③当x≥5时，原不等式可化为x－1－（x－5）<2，该不等式不成立．
综上，原不等式的解集为（－∞，4）．
答案 （－∞，4）
5．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋
a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析 设y＝|2x－1|＋|x＋2|
＝
当x＜－2时，y＝－3x－1＞5；
当－2≤x＜
时，5≥y＝－x＋3＞
；
当x≥
时，y＝3x＋1≥
，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为
.
因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋
a＋2对任意实数x恒成立，所以
≥a2＋
a＋2.
解不等式
≥a2＋
a＋2，得－1≤a≤
，故实数a的取值范围为
.
答案
6．（2017·杭州调研）设函数f（x）＝|x－a|＋3x，其中a>0.
（1）当a＝1时，则不等式f（x）≥3x＋2的解集为________．
（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤－1}，则a的值为________．
解析
（1）当a＝1时，f（x）≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故当a＝1时，不等式f（x）≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．
（2）由f（x）≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式化为不等式组
或
即
或
因为a>0，所以不等式组的解集为
.
由题设可得－
＝－1，故a＝2.
答案
（1）{x|x≥3或x≤－1}
（2）2
考点一 含绝对值不等式的解法
【例1】（一题多解）解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.
解 法一 如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2，1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．
法二 原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔
或
或
解得x≥2或x≤－3，
∴原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．
法三 将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
令f（x）＝|x－1|＋|x＋2|－5，则
f（x）＝
作出函数的图象，如图所示．
由图象可知，当x∈（－∞，－3]∪[2，＋∞）时，y≥0，
∴原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．
规律方法 形如|x－a|＋|x－b|≥c（或≤c）型的不等式主要有三种解法：
（1）分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为（－∞，a]，（a，b]，（b，＋∞）（此处设a＜b）三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；
（2）几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c（c＞0）的几何意义：
数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；（3）图象法：
作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．
【训练1】（2017·全国Ⅲ卷改编）已知函数f（x）＝|x＋1|－
|x－2|，则：
（1）不等式f（x）≥1的解集为________；
（2）若不等式f（x）≥x2－x＋m的解集非空，则m的取值范围为________．
解析
（1）f（x）＝
当x<－1时，f（x）＝－3≥1无解；
当－1≤x≤2时，由2x－1≥1，得1≤x≤2；
当x>2时，f（x）＝3≥1恒成立．
故f（x）≥1的解集为[1，＋∞）．
（2）不等式f（x）≥x2－x＋m等价于f（x）－x2＋x≥m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x有解．
又|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－
＋
≤
，当且仅当x＝
时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝
.故m的取值范围是
.
答案
（1）[1，＋∞）
（2）
考点二 绝对值不等式性质的应用
【例2】
（1）对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；
（2）对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．
解
（1）∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|（x－1）－x|＝1，
∴|y－1|＋|y＋1|≥|（y－1）－（y＋1）|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
（2）|x－2y＋1|＝|（x－1）－2（y－1）|≤|x－1|＋|2（y－2）＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
规律方法 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：
（1）利用绝对值的几何意义；
（2）利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；（3）利用零点分区间法．
【训练2】
（1）若关于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解，求实数d的取值范围；
（2）不等式
≥|a－2|＋siny对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围．
解
（1）∵|2014－x|＋|2015－x|≥|2014－x－2015＋x|＝1，
∴关于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解时，d≥1.
（2）∵x＋
∈（－∞，－2]∪[2，＋∞），
∴
∈[2，＋∞），其最小值为2.
又∵siny的最大值为1，
故不等式
≥|a－2|＋siny恒成立时，
有|a－2|≤1，解得a∈[1，3]．
考点三 含绝对值的不等式的应用
【例3】（2016·浙江卷）已知a≥3，函数F（x）＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝
（1）求使得等式F（x）＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；
（2）①求F（x）的最小值m（a）；
②求F（x）在区间[0，6]上的最大值M（a）．
解
（1）由于a≥3，故当x≤1时，（x2－2ax＋4a－2）－2|x－1|＝x2＋2（a－1）（2－x）＞0，
当x＞1时，（x2－2ax＋4a－2）－2|x－1|
＝（x－2）（x－2a）．
所以使得等式F（x）＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围是[2，2a]．
（2）①设函数f（x）＝2|x－1|，g（x）＝x2－2ax＋4a－2，则f（x）min＝f
（1）＝0，g（x）min＝g（a）＝－a2＋4a－2，
所以，由F（x）的定义知m（a）＝min
，
即m（a）＝
②当0≤x≤2时，F（x）＝f（x）≤max
＝2＝F
（2）．
当2≤x≤6时，F（x）＝g（x）≤max
＝max
＝max
.
所以M（a）＝
规律方法
（1）解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．
（2）数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．
【训练3】已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
（1）当a＝1时，求不等式f（x）>1的解集；
（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求实数a的取值范围．
解
（1）当a＝1时，f（x）>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得
当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f（x）>1的解集为
.
（2）由题设可得，f（x）＝
所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A
，B（2a＋1，0），C（a，a＋1），
△ABC的面积为
（a＋1）2.
由题设得
（a＋1）2>6，故a>2.
所以实数a的取值范围为（2，＋∞）．
基础巩固题组
一、选择题
1．已知全集U＝R，集合M＝{x||x－1|≤2}，则∁UM＝（ ）
A．{x|－1C．{x|x<－1或x>3}D．{x|x≤－1或x≥3}
解析 M＝{x|－1≤x≤3}，又知全集是R，所以其补集为∁UM＝{x|x<－1或x>3}．
答案 C
2．不等式|x－2|－|x－1|>0的解集为（
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