傅里叶级数学习课件doc.docx
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傅里叶级数学习课件doc
傅里叶级数（FourierSeries）
引言
正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数
yAsin（t）
2
就是一个以
为周期的函数。
其中y表示动点的位置，t表示时间，A为振幅，为
角频率，为初相。
但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂
的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。
具体地说，将周期为T
（2）
的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数
Ansin（ntn组成的级数来表示，记为
）
f（t）
A
0Asin（）
nnt
n
n1
其中A0,An,n（n1,2,3,）都是常数。
将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许
多不同频率的简谐振动的叠加。
在电工学上，这种展开称为谐波分析。
其中常数项A0称为
f的直流分量；A1sin（t1）称为一次谐波（又叫做基波）；而A2sin（2t2），
（t）
A3t依次称为二次谐波，三次谐波，等等。
sin（3）
3
为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数Ansin（ntn）按三角公式变形，得
Ansin（ntn）AnsinncosntAncosnsinnt，
a
0，则上式等号右端的级数就可以改写令AaAbAtx
nsin,cos,0nnnnn
2
成
a
0（cossin）
a
nnxbnx
n
2
n1
这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。
1.函数能展开成傅里叶级数的条件
（1）函数f（x）须为周期函数；
（2）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果x0是函数f（x）的间断点，但
左极限f（x00）及右极限f（x00）都存在，那么x0称为函数f（x）的第一类间断
点）
（3）在一个周期内至多只有有限个极值点。
若满足以上条件则f（x）能展开成傅里叶级数，且其傅里叶级数是收敛的，当x是
f（x）的连续点时，级数收敛于f（x），当x是f（x）的间断点时，级数收敛于
1
2
[
f（x0）f（x0）]。
、
以上也是收敛定理（狄利克雷（Dirichlet）充分条件）的内容。
2.函数展开成傅里叶级数
（1）首先介绍一下三角函数系的正交性的概念：
所谓三角函数1，cosx,sinx,cos2x,sin2x,,cosnx,sinnx,①
在区间[,]上正交，就是指在三角函数系①中任何不同的两个函数的乘积在区间
[,]上的积分等于零，即
cosnxdx0（n1,2,3），
sinnxdx0（n1,2,3），
sinkxcosnxdx0（k,n1,2,3），
coskxcosnxdx0（k,n1,2,3,kn），
sinkxsinnxdx0（k,n1,2,3,kn）.
（2）傅里叶系数的推导
设f（x）是周期为2的周期函数，且满足收敛定理的条件，则函数f（x）的傅里叶级数记
作
a
0（cossin）
f（x）annxbnx②
n
2
n1
那么傅里叶系数a0,a1,b1,如何利用f（x）表达出来？
先求a0，对②式从到逐项积分：
f（x）dx
a
0cossin
dx
annxdxbnxdx
n
2
n1
根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：
a
0
f（x）dx2
2
从而得出
1
af（x）dx
0
其次求an，用cosnx乘②式两端，再从到逐项积分，可得
a
fx）cosnxdxcos
（0
2
nxdx
n1
2sincos
a
ncosnxdxbnxnxdx
n
根据三角函数系①的正交性，可以得出：
f
1cos2nx
（2
xnxdxcosnxdxa
）cosana
nn
2
1（n1,2,3）.
fxnxdx
an（）cos
类似地，用sinnx乘②式两端，再从到逐项积分，可得
a
fx）sinnxdxsin
（0
2
nxdx
n1
2
a
nsinnxcosnxdxbsinnxdx
n
根据三角函数系①的正交性，可以得出：
1cos2nx2
f（x）sinnb
nxdxasinnxdxa
nn
21
bn（）sin
fxnxdx
（n1,2,3）
由于当n0时，an的表达式正好给出a0，因此，已得结果可以合并写成
1
an（x）cos
fnxdx
（n0,1,2,3），
1
bnf（x）sin
nxdx
（n1,2,3），
例：
设f（x）是周期为2的周期函数，它在[,）上的表达式为
1,x0,
f（x）
1,0x.
将f（x）展开成傅里叶级数。
解所给函数满足收敛定理的条件，它在点xk（k0,1,2,）处不连续，在其它点
处连续，从而由收敛定理可知f（x）的傅里叶级数收敛，且当xk时级数收敛于
1
2
11
（
2
1）
0
，
当xk时级数收敛于f（x）。
计算傅里叶系数如下：
1
an（）cos
fxnxdx
11
0
（1）cosnxdxcosnxdx
0
0（n0,1,2,3）；
1
bn（）sin
fx
nxdx
11
0
（1）sinnxdxsinnxdx
0
0
1cosnx1cosnx
nn
0
1
n
[1cosncosn1]
2n
[1
（1）
n
]
4
n
n1,3,5,,
0,n2,4,6,.
将求得的傅里叶系数代入，得出f（x）的傅里叶级数展开式为：
411
f（x）sinxsin3xsin（2k1）x
32k1
（x；x0,,2,）.
3.奇函数和偶函数的傅里叶级数
定理：
设f（x）是周期为2的函数，满足收敛定理的条件，则
①当f（x）为奇函数时，它的傅里叶系数为
a
n
0（n0,1,2,）,
b
n
2
0
f（x）sinnxdx（n1,2,3,）.
②当f（x）为偶函数时，它的傅里叶系数为
a
n
2
0
f（x）cosnxdx（n0,1,2,）,
b
n
0（n1,2,3,）.
下面对这个定理加以证明
（1）证设f（x）为奇函数，即f（x）f（x）。
按傅里叶系数公式有：
1
an（）cos
fxnxdx
11
0
f（x）cosnxdxf（x）cosnxdx
0
利用定积分换元法，在右边的第一个积分中以x代替x，然后对调积分的上下限同时
更换它的符号，得
11
0
an
f（x）cos（nx）（dx）f（x）cosnxdx
0
11
f（x）cos（nx）（dx）f（x）cosnxdx
00
0（n0,1,2,）.
同理
1
bn（）sin
fx
nxdx
11
0
f（x）sinnxdxxsinnxdx
0
11
0
f（x）sin（nx）（dx）xsinnxdx
0
11
f（x）sinnxdxxsinnxdx
00
2
f（x）sinnxdx（n1,2,3,）.
0
（2）证设f（x）为偶函数，即f（x）f（x）。
同
（1）利用定积分换元法
1
an（）cos
fxnxdx
11
0
f（x）cosnxdxf（x）cosnxdx
0
11
0
f（x）cos（nx）（dx）f（x）cosnxdx
0
11
f（x）cos（nx）（dx）f（x）cosnxdx
00
2
f（x）cosnxdx（n0,1,2,3,）.
0
1
bn（）sin
fx
nxdx
11
0
f（x）sinnxdxxsinnxdx
0
11
0
f（x）sin（nx）（dx）xsinnxdx
0
11
f（x）sinnxdxxsinnxdx
00
0（n0,1,2,）.
这个定理说明了：
如果f（x）为奇函数，那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
bnsinnxn1
如果f（x）为偶函数，那么它的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数
a
0cos.
a
nnx
2
n1
4.傅里叶级数的复数形式
傅里叶级数还可以用复数形式表示，在电子技术中，经常应用这种形式。
设周期为2周期函数f（x）的傅里叶级数为
a
0（cossin）
a
nnxbnx
n
2
n1
③
其中系数an,bn为
a
n
1
f（x）cosnxdx（n0,1,2,）,
④1
b
f（x）sinnxdx（n1,2,3,）.
n
利用欧拉公式
ite
it
e
cost，
2
sint
it
e
e
2i
it
于是③式化为
aaib
0n（ee）
inxinxninxinx
（ee）
222
n1
a
0
2
n1
aibaib
ne
ninxnn
e
22
inx
）
.
⑤
记
aanibcaibc
0（n1,2,3,）,
nnn
c,,
0nn
222
则⑤式就表示为
a
0
2
n1
inx
c
nece
n
inx
）.
inxinxinx
（n
cne）.
）cnece
0n
n1
inx
c⑥
nen
⑥式即为傅里叶级数的复数形式。
系数cn的计算
a1
0
根据④式可得出fxdx
c（）
0
22
c
n
a
n
2
ib
n
1
2
1
i
f（x）cosnxdxf（x）sinnxdx
1
2
f（x）cosnxisinnxdx
1
2
finx；
（x）edx（n1,2,3,）
c
n
a
n
2
ib
n
1
2
finx
（x）e
dx（n1,2,3,）
将已得的结果合并为：
1
cninx⑦
f（x）edx（n0,1,2,）.
2
⑦式就为傅里叶系数的复数形式。
傅里叶级数的两种形式，在本质上是一样的，但复数形式比较简洁，且在电子技术中经常
用到这种形式。
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