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1、傅里叶级数学习课件doc傅里叶级数（ Fourier Series）引言正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数y A sin( t )2就是一个以为周期的函数。其中 y 表示动点的位置， t 表示时间， A为振幅， 为角频率， 为初相。但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说，将周期为 T( 2 )的周期函数用一系列以 T 为周期的正弦函数An sin( n t n 组成的级数来表示，记为)f (t)A0 A sin( )n n tnn 1其中 A0 ,

2、 An , n (n 1,2 ,3, ) 都是常数。将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析。其中常数项 A0 称为f 的直流分量； A1 sin( t 1) 称为一次谐波（又叫做基波） ；而 A2 sin( 2 t 2 ) ，(t)A3 t 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。sin( 3 )3为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数 An sin( n t n ) 按三角公式变形，得An sin( n t n ) An sin n cos n t An cos n sin n t ，a0 ，则上式等号右

3、端的级数就可以改写 令 A a A b A t x,n sin , cos , 0 n n n n n2成a0 ( cos sin ) an nx b nxn2n 1这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。1.函数能展开成傅里叶级数的条件（1） 函数 f (x) 须为周期函数；（2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； （如果 x0 是函数 f (x) 的间断点， 但左极限 f (x0 0) 及右极限 f (x0 0) 都存在，那么 x0 称为函数 f (x) 的第一类间断点）（3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。若满足以上条件则 f (x) 能展开成傅里叶级数，且其傅里叶级数是收敛的

4、，当 x 是f (x) 的连 续 点 时， 级 数 收 敛于 f ( x) ， 当 x 是 f (x) 的间 断点 时 ， 级数 收敛 于1 2f (x 0) f (x 0) 。、以上也是收敛定理（狄利克雷（ Dirichlet ）充分条件）的内容。2.函数展开成傅里叶级数（1）首先介绍一下三角函数系的正交性的概念：所谓三角函数 1，cos x, sin x,cos 2x,sin 2x, , cosnx ,sin nx, 在区间 , 上正交，就是指在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间 , 上的积分等于零，即cosnxdx 0 (n 1,2,3 ) ，sin nxdx 0 (n 1,2

5、,3 ) ，sin kxcosnxdx 0 (k,n 1,2 ,3 ) ，coskxcosnxdx 0 (k, n 1,2 ,3 ,k n) ，sin kxsin nxdx 0 (k, n 1,2 ,3 , k n).（2）傅里叶系数的推导设 f (x) 是周期为 2 的周期函数， 且满足收敛定理的条件， 则函数 f (x) 的傅里叶级数记作a0 ( cos sin )f (x) an nx b nx n2n 1那么傅里叶系数 a0 ,a1,b1, 如何利用 f (x) 表达出来？先求 a0，对式从 到 逐项积分：f ( x)dxa0 cos sindxan nxdx b nxdxn2n 1根

6、据三角函数系的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：a0f ( x)dx 2 2从而得出1a f ( x)dx0其次求 an，用 cos nx 乘式两端，再从 到 逐项积分，可得af x) cos nxdx cos( 02nxdxn 12 sin cosan cos nxdx b nx nxdxn根据三角函数系的正交性，可以得出：f1 cos2nx( 2x nxdx cos nxdx a) cos an an n21 (n 1,2 ,3 ) . f x nxdxan ( ) cos类似地，用 sin nx乘式两端，再从 到 逐项积分，可得af x) sin nxdx sin( 02n

7、xdxn 12an sin nx cos nxdx b sin nxdxn根据三角函数系的正交性，可以得出：1 cos 2nx 2f ( x) sin n bnxdx a sin nxdx an n2 1bn ( ) sinf x nxdx(n 1,2 ,3 )由于当 n 0时， an 的表达式正好给出 a0 ，因此，已得结果可以合并写成1an (x) c o sf n x dx(n 0,1,2 ,3 ) ，1bn f ( x) sinnxdx(n 1,2 ,3 ) ，例： 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数，它在 , ) 上的表达式为1, x 0,f (x)1, 0 x .将 f (x

8、) 展开成傅里叶级数。解 所给函数满足收敛定理的条件， 它在点 x k (k 0, 1, 2, )处不连续， 在其它点处连续，从而由收敛定理可知 f (x) 的傅里叶级数收敛，且当 x k 时级数收敛于121 1(21)0，当 x k 时级数收敛于 f ( x) 。计算傅里叶系数如下：1an ( ) cosf x nxdx1 10( 1) cosnxdx cosnxdx00 (n 0,1, 2,3 ) ；1bn ( )sinf xnxdx1 10( 1) sin nxdx sin nxdx001 cos nx 1 cos nxn n01n1 cosn cosn 12 n1 ( 1)n4n,n

9、1,3,5, ,0, n 2, 4,6, .将求得的傅里叶系数代入，得出 f ( x) 的傅里叶级数展开式为：4 1 1f (x) sin x sin 3x sin( 2k 1)x3 2k 1( x ； x 0, , 2 , ) .3.奇函数和偶函数的傅里叶级数定理：设 f (x) 是周期为 2 的函数，满足收敛定理的条件，则 当 f (x) 为奇函数时，它的傅里叶系数为an0 (n 0,1,2, ),bn20f (x) sin nxdx (n 1, 2 ,3, ). 当 f (x) 为偶函数时，它的傅里叶系数为an20f (x) cosnxdx (n 0,1,2 , ),bn0 (n 1,

10、2 ,3, ).下面对这个定理加以证明（1）证 设 f (x) 为奇函数，即 f ( x) f ( x) 。按傅里叶系数公式有：1an ( ) cosf x nxdx1 10f (x) cosnxdx f (x) cosnxdx0利用定积分换元法，在右边的第一个积分中以 x 代替 x ，然后对调积分的上下限同时更换它的符号，得1 10anf ( x) cos( nx)( dx) f (x) cosnxdx01 1 f (x) cos(nx)( dx) f (x) cosnxdx0 00 (n 0,1,2 , ).同理1bn ( ) sinf xnxdx1 10f (x) sin nxdx x

11、sin nxdx01 10f ( x) sin( nx)( dx) x sin nxdx01 1f (x) sin nxdx x sin nxdx0 02f (x) sin nxdx (n 1,2,3, ).0（2）证 设 f (x) 为偶函数，即 f ( x) f (x) 。同（1）利用定积分换元法1an ( ) cosf x nxdx1 10f (x) cosnxdx f (x) cosnxdx01 10f ( x) cos( nx)( dx) f (x) cosnxdx01 1f (x) cos(nx)( dx) f (x) cosnxdx0 02f (x) cosnxdx (n 0,1

12、, 2, 3, ).01bn ( ) sinf xnxdx1 10f (x) sin nxdx x sin nxdx01 10f ( x) sin( nx)( dx) x sin nxdx01 1f ( x) sin nxdx x sin nxdx0 00 (n 0,1,2 , ).这个定理说明了：如果 f (x) 为奇函数，那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数bn sin nx n 1如果 f (x) 为偶函数，那么它的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数a0 c o s . an nx2n 14.傅里叶级数的复数形式傅里叶级数还可以用复数形式表示，在电子技术中，经常应用这种形式

13、。设周期为 2 周期函数 f (x) 的傅里叶级数为a0 ( cos sin )an nx b nxn2n 1其中系数 an ,bn 为an1f ( x) cos nxdx (n 0,1,2, ), 1bf ( x) sin nxdx (n 1, 2,3, ).n利用欧拉公式it eitecos t ，2sin titee2iit于是式化为a a ib0 n (e e )inx inx n inx inx(e e )2 2 2n 1a02n 1a ib a ibn en i n x n ne2 2i n x).记a an ib c a ib c0 (n 1, 2,3, ),n n nc , ,

14、0 n n2 2 2则式就表示为a02n 1inxcne c eninx) .inx inx inx( ncne ) .) cn e c e0 nn 1inxc ne n式即为傅里叶级数的复数形式。系数 cn 的计算a 10根据式可得出 f x dxc ( )02 2cnan2ibn121if (x)c o sn x d x f ( x) s i nn x d x12f ( x) cosnx i sin nx dx12f inx ；( x)e dx (n 1,2,3, )cnan2ibn12f inx( x)edx (n 1,2,3, )将已得的结果合并为：1cn inx f ( x)e dx (n 0, 1, 2, ).2式就为傅里叶系数的复数形式。傅里叶级数的两种形式， 在本质上是一样的， 但复数形式比较简洁， 且在电子技术中经常用到这种形式。