届高三数学上学期期中试题.docx

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届高三数学上学期期中试题

2019届高三数学上学期期中试题

2018秋高三期中考试试卷

（一）

数　　学

（满分160分，考试时间120分钟）

2018．11

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1.设集合A＝{x|x是小于4的偶数}，B＝{－3，1，2，4}，则A∩B＝________．

2.命题“∀x＞0，x2≥0”的否定为______________．

3.若复数z＝1＋ai2－i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a＝________．

4.函数y＝log7（x2－4x＋3）的定义域为________．

5.（文）点（－3，4）到直线l：

x－y＋3＝0的距离为________．

（理）在△ABc中，a，b，c分别为角A，B，c的对边，且A＝45°，c＝75°，a＝1，则b＝________．

6.（文）经过点P（1，2），且与直线3x＋4y－100＝0垂直的直线的方程是________．

（理）已知函数f（x）＝a＋14x＋1是奇函数，则f（－1）＋f（0）＝________．

7.（文）已知函数f（x）＝x2－2ax＋4在（－1，＋∞）上是增函数，则f

（2）的取值范围是________．

（理）已知e为自然对数的底数，函数y＝ex－lnx在[1，e]上的最小值为________．

8.（文）已知向量a与b，满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥（a－b），则向量a与b的夹角为________．

（理）已知函数f（x）＝x2－2ax＋4在（－1，＋∞）上是增函数，则f

（2）的取值范围是________．

9.（文）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn.若a1＋a4＋a7＝0，则S6a6的值为________．　

（理）将函数y＝5sin（2x＋π4）的图象向左平移φ（0＜φ＜π2）个单位长度后，所得函数图象关于直线x＝π4对称，则φ＝________．

10.在△ABc中，已知（tanA＋1）（tanB＋1）＝2，则cosc＝________．

11.已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，则1x＋4y＋1的最小值为________．

12.已知函数f（x）＝x（2x－2－x），则不等式f（－2）＜f（lgx）的解集为________．

13.在△ABc中，角A，B，c的对边分别为a，b，c，已知4（tanA＋tanB）＝tanAcosB＋tanBcosA，则cosc的最小值为________．

14.已知函数f（x）＝|lgx|，x＞0，－x2－2x，x≤0，若函数y＝2f2（x）＋3f（x）＋1－2有6个不同的零点，则实数的取值范围是________．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

在△ABc中，角A，B，c的对边分别为a，b，c，且sin2cc＝sinBb.

（1）求角c的值；

（2）若sin（B－π3）＝35，求cosA的值．

16.（本小题满分14分）

已知k∈R，函数f（x）＝x2＋（1－k）x＋2－k.

（1）解关于x的不等式f（x）＜2；

（2）对任意x∈（－1，2），f（x）≥1恒成立，求实数k的取值范围．

17.（本小题满分14分）

（文）如图，已知点A（1，1），B（－1，1），过点A作直线l，使得直线l与y轴正半轴交于点c，与射线Bo交于点D.

（1）若直线l的斜率为－3，

①求oA→•Bc→的值；

②若oD→＝λoA→＋μoc→，求实数λ－μ的值；

（2）求△ocD面积的最小值及此时直线l的方程．

（理）已知函数f（x）＝logax＋log4x（a＞0，且a≠1）在（0，＋∞）上为增函数．

（1）求实数a的取值范围；

（2）当a＝4时，是否存在正实数，n（＜n），使得函数f（x）的定义域为[，n]，值域为2，n2？

如果存在，求出所有的，n；如果不存在，请说明理由．

18.（本小题满分16分）

如图，郊外有一边长为200的菱形池塘ABcD，塘边AB与AD的夹角为60°.拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和Dc上，区域BEF为荷花种植区域．记∠ABE＝θ，荷花种植区域的面积为S2.

（1）求S关于θ的函数关系式；

（2）求S的最小值．

19.（本小题满分16分）

（文）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n，n∈N*，记bn＝an＋3.

（1）求证：

数列{bn}为等比数列；

（2）设数列{b2n}的前n项和为Tn，求证：

S2n＋6nTn为定值；

（3）判断数列{2n－an}中是否存在三项成等差数列，并说明你的结论．

（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；

（2）若对任意的a∈[－1，1]，不等式f（x）＜在x∈[－1，1]恒成立，求实数的取值范围；

（3）若f（x）在x＝x0处取得极小值，且x0∈（0，3），求实数a的取值范围．

20.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝ex，g（x）＝x2，∈R，e为自然对数的底数．

（1）如果函数h（x）＝f（x）－g（x）在（0，＋∞）上单调递增，求的取值范围；

（2）若直线y＝kx＋1是函数y＝f（x）图象的一条切线，求实数k的值；

（3）设x1，x2∈R，且x1＜x2，求证：

f（x1）＋f（x2）2＞f（x2）－f（x1）x2－x1.

2018秋高三期中考试试卷

（一）

数学附加题

（满分40分，考试时间30分钟）

21.（本小题满分10分）

求曲线y＝ln（x2－2x）在x＝3处的切线方程．

22.（本小题满分10分）

已知n为自然数，当n≥4时，用数学归纳法证明：

2n＞n2＋3n＋22.

23.（本小题满分10分）

已知，n是正整数，f（x）＝（1＋x）＋（1＋2x）n.

（1）当＝2018，n＝2019时，试求f（x）展开式中x的偶次幂项的系数之和；

（2）若f（x）的展开式中x的系数为11，试求x2的系数取最小值时n的值．

24.（本小题满分10分）

高三年级成立语文、数学、英语兴趣小组，学生是否参加哪个兴趣小组互不影响．已知某同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，至少参加一个兴趣小组的概率为0.88.若该学生参加的兴趣小组数为a，没有参加的兴趣小组数为b，记ξ＝2a－b.

（1）求该同学参加数学兴趣小组的概率；

（2）求ξ的分布列和数学期望．

2018秋高三期中考试试卷

（一）（镇江）

数学参考答案及评分标准

1.{2}　2.∃x＞0，x2＜0　3.2　4.（－∞，1）∪（3，＋∞）　5.（文）22　（理）62

6.（文）4x－3y＋2＝0　（理）310　7.（文）[12，＋∞）　（理）e　8.（文）π4　（理）[12，＋∞）

9.（文）－32　（理）3π8　10.－22　11.92　12.（0，1100）∪（100，＋∞）　13.78　14.＜－3

15.解：

（1）在△ABc中，因为sin2cc＝sinBb，由bsinB＝csinc得（1分）

2sinccoscsinc＝sinBsinB，（2分）

所以cosc＝12.（4分）

又c∈（0，π），（5分）

所以c＝π3.（6分）

（2）因为c＝π3，B∈（0，2π3），B－π3∈（－π3，π3），则cos（B－π3）＞0.（8分）

又sin（B－π3）＝35，则cos（B－π3）＝1－sin2（B－π3）＝1－（35）2＝45.（10分）

又A＋B＝2π3，即A＝2π3－B，

所以cosA＝cos（2π3－B）＝cosπ3－（B－π3）（12分）

＝cosπ3•cos（B－π3）＋sinπ3•sin（B－π3）＝12×45＋32×35＝4＋3310.（14分）

16.解：

（1）由f（x）＜2得不等式可变形为（x－k）（x＋1）＜0，（1分）

①若k＝－1，则（x＋1）2＜0，解集为∅；（3分）

②若k＞－1，解集为（－1，k）；（5分）

③若k＜－1，解集为（k，－1）．（7分）

（2）由对任意x∈（－1，2），f（x）≥1恒成立，即x2＋（1－k）x＋1－k≥0恒成立，

即x2＋x＋1≥k（x＋1），对任意x∈（－1，2）恒成立，（8分）

k≤（x＋1）2－（x＋1）＋1x＋1＝（x＋1）＋1x＋1－1.（10分）

因为（x＋1）＋1x＋1－1≥2（x＋1）•1x＋1－1＝2－1＝1.（12分）

当x＋1＝1x＋1，即x＝0∈（－1，2）时，（13分）

（x＋1）＋1x＋1－1in＝1，故实数k的取值范围是（－∞，1]．（14分）

17.（文）解：

（1）因为直线l过A（1，1），且斜率为－3，

所以直线l：

y－1＝－3（x－1），即y＝－3x＋4.（1分）

令x＝0得c（0，4）；令y＝－x得D（2，－2）．（2分）

①因为oA→＝（1，1），Bc→＝（1，3），所以oA→•Bc→＝1×1＋1×3＝4.（4分）

②因为oD→＝λoA→＋μoc→，则（2，2）＝λ（1，1）＋μ（0，4），（5分）

即2＝λ，－2＝λ＋4μ，则λ＝2，μ＝－1，（6分）

所以λ－μ＝3.（7分）

（2）由图中两直线相交位置可得，直线l的斜率k存在，且k＜－1，（8分）

设直线l：

y－1＝k（x－1）．

令x＝0得c（0，1－k）；令y＝－x得D（k－1k＋1，1－kk＋1）．（9分）

则S△ocD＝12oc•|xD|＝12•（1－k）2－1－k（10分）

＝12（－k－1）＋4－k－1＋4≥122（－k－1）•4（－k－1）＋4＝4，（13分）

当且仅当－k－1＝4－k－1，即k＝－3∈（－∞，－1）时，（S△ocD）in＝4.

此时直线l：

y＝－3x＋4.（14分）

（理）解：

（1）（解法1）因为f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

则f′（x）＝1xlna＋1xln4＝1x（1lna＋1ln4）≥0在（0，＋∞）上恒成立．（2分）

则1lna＋1ln4≥0，ln4alna•ln4≤0，解得a＞1或0＜a≤14.（4分）

又当a＝14时，f（x）＝0为常数函数，不合题意．（5分）

所以a＞1或0＜a＜14.（6分）

（解法2）因为f（x）＝logax＋log4x＝log4xlog4a＋log4x＝log4x（1log4a＋1），（2分）

又f（x）在（0，＋∞）上为增函数，则1log4a＋1＞0，即1＋log4alog4a＞0，

所以log4a＜－1或log4a＞0，（4分）

即a＞1或0＜a＜14.（6分）

（2）当a＝4时，f（x）＝2log4x在（0，＋∞）上为增函数．（7分）

因为函数f（x）在定义域为[，n]，值域为2，n2，

则有f（）＝2log4＝2，f（n）＝2log4n＝n2，

所以，n为方程log2x＝x2在（0，＋∞）上的两个不等的实数解．（9分）

显然＝2，n＝4符合方程．（11分）

令h（x）＝log2x－x2，由h′（x）＝1xln2－12＝2－xln22xln2＝0，得x＝2ln2.（12分）

当x∈（0，2ln2）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，在（0，2ln2）上至多有一个零点；

当x∈（2ln2，＋∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，在（2ln2，＋∞）上至多有一个零点．

所以h（x）＝log2x－x2至多只有两个实数解．（13分）

故存在唯一正实数＝2，n＝4符合题意．（14分）

18.解：

（1）在△ABE中，∠ABE＝θ，∠A＝π3，则∠AEB＝2π3－θ.

由ABsin∠AEB＝BEsinA，得BE＝1003sin（2π3－θ）.（2分）

在△BcF中∠c＝π3，∠cBF＝π6－θ，则∠BcF＝π2＋θ.

同理可得，BF＝1003cosθ.（4分）

则S＝12BE•BF＝15000cosθsin（2π3－θ）.（7分）

（2）设f（θ）＝cosθ•sin（2π3－θ）＝cosθ•（sin2π3cosθ－cos2π3sinθ）

＝32cos2θ＋12sinθcosθ＝32•1＋cos2θ2＋14sin2θ＝34＋12sin（2θ＋π3）．（11分）

因为π2＋θ＜2π3，所以θ∈（0，π6）．（12分）

则当θ＝π12时，f（θ）ax＝2＋34，则Sin＝150002＋34＝60000（2－3）．（14分）

答：

（1）函数关系式为S＝3000032＋sin（2θ＋π3）；

（2）当θ＝π12时，面积S的最小值为60000（2－3）2.（16分）

19.（文）

（1）证明：

因为Sn＝2an－3n　①，当n＝1时，a1＝2a1－3，则a1＝3.

当n≥2时，有Sn－1＝2an－1－3（n－1）　②，

①－②得an＝2an－2an－1－3n＋3（n－1），即an＝2an－1＋3，（2分）

则an＋3＝2（an－1＋3），即bn＝2bn－1，又b1＝a1＋3＝6≠0，（3分）

所以数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列．（4分）

（2）证明：

由

（1）知bn＝6×2n－1＝3×2n，an＋3＝bn＝3×2n，则有an＝3×2n－3.

同时b2n＝9×4n，即数列{b2n}是以3为首项，4为公比的等比数列，（5分）

得Tn＝36（1－4n）1－4＝12（4n－1）．（6分）

因为Sn＝2an－3n，所以S2n＝2a2n－6n＝6（4n－1）－6n，（8分）

则S2n＋6nTn＝6×（4n－1）12（4n－1）＝12为定值．（10分）

（3）解：

令cn＝2n－an＝3－2n，若存在＜p＜n，使得c，cp，cn成等差数列，

则cp－c＝cn－cp，2cp＝c＋cn，即2•2n＝2＋2p　（*）．（12分）

等式两边同时除以2得2n＋1－＝1＋2p－.

因为＜p＜n，所以n＋1－，p－均为正整数，（14分）

故（*）式左边为偶数，而右边为奇数，所以（*）式不能成立．

故数列{2n－an}中不存在三项成等差数列．（16分）

（理）解：

（1）（解法1）因为函数f（x）为奇函数，则f（x）＝－f（－x）对一切实数恒成立，

即x3＋3ax2＋（3－6a）x＋12a＝－[（－x）3＋3a（－x）2＋（3－6a）（－x）＋12a]，

即6a（x2＋4）＝0对一切实数x恒成立，（2分）

所以a＝0.（3分）

（解法2）因为函数f（x）为奇函数，且函数的定义域为R，

所以f（0）＝0，得a＝0.（1分）

此时f（x）＝x3＋3x，f（－x）＝（－x）3＋3（－x）＝－x3－3x＝－f（x），

所以函数f（x）为奇函数，故a＝0.（3分）

（2）f（x）＝x3＋3ax2＋（3－6a）x＋12a＝a（3x2－6x＋12）＋x3＋3x.

设函数g（a）＝（3x2－6x＋12）a＋x3＋3x，

因为3x2－6x＋12＝3（x－1）2＋9＞0，所以函数g（a）在[－1，1]上单调递增．

令h（x）＝g（a）ax＝g

（1）＝x3＋3x2－3x＋12，（5分）

由h′（x）＝3x2＋6x－3＝3[x＋（1＋2）][x－（2－1）]，令h′（x）＝0得x＝2－1.

当x∈（－1，2－1）时，h′（x）＜0，函数h（x）为减函数；

当x∈（2－1，1）时，h′（x）＞0，函数g（x）为增函数．（7分）

而h

（1）＝13，h（－1）＝17，所以h（x）ax＝17，则＞17.（8分）

（3）因为f（x）在x＝x0∈（0，3）处取得极小值　（*），

则令f′（x）＝3[x2＋2ax＋（1－2a）]＝0，令s（x）＝x2＋2ax＋（1－2a）　①.

则方程①有两个不相等的实根x1，x2，不妨设x1＜x2，

所以Δ＝4a2－4（1－2a）＞0，解得a＞－1＋2或a＜－1－2　②.（9分）

设s（x）＝（x－x1）（x－x2），则f′（x）＝3（x－x1）（x－x2）．

当x∈（－∞，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；

当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当x∈（x2，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

所以f（x）的极小值在较大根x2处取得，令x2＝x0∈（0，3）．（10分）

（解法1）1°当x1＜0，x0∈（0，3）时，

因为x1＜0＜x0＜3，则s（0）＝x1x0＝1－2a＜0，s（3）＝（3－x1）（3－x0）＝10＋4a＞0，

解得a＞12.（11分）

反之，当a＞12时，Δ＝4a2－4（1－2a）＞0，方程①有两个实根x1，x0；

且满足s（0）＝1－2a＜0，s（3）＝10＋4a＞0，则方程在区间（0，3）上必有一根x0；

又s（0）＝x1x0＝1－2a＜0，而x0＞0，所以x1＜0.

所以满足条件（*）．此时a＞12　③.（12分）

2°当x1，x0∈（0，3）时，s（x）的对称轴为x＝－a＝x0＋x12∈（0，3）　④，

s（x）在（0，－a）上为减函数，在（－a，3）上为增函数．

因为0＜x1＜－a＜x0＜3，所以s（0）＝1－2a＞s（x1）＝0，s（3）＝10＋4a＞s（x0）＝0.

结合②④，解得－52＜a＜－1－2.（13分）

反之，当－52＜a＜－1－2时，Δ＞0，方程①必有两不相等的根x1，x0.

又1＋2＜－a＜52，所以对称轴x＝－a∈（0，3），而函数s（x）in＝s（－a）＜0，

因为s（x）在（0，－a）上为减函数，且s（0）＝1－2a＞0，则s（x）在（0，－a）上必有一根x1；

s（x）在（－a，3）上为增函数，且s（3）＝10＋4a＞0，则s（x）在（－a，3）上必有一根x0，

显然x1＜x0.所以满足条件（*）．此时－52＜a＜－1－2　⑤.（14分）

3°当方程有一根分别为0时，此时s（x）的两根分别为－1，0，不合题意．（15分）

综上，由③⑤得－52＜a＜－1－2或a＞12.（16分）

（解法2）此时方程s（x）＝0有两个实根x1，x0，x1＜x0，

则x1＝－a－a2＋2a－1＜x0＝－a＋a2＋2a－1，（12分）

则0＜－a＋a2＋2a－1＜3，即a＜a2＋2a－1＜3＋a　⑥.

1°当a＞－1＋2时，⑥平方得a2＜a2＋2a－1＜（3＋a）2，解得a＞12.（13分）

2°当a＜－1－2时，a＜a2＋2a－1恒成立．

由a2＋2a－1＜3＋a，平方解得－52＜a＜－1－2.（15分）

综上，由1°，2°可得a＞12或－52＜a＜－1－2.（16分）

20.

（1）解：

因为h（x）＝f（x）－g（x）＝ex－x2在（0，＋∞）上为增函数，

则h′（x）＝ex－2x≥0在（0，＋∞）上恒成立，即2≤exx恒成立．（2分）

设函数k（x）＝exx，x∈（0，＋∞），则k′（x）＝ex（x－1）x2＝0，得x＝1.

x（0，1）1（1，＋∞）

k′（x）—0＋

k（x）

所以k（x）in＝k

（1）＝e，所以≤e2.（4分）

（2）解：

设切点为（x0，ex0）．因为f′（x）＝ex，所以ex0＝k，ex0＝kx0＋1，（6分）

所以ex0（x0－1）＋1＝0.令l（x）＝ex（x－1）＋1，l′（x）＝ex•x＝0，得x＝0.

x（－∞，0）0（0，＋∞）

l′（x）—0＋

l（x）

所以l（x）in＝l（0）＝0，所以x0＝0，所以k＝1.（8分）

（3）证明：

因为f（x）＝ex在（－∞，＋∞）上单调递增，且x2－x1＞0，ex2－ex1＞0，（9分）

所以f（x1）＋f（x2）2＞f（x2）－f（x1）x2－x1⇔ex1＋ex22＞ex2－ex1x2－x1⇔x2－x12＞ex2－ex1ex2＋ex1

⇔12（x2－x1）＞ex2－x1－1ex2－x1＋1⇔12（x2－x1）＞1－2ex2－x1＋1　（*）．（12分）

令x2－x1＝t＞0，F（t）＝t2＋2et＋1－1，F′（t）＝12－2et（et＋1）2＝（et－1）22（et＋1）2.（14分）

因为t＞0，所以F′（t）＞0，所以F（t）在（0，＋∞）上单调递增，

所以F（t）＞F（0）＝0，（*）式成立，则f（x1）＋f（x2）2＞f（x2）－f（x1）x2－x1.（16分）

2018秋高三期中考试试卷

（一）（镇江）

数学附加题参考答案及评分标准

21.解：

y′＝1x2－2x（x2－2x）′＝2x－2x2－2x，（4分）

则切线在x＝3处的斜率k＝2×3－232－2×3＝43.（6分）

当x＝3时，y＝ln3，（8分）

则切线方程为y－ln3＝43（x－3），即4x－3y－12＋3ln3＝0.（10分）

22.证明：

①当n＝4时，24＝16＞42＋3×4＋22＝15，则结论成立．（2分）

②假设当n＝k（k≥4）时，满足2k＞k2＋3k＋22，（4分）

则当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＞2×k2＋3k＋22＝2k2＋6k＋42.（6分）

因为k≥4，

则2k2＋6k＋42－（k＋1）2＋3（k＋1）＋22＝k2＋k－22＞0，

所以2k2＋6k＋42＞（k＋1）2＋3（k＋1）＋22.（8分）

即当n＝k＋1时，有2n＞n2＋3n＋22成立．（9分）

综合①②，当n≥4，n∈N时，有2n＞n2＋3n＋22.（10分）

23.解：

（1）记f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2019x2019.

令x＝－1，得f（－1）＝a0＋a1（－1）＋a2（－1）2＋…＋a2019（－1）2019＝－1，

即a0－a1＋a2－a3＋…＋a2018－a2019＝－1　①.（2分）

令x＝1，得f

（1）＝a0＋a1＋a2＋…＋a2019＝22018＋32019，

即a0＋a1＋a2＋…＋a2019＝22018＋32019　②.（4分）

由①＋②得2（a0＋a2＋…＋a2018）＝－1＋22018＋32019，

则a0＋a2＋…＋a2018＝12（22018＋32019－1）．（6分）

（2）根据题意得c1＋2c1n＝11，则＋2n＝11，（7分）

则x2的系数为c2＋22c2n＝（－1）2＋2n（n－1）（8分）

＝2－2＋（11－）（11－2－1）＝（－214）2＋35116.（9分）

因为∈N*，所以＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.（10分）

24.解：

（1）设该同学参加了语文、数学、英语兴趣小组的事件分别为A，B，c，

对应的概率分别为P（A）＝x，P（B）＝y，P（c）＝z.（1分）

因为该同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，

则P（AB　c）＝P（A）P（B）P（c）＝x（1－y）（1－z）＝0.08　①；（2分）

因为该同学只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，

则P（ABc）＝P（A）P（B）P（c）＝xy（1－z）＝0.12　②；（3分）

因为该同