①“綈p”是假命题
②q是真命题
③“p或q”为假命题
④“p且q”为真命题
解析 由于x2-2x+1=(x-1)2≥0,
即x2+1≥2x,所以p为假命题;
对于命题q,当m=0时,有-1<0,恒成立,
所以命题q为假命题.
综上可知:
綈p为真命题,
p且q为假命题,p或q为假命题.
答案 ③
温馨提醒 判断和一元二次不等式有关的命题的真假,首先要分清是要求解一元二次不等式,还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解),然后再利用逻辑用语进行判断.
二、确定参数的取值范围
典例:
(1)若命题“存在实数x,使x2+ax+1<0”的否定是真命题,则实数a的取值范围为________.
(2)已知p:
∃x∈R,mx2+1≤0,q:
∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为________.
解析
(1)方法一 由题意,命题“对任意实数x,使x2+ax+1≥0”是真命题,故Δ=a2-4×1×1≤0,
解得-2≤a≤2.
方法二 若命题“存在实数x,使x2+ax+1<0”是真命题,则Δ=a2-4×1×1>0,解得a>2或a<-2.故原命题实数a的取值范围是取其补集,即[-2,2].
(2)依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,∀x∈R,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.因此由p,q均为假命题得
即m≥2.
答案
(1)[-2,2]
(2)[2,+∞)
温馨提醒 在与全称命题、存在性命题有关的问题中,如果从原来的命题出发解决问题不方便,则可以先否定原来的命题,再依据补集思想解决原问题.
方法与技巧
1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”、“且”时,要结合语句的含义理解.
2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是存在性命题,再对照否定结构去写,并注意与否命题区别;否定的规律是“改量词,否结论”.
失误与防范
1.p∨q为真命题,只需p、q有一个为真即可;p∧q为真命题,必须p、q同时为真.
2.p或q的否定:
非p且非q;p且q的否定:
非p或非q.
3.命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.
A组 专项基础训练
(时间:
35分钟)
1.设命题p:
函数y=sin2x的最小正周期为
;命题q:
函数y=cosx的图象关于直线x=
对称.则下列判断正确的是________.
①p为真;②綈q为假;
③p∧q为假;④p∨q为真.
答案 ③
解析 p是假命题,q是假命题,因此只有③正确.
2.已知命题p:
所有有理数都是实数;命题q:
正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是________.
①綈p∨q;②p∧q;
③綈p∧綈q;④綈p∨綈q.
答案 ④
解析 不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,从而上述叙述中只有綈p∨綈q为真命题.
3.命题“存在x∈R,使得x2+x+2≤0”是________命题(用“真”或“假”填空).
答案 假
解析 ∵Δ=1-8<0,
∴x2+x+2>0恒成立,
∴不存在x∈R,使x2+x+2≤0.
4.已知命题p:
所有指数函数都是单调函数,则綈p为________.
答案 存在一个指数函数,它不是单调函数
解析 命题p:
所有指数函数都是单调函数,则綈p为:
存在一个指数函数,它不是单调函数.
5.已知命题p:
“任意x∈[0,1],a≥ex”,命题q:
“存在x∈R,x2+4x+a=0”,若命题p为真命题,q是假命题,则实数a的取值范围是________.
答案 (4,+∞)
解析 当x∈[0,1]时,ex∈[1,e],∴a≥e;
又q为假命题,∴Δ=16-4a<0,即a>4.综上,当p为真命题,q为假命题时,a的取值范围是(4,+∞).
6.下列结论正确的个数是________.
①已知复数z=i(1-i),z在复平面内对应的点位于第四象限;
②若x,y是实数,则“x2≠y2”的充要条件是“x≠y或x≠-y”;
③命题p:
“∃x0∈R,x
-x0-1>0”的否定綈p:
“∀x∈R,x2-x-1≤0”;
答案 1
解析 ①已知复数z=i(1-i),z在复平面内对应的点位于第四象限是错误的,因为z=1+i,对应点在第一象限;②若x,y是实数,则“x2≠y2”的充要条件是“x≠y或x≠-y”是错误的,因为“x2≠y2”的充要条件是“x≠y且x≠-y”;③命题p:
“∃x0∈R,x
-x0-1>0”的否定綈p:
“∀x∈R,x2-x-1≤0”是正确的,存在性命题的否定是全称命题.
7.若命题p:
对于任意x∈[-1,1],有f(x)≥0,则对命题p的否定是________.
答案 存在x0∈[-1,1],使f(x0)<0
8.已知命题p:
x2+2x-3>0;命题q:
>1,若“綈q且p”为真,则x的取值范围是____________________.
答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)
解析 因为“綈q且p”为真,即q假p真,而q为真命题时,
<0,得20,解得x>1或x<-3,
由
解得x<-3或1所以x的取值范围是x<-3或19.下列结论:
①若命题p:
∃x∈R,tanx=1;命题q:
∀x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题;
②已知直线l1:
ax+3y-1=0,l2:
x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是
=-3;
③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题:
“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为________.
答案 ①③
解析 ①中命题p为真命题,命题q为真命题,
所以p∧(綈q)为假命题,故①正确;
②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;
③正确.所以正确结论的序号为①③.
10.已知c>0,且c≠1,设p:
函数y=cx在R上单调递减;q:
函数f(x)=x2-2cx+1在
上为增函数,若“p且q”为假,“p或q”为真,求实数c的取值范围.
解 ∵函数y=cx在R上单调递减,∴0即p:
00且c≠1,∴綈p:
c>1.
又∵f(x)=x2-2cx+1在
上为增函数,
∴c≤
.
即q:
0,∵c>0且c≠1,
∴綈q:
c>
且c≠1.
又∵“p或q”为真,“p且q”为假,
∴p真q假或p假q真.
①当p真,q假时,
{c|0=
.
②当p假,q真时,{c|c>1}∩
=∅.
综上所述,实数c的取值范围是
.
B组 专项能力提升
(时间:
25分钟)
1.已知命题p:
∃x∈R,x-2>lgx,命题q:
∀x∈R,x2>0,则________.
①p∨q是假命题;②p∧q是真命题;
③p∧(綈q)是真命题;④p∨(綈q)是假命题.
答案 ③
解析 ∵x=10时,x-2=8,lg10=1,x-2>lgx成立,∴命题p为真命题,又x2≥0,命题q为假命题,
所以p∧(綈q)是真命题.
2.下列结论正确的是________.
①若p:
∃x∈R,x2+x+1<0,则綈p:
∀x∈R,x2+x+1<0;
②若p∨q为真命题,则p∧q也为真命题;
③“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件;
④命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的否命题为真命题.
答案 ④
解析 ∵x2+x+1<0的否定是x2+x+1≥0,∴①错;若p∨q为真命题,则p、q中至少有一个为真,∴②错;f(x)为奇函数,但f(0)不一定有意义,∴③错;命题“若x2-3x+2=0则x=1”的否命题为“若x2-3x-2≠0,则x≠1”是真命题,④对.
3.下列结论正确的个数是________.
①命题“∃x0∈R,x
+1>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”;
②函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π是“a=1”的必要不充分条件;
③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b<0”.
答案 2
解析 ①中命题“∃x0∈R,x
+1>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”为真命题;
②中如果函数f(x)=cos2ax-sin2ax=cos2ax的最小正周期为π,那么由
=π得a=±1;
由a=1得f(x)=cos2ax-sin2ax=cos2ax=cos2x,其最小正周期为π,所以
(2)是真命题;
③是假命题,由x∈[1,2],可将x2+2x≥ax化为a≤x+2,所以原命题等价于a≤(x+2)min;
④是假命题,因为a·b<0,有可能a与b的夹角是π.
4.给定两个命题,命题p:
对任意实数x都有ax2>-ax-1恒成立,命题q:
关于x的方程x2-x+a=0有实数根.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
解 若p为真命题,则a=0或
即0≤a<4;若q为真命题,则(-1)2-4a≥0,即a≤
.
因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,
所以p,q中有且仅有一个为真命题.
若p真q假,则
综上,实数a的取值范围为(-∞,0)∪(
,4).
5.设命题p:
实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:
实数x满足
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)綈p是綈q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解
(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0.
又a>0,所以a当a=1时,1实数x的取值范围是1由
解得
即2所以q为真时实数x的取值范围是2若p∧q为真,则
⇔2所以实数x的取值范围是(2,3).
(2)綈p是綈q的充分不必要条件,
即綈p⇒綈q且綈qD
綈p.
设A={x|x≤a或x≥3a},B={x|x≤2或x>3},
则AB.∴03,
∴1∴实数a的取值范围是(1,2].