北京中考数学习题精选等腰三角形与等边三角形.docx
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北京中考数学习题精选等腰三角形与等边三角形
一、
选择题
1、（2018北京市丰台区初二期末）如图，已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是
A．90°B．60°C．45°D．30°
答案：
B
2．（2018北京市海淀区八年级期末）等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为
A．70°B．40°C．70°
或40°D．70°或55°
答案：
D
3．（2018北京市石景山区初二期末）等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为
A．80°
B．80°或20°
C．20°
D．80°或50°
答案：
B
4．（2018北京市顺义区八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为
和
，则这个三角形的周长是
A．22B．19C．17D．17或22
答案：
A
5.（2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考）
二、填空题
6．（2018北京市东城区初二期末）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是．
答案：
18或2
7．（2018北京市海淀区八年级期末）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB=AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为°．
甲乙丙
答案：
72
8．（2018北京市门头沟区八年级期末）学习了等腰三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：
“如果一个等腰三角形的两边长分别为2和5，求它的周长”．同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手讲“它的周长是9或12”，你认为小明的回答是否正确：
，你的理由是．
答案：
略
9.（2018北京市平谷区初二期末）等腰三角形的两边长为3，7，则其腰长为_____________.
答案：
7
10．（2018北京市顺义区八年级期末）边长为10cm的等边三角形的面积是.
答案：
11．（2018北京市西城区八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AB=6，AD是BC边上的中线．点E在AC边上，且∠EDA=30°，则直线E
D与AB的位置关系是___________，ED的长为___________．
答案：
平行，3．（第一个空1分，第二个空2分）
12.（2018北京延庆区八年级第一学区期末）已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为______________．
答案：
12
13.（2018北京延庆区八年级第一学区期末）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，点E是AC边上的中点.如果点P是AD上的动点，那么EP+CP的最小值为______________．
答案：
3
14.（2018北京房山区一模）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，
则∠1+∠2+∠3的度数为_________．
答案150°；
15.（2018北京昌平区二模）“直角”在初中几何学习中无处不在．
课堂上李老师提出一个问题：
如图，已知∠AOB．判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．
李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据：
．
答案：
两条边相等的三角形为等腰三角形，等腰三角形的三线合一
16．（2018北京丰台区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D
是BC
边上的中点，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：
DE=DF．
证明：
连接AD.
∵AB＝BC，D
是BC
边上的中点，
∴∠BAD=∠CAD.………………………3分
∵DE⊥AB于点E
，DF⊥AC于点F
，
∴DE＝DF．………………………5分
（其他证法相应给分）
17、（2018北京大兴第一学期期末）已知：
如图，在
中，AB=AC=8,∠A=120°,求BC的长.
解：
过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°，………………………………1分
BC=2BD，………………………………………2分
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=8，
cosB=
，………………………………………3分
∴BD=ABcos30°=8×
=4
，………………4分
∴BC=8
.………………………………………5分
18、（2018北京昌平区二模）如图，在△ABC中，AB=AC>B
C，BD是AC边上的高，点C关于直线BD的对称点为点E，连接BE.
（1）①依题意补全图形；
②若∠BAC=
，求∠DBE的大小（用含
的式子表示）；
（2）若DE=2AE，点F是BE中点，连接AF，BD=4，求AF的长.
（备用图）
答案．如图，在△ABC中，AB=AC>BC，BD是AC边上的高，点C关于直线BD的对称点为点E，连接BE.
（1）①补全图形；
②若∠BAC=
，
求∠DBE的大小（用含
的式子表示）；
（2）若DE=2AE，点F是BE中点，连接AF，BD=4，求AF的长.
（1）解：
如图．………………………1分
∵AB=AC，∠BAC=
，
∴∠ABC=∠ACB=90°-
．
∵点C关于直线BD的对称点为点E，BD是AC边上的高.
∴BD⊥CE，CD=DE．
∴BE=BC．
∴∠BEC=∠ACB=90°-
．……………………2分
∴∠DBE=
．………………3分
（2）解：
作FG⊥AC于G，
∵BD⊥CE，∴FG∥BD
∵点F是BE中点，∴EG=DG．∴
…………4分
∵DE=2AE，∴AE=EG=DG．………………5分
设AE=EG=DG=x，则CD=DE=2x，AC=5x，∴AB=AC=5x．
∴BD=4x．∵BD=4，∴x=1．………………6分
∴AG=2．
∵
=2，
∴AF=
．………………7分
19、（2018北京朝阳区二模）
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠ABC的平分线BD交AC于
点D，DE⊥AB于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）猜想AE与CD的数量关系，并证明．
答案：
（1）如图：
…………………………………………………………………………………2分
（2）AE与CD的数量关系为AE=CD．………………………………………………………3分
证明：
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A＝
45°．
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠A＝45°．
∴AE=DE．………………………………………………………………………………4分
∵BD平分∠ABC，
∴CD=DE．………………………………………
…………………………………5分
∴AE=CD．
20.（2018北京东城区二模）如图所示，点P位于等边
的内部，且∠ACP=∠CBP．
（1）∠BPC的度数为________°；
（2）延长BP至点D，使得PD=PC，连接AD，CD．
①依题意，补全图形；
②证明：
AD+CD=BD；
（3）在
（2）的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的面积．
解：
（1）120°.------------
---------------------------------------2分
（2）①∵如图1所示.
②在等边
中，
，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
为等边三角形.
∵
∴
在
和
中，
∴
.
∴
∴
-----------------------------------------------------------------4分
（3）如图2，作
于点
，
延长线于点
.
∵
∴
∴
∴
又由
（2）得，
---------------------------------------------7分
21.（2018北京市东城区初二期末）（6分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E.
（1）依题意补全图形；
（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；
（3）连结CE，写出AE,BE,CE之间的数量关系，并证明你的结论．
解：
…1分
（2）在等边△ABC中，
AC＝AB，∠BAC＝60°
由对称可知：
AC＝AD，∠PAC＝∠PAD，
∴AB＝AD
∴∠ABD＝∠D
∵∠PAC＝20°
∴∠PAD＝20°……………2分
∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC+∠PAD=100°
∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝60°……3分
（3）CE＋AE＝BE．
在BE上取点M使ME＝AE，
在等边△ABC中，
AC＝AB，∠BAC＝60°
由对称可知：
AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，
设∠EAC＝∠DAE＝x．
∵AD＝AC＝AB，
∴∠AEB＝60－x＋x＝60°．
∴△AME为等边三角形．……4分
易证：
△AEC≌△AMB。
……………5分
∴CE＝BM.
∴CE＋AE＝BE．……6分
22．（2018北京市海淀区八年级期末）如图，CN是等边△
的外角
内部的一条射线
，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）依题意
补全图形；
（2）若
，求
的大小（用含
的式子表示）；
（3）用等式表示线段
，
与
之间的数量关系，并证明．
（1）
-------------------------------------------------1分
（2）解：
∵点A与点D关于CN对称，
∴CN是AD
的垂直平分线，
∴CA=CD．
∵
，
∴∠ACD=2
．-------------------------------------------------------2分
∵等边△ABC，
∴CA=CB=CD，∠ACB=60°．------------------------------------------------3分
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+
．
∴∠BDC=∠DBC=
（180°
∠BCD）=60°
．-------------------4分
（3）结论：
PB=PC+2PE．------------------------------------------------------------------5分
本题证法不唯一，如：
证明：
在PB上截取P
F使PF=PC，连接CF．
∵CA=CD，∠ACD=
∴∠CDA=∠CAD=90°
．
∵∠BDC=60°
，
∴∠PDE=∠CDA
∠BDC=30°．------------------------------------------6分
∴PD=2PE．
∵∠CPF=∠DPE=90°
∠PDE=60°．
∴△CPF是等边三角形．
∴∠CPF=∠CFP=60°．
∴∠BFC=∠DPC=120°．
∴在△BFC和△DPC中，
∴△BFC≌△DPC．
∴BF=PD=2PE．
∴PB=PF+BF=PC+2PE．------
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