完整版《实变函数》第二章点集.docx

1、完整版实变函数第二章点集第二章 点集 (总授课时数 8 学时)教学目的： 欧氏空间 Rn 上的测度与积分是本课程的主要研究对象 .本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念 .通过本节的学习 ,可以熟悉欧氏空间上的开集 ,闭集和 Borel集, Cantor 集 等常见的集 , 为后面的学习打下基础 .本章要点 由 Rn上的距离给出邻域 , 内点, 聚点的定义 ,从而给出开集 , 闭集的定义 . 由开集生成一个 - 代数引入 Borel 集. Cantor 集是一个重要的集 , 它有一些很特别 的性质 . 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用 . 充分利用几何图形的 直观 ,可以帮助理解本节

2、的内容 .本章难点 Borel 集、 Cantor 集的性质 .授课时数 8学时本章先介绍 Rn 中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、 聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集，并讨论了开集与闭集的性质及其构造 . 最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理 .1 度量空间， n 维欧氏空间教学目的 1、深刻理解 Rn 中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型 的点及点集中的作用 .2、理解距离的性质、 点到集合的距离、 两集合之间的距离、 集合的直径等概念， 理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念 .3 、了解邻域的四条性质 .本节要点 度量空间的概念 .

3、本节难点 度量空间的概念 .授课时数 2学时、 度量空间定义 1：设 X 为一非空集合， d ： X X R 为一映射，且满足1)d(x, y) 0 ， d(x, y) 0 x y (正定性)2) d(x, y) d(y,x) (对称性)3)d(x, y) d(x,z) d(z, y) (三角不等式)则称 (X,d) 为度量空间例 1：欧氏空间 (Rn,d), 其中 d(x,y)离散空间 (X,d)，其中 d(x,y)3) C a,b空间( C a,b表示闭区间 a,b 上实值连续函数全体 ), 其中d(x,y) ma at xb |x(t) y(t)|atb邻域定义2： 称集合P | d(P

4、,P0) 为P0 的 邻域，并记为U (P0 , ). P0称为邻域的中心， 称为邻域的半径 . 在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为 P0的邻域，并记为U(P0).不难看出：点列 Pm收敛于 P0的充分必要条件是对任意 0，存在 N ，当m N 时有： Pm U(P0) .容易验证邻域具有下面的基本性质：1) P U (P)；2) 对于 U1(P)和U2(P) ， 如果存在 P U1(P) U2(P)，则存在U3(P) U1(P) U 2(P)3) 对于 Q U(P)，存在 U(Q) U(P)；4) 对于 Q P ，存在 U (Q)和U(P)满足 U(Q) U(P)定义 3： 两个非空

5、的点集 A,B 间的距离定义为d A,B inf d P,QP A,Q B如果 A,B 中至少有一个是空集，则规定 d A,B 0；若 B X ，则记d A,B d A,X显然，若 A B ，则 d A,B 0 。定义 4： 一个非空的点集 E 的直径定义为：E sup d P,QP,Q E若 E ，则称 E 为有界集。nX1 X2 L Xn 或 Aii1 n定义6： 若I Ii ，其中 Ii ai,bi 为直线上的区间， 则称I 为n维欧氏空间 Rni1中的区间；如果所有 Ii都是开（闭、左开右闭、左闭右开 ）区间，则称 I 是开（闭、左开右闭、 左闭右开 ）区间。如果所有的 Ii都是直线上

6、的有界区间， 则称 I 是Rn中的有界区间； 如果至 少有一个 Ii是直线上的无界区间，则称 I 是 Rn中的无界区间 .注： R2 中的有界区间即矩形， R3中的区间即长方体， 因此 Rn 中的区间有时也称为 “长 方体” .显然， E为有界集的充要条件是存在有界区间 I E或 E为有界集的充要条件是存在有界邻域 E0 U(x0, )定义 7：ni i i iI I , I a ,b i1,称In（bi ai） 为区间 I 的“体积”，即 i1nIIi. 当然，这里约定 000，当 a 0时， a a .i1区间体积即长方体体积长宽高，因此规定 Rn中的区间体积 n 个边长的乘积，既是合理的

7、又是自然 .2、聚点、内点、界点教学目的 1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系 .2 、理解并掌握开核、 导集、闭包、边界及孤立点集等概念， 对一个已知的点集 E ， 会求这些相关的点集 .3 、了解 Bolzano-Weierstrass 定理 .本节要点 内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概 念.本节难点 对一个已知的点集 E ，求这些相关的点集 .授课时数 2学时欧氏空间中各类点的定义1)P0为 E 的内点：0,使得U (P0, )E ，记为 Eo2)P0为 E 的外点：0,使得U(P0, ) IE ， E 的外点的全体记

8、为 Ec .3)P0为 E 的边界点：0,有U (P0, )E 且U(P0, ) Ec ，记为 E4)P0为 E 的聚点：0,有U (P0, ) (E p0) ， E 的聚点的全体称为 E 的导集，记为 E5)P0为 E 的孤立点：0,使得 U(P0, )E p06)P0为 E 的接触点：0,有 U(P0, )E孤立点一定属于E.注： 聚点、边界点不一定属于 E ，内点、聚点的等价定义定理 1 下面三个陈述是等价的：P1 E且 P1 P0.令 1min d P1,P0 ,1 ，则 U P0, 1 中至少有一点 P2 E且min d P2,P0 ,1 ，则 U P0, 2 中至少有一点 P332

9、P3Pi i 0,1,2 . 这样继续下去，便得到点列Pk 且满足要求（3）（1）： 0，存在自然数 k0 ，当kk0 时，有 Pk UP0,，即UP0 , E为无限集，故 P0 E.三、开核、边界、导集之间的关系定理 2 设A ? B ，则 A B，A0B0 ， A B 定理 3 A B A B， A B AB证明：（1）因为 A A B ，B AB，由定理 2 知，AAB ，BA B 从而A B A B . 另一方面，任取PA B ，若 PAB ，则P A 且PB. 于是10，使U P, 1PA，20 ，使U P, 2PB，取min 1, 2 ，则UP, P A B U P,P A UP,

10、PB这说明 P A B ，这与 P A B 矛盾.所以 P A B，即AB A B综合以上两个方面，即有 A B AB.P2P0， P2P1. 令 2E且2) A B A BA B A BA BA AB BA B. 证毕定理 4 （ Bolzano-Weierstrass 定理） Rn 中的有界点列必有收敛子列（证略）作业 ：P49 2, 3, 4, 5练习题1 E是R1与R2上的全体有理点，在 R1与R2中分别看 E时， E,E ,E0,E各是有哪些点构 成的.2 设 A ? B ，证明 A B， A0 B0 ， A B 3、开集、闭集、完备集教学目的 1、掌握开集、 闭集和完备集的概念、

11、性质及相关定理 (对偶性定理及运算方面 的定理) .2 、理解 Heine-Borel 有限覆盖定理 .本节要点 开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理 .本节难点 Heine-Borel 有限覆盖定理 .授课时数 2学时一、开集、闭集的定义若 E0 E , 则称 E 为开集( E 中每个点都为内点 )若 E E , 则称 E 为闭集(与 E 紧挨的点不跑到 E 外)注： 由于 E E E E E 的孤立点全体 ，故 E E 等价于 E E说明： 要证 E是开集，只要证 E Eo( Eo E显然)要证 E 是闭集，只要证 E E 或 E E ( E E 显然)例 1：开区间 (a,b)为开集

12、证明：任取 x (a,b)取 min x a, x b ,则U(x, ) (a,b)从而 x是(a,b)的 内点，故 (a,b) 是开集。例 2：闭区间 a,b 为闭集 .证明：任取 x a,bc,取 min x a, x b,则U(x, ) a,bc,从而 a,b 的接触点都在 a,b 内，从而 a,b 是闭集。注：闭集为对极限运算封闭的点集 . 即： A 为闭集当且仅当 A 中的任意收敛点列收敛 于 A 中的点 .定理 1 对任何 E Rn， Eo是开集， E 和E都是闭集 .证明：( 1) Eo是开集.只要证 Eo (Eo)o任取 x Eo ，由内点的定义知 0,使得 U(x, ) E.

13、任取 y U(x, )，取 d(x,y)，则U(y, ) U(x, ) E，从而 y为E的内点，从而U(x, ) Eo，所以 x为 Eo的内点，即 x (Eo)o，从而Eo (Eo)o，即Eo为开集 . (2) E 是闭集。只要证 E E任 取 x E ， 由 聚 点 的 定 义 知 0,有U(x, ) (E x) ， 取xU(x, ) (E x) ，有 x E，(当 mind(x,x),d(x,x) 时，有xU(x, ) U(x, )，从而 U(x,)(E x)，即 x为 E的聚点，从而E E。利用 (E) (E E) E (E)EE EE 可得 E 为闭集 .注： Eo为含于 E 内的最大

14、开集。二、开集与闭集的对偶性 a) (E)c (Ec)o (Ec) (Eo)cb)若 E为开集，则 Ec为闭集;若E为闭集，则 Ec为开集。从而 x不是 Ec的接触点，也即 Ec的接触点一定在 E c内，从而 CE CE，即 Ec为闭集. cc设E为闭集，即 E E，任取 x Ec，假如 x不是 Ec的内点，则 x的任一邻域内至少 有一个属于 E的点，从而 x为 E的接触点，由 E为闭集可知 x在E内，这与 x E c矛盾，所以 Ec中的点都为 E c的内点，即 Ec 为开集。三、开集的性质1)空集， Rn为开集 ;2)任意多个开集之并仍为开集；3)有限个开集之交仍为开集。注： 无限多个开集的

15、交不一定为开集，如： En (0,1/ n),Rn 中只有空集和 Rn既开又闭， 存在大量既不开又不闭的集合，如： E 0,1)四、 闭集的性质1)空集， Rn 为闭集；2)任意多个闭集之交仍为闭集；3)有限个闭集之并仍为闭集。注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如： En 0,1 1/ n说明： 不仅 Rn 中开集具有以上三性质，一般距离空间也有此性质，在拓扑空间中以上 三性质则是描述开集概念的三公理 .五、完备集n定义 1 设 E R ，如果 E E ，称 E 是自密集 .注：( 1)如果集合中的每个点都是这个集合的聚点，则这个集合是自密集 .(2) 没有孤立点的集合是自密集 .定义 2 设

16、E Rn，如果 E E，则称 E为完备集或完全集 .注： 完备集是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集 .作业 ：P49 6, 8, 11练习题2设 f(x) 是Rn上的实函数，证明： f(x) 是连续函数的充分必要条件是对任意开集1 1 nG R1, f 1(G) 是 Rn 的开集 .3、设 f(x) 是直线上的实值连续函数，则对任意常数 a，E x| f(x) a 是开集，而E1 x| f (x) a 是闭集 .4、设 f(x)在 E上有定义， 称 (x0) limsup| f(x) f(x)|:x,x O(x0, ) E 为 f(x) 在 x0 E 处的振幅，若 f(x) 在闭集 E 上定义

17、，则对任意实数 t ，点集 x E: (x) t为闭集 . 4 直线上的开集、闭集及完备集的构造教学目的 介绍直线上的开集，闭集及完备集构造 .本节要点 直线上开集构造定理尤为重要，由它演绎出闭集，完备集构造 定理.本节难点 直线上开集构造定理 .授课时数 2学时本节所讨论的点集都是 R1 的子集一、直线上的开集、闭集的构造定义 设G是开集，若非空开区间 ( , ) G，且 , G，就称 ( , )是G的一 个构成区间定理 ：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的 并。直线上的闭集或是全直线， 或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得 之集 .直线上的闭

18、集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点 ; 但并不意味无 孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。 Rn 中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多 可数个互不相交的半开半闭区间之并 .二、 R 中有关紧性的两个结论点列 a1,a2 ,a3,L, a1n ), a2n )a1a2 =a3 =( a31, a32, a33, a34，L , a3n ) L L L L L L注：对无限维空间不一定成立。 Heine-Borel 有限覆盖定理设F为有界闭集， 若开集簇 Ui :i I覆盖 F（ 即F Ui），则Ui :i I 中存在有限个开集 U1,U2,L

19、,U n ,它同样覆盖 F .注 ： Heine-Borel 有限覆盖定理的逆命题也成立 . （3）可数覆盖定理设F为Rn中一 集合，若开集簇 Ui :i I 覆盖 F （即 F i IUi），则 Ui :i I 中存在可数个开集 U1,U2,L ,Un ,L 它同样覆盖 F提示 ：利用空间中以有理点为中心， 正有理数为半径的圆全体为可数集， 开集中的点为 内点，以及有理点全体在 Rn 中稠密和有理数全体是 R 的稠密集 .三、直线上完备集的构造如： Cantor 集对0,1 区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去 掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的

20、点即为 Cantor 集 . 定义： 令 G I（in）n,j （n）第n次去掉的开区间留下的闭区间1I(i1) i 1Ii(1) i 1,22I(i2) i 1,2Ii(2) i 1,2,L 22MMMnI(in) i 1,2,L 2n 1Ii(n) i 1,2,L 2nMMM称 P 0,1 G 0,1 Gc 为 Cantor 集 Cantor 集的性质1) 分割点一定在 Cantor 集中Cantor 集 P 0,1 G 0,1 Gc为闭集 ,G I（in）n,i12） P 的“长度”为 0，去掉的区间长度和 1n 2n 1 3 1n 1 3 1 23 注：第n次共去掉 2n 1个长为 1

21、/3 n的开区间3)P没有内点 证明 ：对任意 xP, x 必含在“去掉手续进行到第 n次”时留下的2n个长为 1/3n的互不相交的某个闭区间中Ii(n).0,当31n时，有 Ii（n）U(x, ) , 但由 Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而 U (x,）内至少有一点不属于P，所以 x 不可能是 P的内点。4)P 中的点全为聚点, 从而没有孤立点 .证明： 对任意 xP ，只要证：0,有U (x, )(P x)由Cantor 集的作法知n, 31n ,及某个 i，使U(x, )Ii(n),而 Ii(n)的两个端点定在 P中，从而 x为 P的聚点，当然不为孤立点

22、。5） P 的势为 （利用二进制，三进制证明）证明思路 ：把 0,1 区间中的点都写成三进制小数，则 Cantor 集的作法中去掉的点为小 数位出现 1的点的全体，从而 Cantor 集为小数位只是 0,2 的点的全体，作对应 （三进制数） 0.a1a2a3 L 0.a1 a2 a3 L （二进制数）222说明 ：三等分的端点有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如0.1000000 = 0.0222222 （三进制小数）0.2000000 = 0.1222222 注: Cantor 集中除了分割点外 , 还有大量其他点 .作业 ：P50 12, 13练习题1 设 E为 Cantor 集的余集的构成区间的中点所成之集，求 E .2 证明用十进位小数表示 0,1 中的数时，其中用不着数字 6 的一切数成为完备集3证明如果闭集 A不含任何开区间，则 A 必是疏朗集 .4疏朗集的余集是否一定为稠密集？