空间几何体的结构三视图和直观图.docx

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空间几何体的结构三视图和直观图

第八章　立体几何

1．立体几何初步

（1）空间几何体

①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．

③会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．

（2）点、直线、平面之间的位置关系

①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：

·公理1：

如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内．

·公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

·公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

·公理4：

平行于同一条直线的两条直线平行．

·定理：

空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．

理解以下判定定理：

·平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

·一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

·一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该

直线与此平面垂直．

·一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．

理解以下性质定理，并能够证明：

·如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．

·两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行．

·垂直于同一个平面的两条直线平行．

·两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．

③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

2．空间直角坐标系

（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．

（2）会简单应用空间两点间的距离公式．

3．空间向量与立体几何

（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．

（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．

（4）理解直线的方向向量及平面的法向量．

（5）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．

（6）能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理（包括三垂线定理）．

（7）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．

8．1　空间几何体的结构、三视图和直观图

1．棱柱、棱锥、棱台的概念

（1）棱柱：

有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．

※注：

棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．

（2）棱锥：

有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．

※注：

如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．

（3）棱台：

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．

※注：

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．

※2.棱柱、棱锥、棱台的性质

（1）棱柱的性质

侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________．

（2）正棱锥的性质

侧棱相等，侧面是全等的______________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．

（3）正棱台的性质

侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．

3．圆柱、圆锥、圆台

（1）圆柱、圆锥、圆台的概念

分别以______的一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．

（2）圆柱、圆锥、圆台的性质

圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、________、________；平行于底面的截面都是________．

4．球

（1）球面与球的概念

以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________．

（2）球的截面性质

球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．

5．平行投影

在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________．平行投影的投影线互相__________．

6．空间几何体的三视图、直观图

（1）三视图

①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括__________、__________、__________．

②三视图尺寸关系口诀：

“长对正，高平齐，宽相等．”长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧（左）视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧（左）视图的宽度要相等．

（2）直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝________且∠yOz＝________．

②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝____________．x′O′y′所确定的平面表示水平面．

③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成____________x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．

④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的__________．

⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．

自查自纠

1．

（1）平行　四边形　平行　

（2）多边形　三角形

2．

（1）平行四边形　全等　平行四边形　矩形

（2）等腰三角形　直角三角形　直角三角形　

直角三角形　直角三角形

（3）等腰梯形　直角梯形　直角梯形　直角梯形

3．

（1）矩形　直角三角形　直角梯形

（2）矩形　等腰三角形　等腰梯形　圆

4．

（1）直径　球心　

（2）垂直于　d＝

5．平行投影　平行

6．

（1）①正（主）视图　侧（左）视图　俯视图

（2）①90°　90°　②45°（或135°）　90°　③平行于

④一半

以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是（　　）

A．球的三视图总是三个全等的圆

B．正方体的三视图总是三个全等的正方形

C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形

D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆

解：

几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．故选A.

（2017·全国卷Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　）

A．90πB．63πC．42πD．36π

解法一：

由三视图知，该几何体可以看作由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－

×π×32×6＝63π.

解法二：

该几何体可以看作由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以其体积V＝π×32×7＝63π.故选B.

（2017·全国卷Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（　　）

A．10B．12C．14D．16

解：

由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长、直三棱柱的高、三棱锥的高均为2，易知该多面体有2个面是梯形，这2个梯形的面积之和为

×2＝12，故选B.

（2017·北京）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．

解：

由三视图还原为如图所示的四棱锥ABCC1B1，易得，最长的棱为AC1，且AC1＝

＝

＝2

.故填2

.

（2017·山东）由一个长方体和两个

圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．

解：

由三视图可知V＝1×2×1＋2×

×π×12×1＝2＋

.故填2＋

.

类型一　空间几何体的结构特征

　给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．

其中所有错误命题的序号是（　　）

A．②③④　　B.①②③　　

C．①②④　　D.①②③④

解：

认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故②错误，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④错误．故选D.

【点拨】解决该类题目需要准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．

　下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有一个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．

其中，真命题的编号是________．

解：

①显然错；②正确，因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面；③错，可以是斜四棱柱；④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．故填②④.

类型二　空间几何体的三视图

　已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（　　）

解：

三视图中正侧高平齐，排除A，俯侧宽相等，排除C，D.故选B.

【点拨】根据几何体的直观图画三视图，要根据三视图的画法规则进行．要严格按以下几点执行：

①三视图的安排位置，正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边．②正