福建省南平市届高三质量检查数学文试题及答案.docx
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福建省南平市届高三质量检查数学文试题及答案
2015年南平市普通高中毕业班质量检查
文 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共5页．满分150分．
考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的标准差锥体体积公式
s=
V=
Sh
其中
为样本平均数其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式球的表面积、体积公式
V=Sh
，
其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合
，
≤
≤
，则
A．
B．
C．
D．
2．在复平面内，复数
（i是虚数单位）对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．
=
A．
B．
C．-
D．-
4．过点
且与直线
平行的直线方程是
A．
B．
C．
D．
5．在
中，“
”是“
”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．若变量x，y满足约束条件
则z=2x+y的最大值为
A．-3B．2C．3D．4
7．若把函数
的图象上的所有点向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是
A.
B.
C.
D.
8．已知向量
，
的夹角为
，且
，
，则
=
A.2B.
C.
D.
9．设数列
是以3为首项，1为公差的等差数列，
是以1为首项，2为公比的等比数列，则
=
A．15B．60C．63D．72
10．在三棱锥
中，侧棱
，
，
两两垂直，
，
，
的
面积分别为
，
，
，则该三棱锥外接球的表面积为
A.
B.
C.
D.
11．利用计算机产生0~3之间的均匀随机数
、
，则事件“
”发生的概率为
A.
B.
C.
D.
12．在平面内，曲线
上存在点
，使点
到点A（3，0），B（-3，0）的距离之和为10，则称曲线
为“有用曲线”．以下曲线不是“有用曲线”的是
A．
B．
C．
D．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．
13.一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为.
14．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值
输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y
值相等，则这样的x值的个数是.
15．已知P是抛物线
上的一个动点，则P到
直线
：
和
：
的距离之和的最小值是.
16．关于函数
，给出下列四个命题：
该函数没有大于
的零点；
该函数有无数个零点；
该函数在
内有且只有一个零点；
若
是函数的零点，则
．
其中所有正确命题的序号是.
三、解答题：
本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分12分）
学校开展阳光体育活动，对学生的锻练时间进行随机抽样调查，从中随机抽取男、女生各25名进行了问卷调查，得到了如下列联表：
锻练时间
男生
女生
合计
少于1小时
5
x
不少于1小时
y
10
合计
（Ⅰ）根据上表数据求x，y，并据此资料分析：
有多大的把握可以认为“锻练时间与性别有关”?
（Ⅱ）从这50名学生中用分层抽样的方法抽取5人为样本，求从该样本中任取2人，
至少有1人锻练时间少于1小时的概率.
≥
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18．（本题满分12分）
已知正项等差数列
的前
项和为
，若
，且
，
，
成等比数列.
（Ⅰ）求
的通项公式；
（Ⅱ）若
，数列
的前
项和为
，求
.
19．（本题满分12分）
已知函数
，
．
（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；
（Ⅱ）在
中，角
所对边的长分别是
，若
，
，
，求
的面积．
20．（本题满分12分）
如图，已知
⊙
所在的平面，
是⊙
的直径，
，
是⊙
上一点，且
，
，
是
的中点，
是
的中点，
为线段
上（除点
外）的一个动点.
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ）求证：
；
（III）求三棱锥
的体积.
21．（本题满分12分）
已知椭圆
的离心率为
，短半轴长为
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知斜率为
的直线
交椭圆
于两个不同点A，B，点M的坐标为
，
设直线MA与MB的斜率分别为
，
．
①若直线
过椭圆
的左顶点，求此时
，
的值；
②试探究
是否为定值？
并说明理由.
22．（本题满分14分）
己知函数
（
），
（Ⅰ）若函数
的图象在点（1，
）处的切线方程为
，
求实数
，
的值；
（Ⅱ）若函数
≤0恒成立，求实数
的取值范围；
（III）若函数
有两个不同的极值点分别为
，
，求证：
.
2015年南平市普通高中毕业班质量检查
文科数学试题参考答案及评分标准
说明：
1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：
本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．A；2．D；3．A；4．B；5．C；6．C；
7．C；8．D；9．B；10．B；11．D；12．B．
二、填空题：
本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
13．4；14．3；15．3；16．
.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．本题满分12分．
解：
（Ⅰ）
锻练时间
男生
女生
合计
少于1小时
5
15
20
不少于1小时
20
10
30
合计
25
25
50
x=15，y=20…………………（2分）
由已知数据得
…………………（4分）
所以有99.5%以上的把握认为“锻练时间与性别有关”…………………（6分）
（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本,所以抽取了锻练时间少于1小时2人，不少于1小时3人，分别记作A1、A2；B1、B2、B3.
从中任取2人的所有基本事件共10个：
（A1,B1）,（A1,B2）,（A1,B3）,（A2,B1）,（A2,B2）,（A2,B3）,（A1,A2）,（B1,B2）,（B2,B3）,（B1,B3）.…………………（8分）
其中至少有1人的锻练时间少于1小时的基本事件有7个：
（A1,B1）,（A1,B2）,
（A1,B3）,（A2,B1）,（A2,B2）,（A2,B3）,（A1,A2）.…………………（10分）
∴从中任取2人，至少有1人的锻练时间少于1小时的概率为
.…………（12分）
18．本题满分12分．
解：
（Ⅰ）设正项等差数列
的公差为d,故
，
，
成等比数列，则有
，
即
…………………（1分）
又
，…………………（2分）
解得
或
（舍去）…………………（4分）
…………………（6分）
（Ⅱ）
…………………（7分）
=
………………（8分）
………………（9分）
……………………（11分）
……………………（12分）
19．本题满分12分．
解：
（Ⅰ）∵
，
）
…………………（1分）
∴
.…………………（3分）
由
，
解得
…………………（5分）.
∴函数
的单调递增区间是
.…………………（6分）
（Ⅱ）∵在
中，
，
∴
解得
.
…………………（8分）
又
，∴
.…………………（9分）
依据正弦定理，有
，解得
…………………（10分）
.…………………（11分）
…………………（12分）
20．本题满分12分．
证明：
（Ⅰ）
是
的中点，
是
的中点，
∥
…………………（1分）
平面
，
点
不于点
重合，
平面
//平面
…………………（3分）
（Ⅱ）
⊙
所在的平面，
⊙
所在的平面，
…………………（5分）
又
是⊙
的直径，
…………………（6分）
于
，
平面
…………………（7分）
平面
，
…………………（8分）
（III）在
中，
，
，所以
…………（9分）
因为
，
，所以
.
因为
，所以
…………………（10分）
所以
…………………（11分）
由（Ⅱ）知
，所以
.………………（12分）
21．本题满分12分．
解：
（Ⅰ）由椭圆的离心率为
，
，又
，
，
解得
，
所以椭圆
的方程为
.…………………（3分）
（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是
，
联立方程组
，解得
或
，
故
，
.…………………（6分）
②
为定值，且
.…………………（7分）
证明如下：
设直线在
轴上的截距为
所以直线的方程为
.
由
得
.
当
，即
时，直线与椭圆交于两点………（8分）
设
.
则
，
.…………………（9分）
又
，
故
=
.…………（10分）
又
，
，
所以
故
.…………………（12分）
22．本题满分14分．
解：
（Ⅰ）
，…………………（2分）
因为切线方程为
，所以
，即
……………（3分）
又
可得切点为（1，-1），代入切线方程得
……………（4分）
（Ⅱ）
恒成立等价于
恒成立，即
……………（5分
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