0,）（E
{p0}），E的聚点的全体称为E的
导集，记为E'
5）
P0为E的孤立点：
0,使得U（P0,）
E{p0}
6）
P0为E的接触点：
0,有U（P0,）
E
孤立点一定属于
E.
注：
聚点、边界点不一定属于E，内点、
聚点的等价定义
定理1下面三个陈述是等价的：
P1E且P1P0.令1
mindP1,P0,1，则UP0,1中至少有一点P2E且
mindP2,P0,1，则UP0,2中至少有一点P3
3
2
P3
Pii0,1,2.这样继续下去，便得到点列
Pk且满足要求
（3）
（1）：
0，存在自然数k0，
当k
k0时，有PkU
P0,
，即U
P0,E
为无限集，故P0E'.
三、
开核、边界、导集之间的关系
定理2设A?
B，则A'B'，
A0
B0，AB．
定理3AB'A'B'，ABA
B
证明：
（1）因为AAB，BA
B，由定理2知，A'
A
B'，B'
AB'
从而
A'B'AB'.另一方面，任取
P
AB'，若P
A'
B'，则
PA'且
P
B'.于是
1
0，使
UP,1
P
A，
2
0，使
UP,2
P
B，
取
min1,2，则
U
P,PABUP,
PAU
P,
P
B
这说明PAB'，这与PAB
'矛盾
.所以PA'B'，即
AB
'A'B'
综合以上两个方面，即有AB'
A'
B'.
P2
P0，P2
P1.令2
E且
2）ABAB
AB'AB
A'B'
AA'
BB'
AB.证毕
定理4（Bolzano-Weierstrass定理）Rn中的有界点列必有收敛子列．（证略）
作业：
P492,3,4,5
练习题
1E是R1与R2上的全体有理点，在R1与R2中分别看E时，E,E,E0,E各是有哪些点构成的.
2设A?
B，证明A'B'，A0B0，AB．
§3、开集、闭集、完备集
教学目的1、掌握开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理（对偶性定理及运算方面的定理）.
2、理解Heine--Borel有限覆盖定理.
本节要点开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理.
本节难点Heine--Borel有限覆盖定理.
授课时数2学时
一、开集、闭集的定义
若E0E,则称E为开集（E中每个点都为内点）
若EE,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）
注：
由于EEEE{E的孤立点全体}，故EE等价于EE
说明：
要证E是开集，只要证EEo（EoE显然）
要证E是闭集，只要证E'E或EE（EE显然）
例1：
开区间（a,b）为开集
证明：
任取x（a,b）取min{xa,xb},则U（x,）（a,b）从而x是（a,b）的内点，故（a,b）是开集。
例2：
闭区间[a,b]为闭集.
证明：
任取x[a,b]c,取min{xa,xb},则U（x,）[a,b]c,
从而[a,b]的接触点都在[a,b]内，从而[a,b]是闭集。
注：
闭集为对极限运算封闭的点集.即：
A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点.
定理1对任何ERn，Eo是开集，E'和E都是闭集.
证明：
（1）Eo是开集.只要证Eo（Eo）o
任取xEo，由内点的定义知0,使得U（x,）E.
任取yU（x,），取'd（x,y），则U（y,'）U（x,）E，从而y为E的内点，
从而U（x,）Eo，所以x为Eo的内点，即x（Eo）o，从而Eo（Eo）o，即Eo为开集.
（2）E'是闭集。
只要证E''E'
任取xE''，由聚点的定义知0,有U（x,）（E'{x}），取
x'
U（x,）（E'{x}），有x'E'，（
当
'min{
d（x,x'）,d（x,x'）}时，
有x
U（x','）U（x,）），从而U（x,
）
（E{x}）
，即x为E的聚点，
从而
E''E'。
利用（E）'（EE'）'E'（E'）'
E'
E'E'
E可得E为闭集.
注：
Eo为含于E内的最大开集。
二、开集与闭集的对偶性a）（E）c（Ec）o（Ec）（Eo）c
b）若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集。
从而x不是Ec的接触点，也即Ec的接触点一定在Ec内，从而CECE，即Ec为闭集.cc
设E为闭集，即EE，任取xEc，假如x不是Ec的内点，则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，从而x为E的接触点，由E为闭集可知x在E内，
这与xEc矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。
三、开集的性质
1）空集，Rn为开集;
2）任意多个开集之并仍为开集；
3）有限个开集之交仍为开集。
注：
无限多个开集的交不一定为开集，如：
En（0,1/n）,
Rn中只有空集和Rn既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：
E[0,1）
四、闭集的性质
1）空集，Rn为闭集；
2）任意多个闭集之交仍为闭集；
3）有限个闭集之并仍为闭集。
注：
无限多个闭集的并不一定为闭集，如：
En[0,11/n]
说明：
不仅Rn中开集具有以上三性质，一般距离空间也有此性质，在拓扑空间中以上三性质则是描述开集概念的三公理.
五、完备集
n'
定义1设ER，如果EE，称E是自密集.
注：
（1）如果集合中的每个点都是这个集合的聚点，则这个集合是自密集.
（2）没有孤立点的集合是自密集.
定义2设ERn，如果EE'，则称E为完备集或完全集.
注：
完备集是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集.
作业：
P496,8,11
练习题
2设f（x）是Rn上的实函数，证明：
f（x）是连续函数的充分必要条件是对任意开集
11n
GR1,f1（G）是Rn的开集.
3、设f（x）是直线上的实值连续函数，则对任意常数a，E{x|f（x）a}是开集，而
E1{x|f（x）a}是闭集.
4、设f（x）在E上有定义，称（x0）limsup{|f（x'）f（x''）|:
x',x''O（x0,）E}为f（x）在x0E处的振幅，若f（x）在闭集E上定义，则对任意实数t，点集{xE:
（x）t}为闭集.
§4直线上的开集、闭集及完备集的构造
教学目的介绍直线上的开集，闭集及完备集构造.
本节要点直线上开集构造定理尤为重要，由它演绎出闭集，完备集构造定理.
本节难点直线上开集构造定理.
授课时数2学时
本节所讨论的点集都是R1的子集．
一、直线上的开集、闭集的构造
定义设G是开集，若非空开区间（,）G，且,G，就称（,）是G的一个构成区间．
定理：
直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并。
⑴直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得之集.
⑵直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点;但并不意味无孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。
⑶Rn中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间之并.
二、R中有关紧性的两个结论
点列a1,a2,a3,L
a1n）
a2n）
a1
a2=
a3=（a31,a32,a33,a34，L,a3n）LLLLLL
注：
对无限维空间不一定成立。
⑵Heine-Borel有限覆盖定理
设F为有界闭集，若开集簇{Ui:
iI}覆盖F（即FUi），则{Ui:
iI}中存
在有限个开集U1,U2,L,Un,它同样覆盖F.
注：
Heine-Borel有限覆盖定理的逆命题也成立.（3）可数覆盖定理
设F为Rn中一集合，若开集簇{Ui:
iI}覆盖F（即FiIUi），则{Ui:
iI}中存在可数个开集U1,U2,L,Un,L它同样覆盖F
提示：
利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径的圆全体为可数集，开集中的点为内点，以及有理点全体在Rn中稠密和有理数全体是R的稠密集.
三、直线上完备集的构造
如：
Cantor集
对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集.
⑴定义：
令GI（in）
n,j（n）
第n次
去掉的开区间
留下的闭区间
1
I（i1）i1
Ii
（1）i1,2
2
I（i2）i1,2
Ii
（2）i1,2,L22
M
M
M
n
I（in）i1,2,L2n1
Ii（n）i1,2,L2n
M
M
M
称P[0,1]G[0,1]Gc为Cantor集
⑵Cantor集的性质
1）分割点一定在Cantor集中
Cantor集P[0,1]G[0,1]Gc为闭集,GI（in）
n,i
1
2）P的“长度”为0，去掉的区间长度和1n2n131
n1312
3注：
第n次共去掉2n1个长为1/3n的开区间
3）
P没有内点证明：
对任意x
P,x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的
2n个长为1/3n的
互
不相交的某个闭区间中
Ii（n）.
0,当31n
时，有Ii（n）
U（x,）,但由Cantor
集的作法知，
我们要对继续三等
分去掉中间一个开区间，
从而U（x,
）内至少有一点不属于
P，所以x不可能是P的内点。
4）
P中的点全为聚点
从而没有孤立点.
证明：
对任意x
P，只要证：
0,有U（x,）
（P{x}）
由
Cantor集的作法知
n,31n,及某个i，使U（x,）
Ii（n）,而Ii（n）
的两个端点定在P
中，从而x为P的聚点，当然不为孤立点。
5）P的势为（利用二进制，三进制证明）
证明思路：
把[0,1]区间中的点都写成三进制小数，则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点的全体，从而Cantor集为小数位只是0,2的点的全体，作对应（三进制数）0.a1a2a3L0.a1a2a3L（二进制数）
222
说明：
三等分的端点有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如
0.1000000⋯=0.0222222⋯（三进制小数）
0.2000000⋯=0.1222222⋯
注:
Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点.
作业：
P5012,13
练习题
1设E为Cantor集的余集的构成区间的中点所成之集，求E.
2证明用十进位小数表示[0,1]中的数时，其中用不着数字6的一切数成为完备集
3证明如果闭集A不含任何开区间，则A必是疏朗集.
4疏朗集的余集是否一定为稠密集？
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