11平稳过程下遍历性.docx
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11平稳过程下遍历性
第四节遍历过程（历经过程）
要讨论平稳随机过程的数字特征，就应该知道一族样本函数，而样本函数往往需要大量的观察试验，然后用数理统计的点估计理论进行估计才能取得，其要求是很高的。
讨论平稳随机过程的历经性就是讨论能否在较宽松的条件下，用一个样本函数去近似计算平稳过程的均值和相关函数等数字特征。
一.时间均值和时间相关函数
设随机过程{X（t）,t∈T=（-∞,+∞）}
l
任意固定e∈S,样本函数X（e,t）=x（t）,x（t）在区间[-l,l]（l>0）上的函数平均值定义为
x（t）=1
2l
⎰-l
x（t）dt
x（t）在（-∞,+∞）上的函数平均值定义为
x（t）
=lim1⎰
x（t）dt
l
l→+∞2l-l
当e变化时
X（t）=
X（e,t）
=lim1⎰
X（e,t）dt
l
l→+∞2l-l
定义1
X（t）=
X（e,t）
=lim1⎰
X（e,t）dt
l
l→+∞2l-l
称为随机过程X（t）对于参数t的平均值,通常称为X（t）的时间均值.
显然X（t）是一个随机变量.
可以记Y=X（t）
定义2∀t,τ∈（-∞,+∞）
X（t）X（t
+τ）=
X（e,t）X（e,t
+τ）
=lim1⎰
X（e,t）X（e,t
+τ）dt
l
l→+∞2l-l
称为随机过程X（t）的时间相关函数.
显然X（t）X（t
+τ）
=lim1⎰
X（e,t）X（e,t
+τ）dt
l
l→+∞2l-l
是一个随机过程.
可以记Y（τ）=
X（t）X（t+τ）
例1.求随机相位正弦波
X（t）
=acos（ωt
+Θ）
的时间均值和时间相关函数.
解:
时间均值
X（t）=
X（e,t）
=lim1⎰
X（e,t）dt
l
l→+∞2l-l
l
=lim1⎰
acos（ωt
+
Θ）dt
l→+∞
=
2l-l
a⋅
1sin（ω
t+Θ）|l
2l
lim
l→+∞
ω-l
=lima
sin（ωl+Θ）-sin（-ωl+Θ）=0
l→+∞2ωl
时间相关函数
X（t）X（t+τ）=lim1⎰
l
X（e,t）X（e,t+τ）dt
l→+∞2l-l
=lim1⎰
acos（ωt
+Θ）⋅acos[ω（t
+τ）+Θ]dt
l
l→+∞2l-l
=lima2⎰
cosωτ+cos[ω（2t+τ）+Θ]dt
l
l→+∞2l-l2
=a2
cosωτ
2
a2
由第二节例1知μX
=0,
RX（τ）=
cosωτ
2
结论
这样,对于随机相位正弦波,用时间平均和集平均分别算得的均值和自相关函数是相等的，并且与t无关.称均值和相关函数都具有各态遍历性。
二.各态遍历性
定义3设X（t）是一个平稳过程T=（-∞,+∞）或T=[0,+∞）
（1）如果
P{X（t）=
E[X（t）]=
μX}=1
则称过程X（t）的均值具有各态遍历性;
（2）如果P{X（t）X（t
+τ）=
E[X（t）X（t
+τ）]=
RX（τ）}=1
则称过程X（t）的自相关函数具有各态遍历性.
（3）均值和自相关函数都具有各态遍历性的平稳过程称为遍历过程,或者说,该平稳过程具有遍历性.
遍历过程的例子
由前面例题的结果,知随机相位正弦波是平稳过程,且
μX=
E[X（t）]=0,
X（t）=0
于是有
P{X（t）=
E[X（t）]=
μX}=
P{S}=1
RX（τ）=
E[X（t）X（t
+τ）]=
a2cosωτ
2
2
X（t）X（t
+τ）=
a2cosωτ
于是有
P{X（t）X（t
+τ）=
E[X（t）X（t
+τ）]=
RX（τ）}=
P{S}=1
故X（t）是均值和自相关函数都具有各态遍历性的平稳过程,即随机相位正弦波是遍历过程.
不具各态遍历性的例子：
设X（t）=Y,Y是一个随机变量,且DY≠0.则
（1）X（t）是平稳过程;
（2）X（t）的均值不具有各态遍历性.
解
（1）
E[X（t）]=EY
是常数
E[X
2（t）]=
EY2
是常数
E[X（t）X（t
+τ）]=
EY2
与t无关
由定义,X（t）是平稳过程.
（2）
X（t）=
X（e,t）
=lim1⎰
X（e,t）dt
l
l→+∞2l-l
=lim1
⎰Ydt=Y
l
l→+∞2l-l
利用定理
DX=0⇔
P{X
=EX}=1
由条件DY≠0，得
P{X
（t）=Y
=EY
=μX}≠1
所以X（t）的均值不具有各态遍历性.
平稳过程均值具各态遍历性的判别定理
引理设{X（t）,－∞2l
E[X
（t）]
=μX=
E[X
（t）]
D[X（t）]=
lim1
l
l→+∞
⎰0（1-
τ）[R
X
2lX
（τ）-μ2
]dτ
定理三（均值各态遍历定理）
平稳过程{X（t）,－∞2l
态遍历性的充要条件是
l
lim1
l→+∞
⎰0（1-
τ）[R
2lX
（τ）-μ2
]dτ=0
X
证根据方差的性质以及引理
X（t）=
E[X
（t）]=
E[X
（t）]=μX
以概率1成立的充要条件是
D[X（t）]=0
再由引理,即得证.
例2讨论随机电报信号（见第二节例5）过程
的均值的各态历经性.
X
解：
已知随机电报信号过程为零均值平稳
过程，且
R（τ）=I2e-2λ|τ|
⎰0
12l
（1
τ）[R（τ）-μ2]dτ
-
l
lim
l→+∞
2lXX
=lim1⎰2l（1-τ
）I2e-λτdτ
l→+∞l02l
11-e-4λl2
2λl
=lim
l→+∞
（1-
4λl
）I=0
因此过程的均值具有各态历经性.
三遍历过程的数字特征
对于遍历过程,一次试验获得的一个样本函数便可确定过程的数字特征。
设X（t）是一个遍历过程,从一次试验所得到的样本函数x（t）来确定出该过程的均值和自相关函数,即
l
⎰
lim1
l→+∞l0
x（t）dt
=μX
lim1lx（t）x（t+τ）dt=R
（τ）.
l→+∞l⎰0X
如果试验记录x（t）只在时间区间[0,l
]给出,则有以下估计式:
=
μ≈μˆ1lx（t）dt,
XXl⎰0
R（τ）≈Rˆ（τ）=1l-τ
x（t）x（t
+τ）dt,0≤τ
XXl-τ⎰0
例3设s（t）是一个周期为T的周期函数，
Θ～U（0,T）,称X（t）=s（t+Θ）为随机相位周
期过程.
试证:
（1）X（t）=s（t+Θ）是平稳过程;
（2）X（t）=s（t+Θ）是遍历过程.
证
（1）Θ的概率密度
⎧1,0<θf（θ）
=⎨T
+∞
⎩0,其它
μX（t）=E[X（t）]=E[s（t+Θ）]=
⎰-∞s（t+θ）f（θ）dθ
T
⎰
1
1
=⎰0s（t+θ）Tdθ=T
t+Tt
s（u）du
0t+T
=1（⎰T
+⎰+⎰）s（u）du
1
T0
T
=T⎰0
tT
s（u）du=
μX（常数）
RX（t,t
+τ）=
E[X（t）X（t
+τ）]=
E[s（t
+Θ）s（t+τ
+Θ）]
T
=⎰0s（t+θ）s（t+τ
+θ）1dθT
t+T
1
=T⎰ts（u）s（u+τ）du
T
1
=T⎰0
s（u）s（u+τ）du
=RX
（τ）
ψ2（t）=E[X2（t）]=R
（0）
<+∞
XX
所以X（t）是平稳过程
l
（2）
X（t）
=lim1⎰
s（t
+
Θ）dt
=lim1
nT
⎰
s（t
+
Θ）dt
l→+∞
2l-l
n→+∞
2nT-nT
这是因为,对任意l>1存在正整数n,使得
l=nT
+r,0≤r
lim2l=1
l→+∞⇔
n→+∞
n→+∞
2nT
1⎰
s（t
+
Θ）dt
l
⎰
2l-l
=1[⎰-nT
s（t
+Θ）dt+
nT
⎰
s（t
+Θ）dt+
nT+r
s（t
+Θ）dt]
2l-nT-r
-nTnT
|1[⎰
-
nT
s（t
+Θ）dt+
nT+r
s（t
+Θ）dt]|
r
2l-nT-rnT
⎰
=|1[0
2l-r
s（t
+Θ）dt+
⎰0s（t
+Θ）dt]|
⎰
≤1[0|2l-r
s（t
+Θ）|dt
+⎰0|
s（t
+Θ）|dt]
⎰
≤1[0|2l-T
s（t
+Θ）|dt
+⎰0|
s（t
+Θ）|dt]
r
T
⎰
T
⎰
=1[0
2l-T
|s（u）|dt
+⎰0|s（u）|dt]→0,（l
→+∞）
⎰
1nT
s（t
+
Θ）dt
2nT-nT
=12n⎰T
s（t
+
Θ）dt
2nT0
⎰
T
=
=
⎰
1T+Θ1
TΘs（u）duT0
s（u）du
=μX
X（t）
=lim1⎰
s（t
+
Θ）dt
l
l→+∞
2l-l
lim
=1
n→+∞2nT
nT
⎰
-nT
s（t+Θ）dt=μX
X（t）X（t
+τ）
=lim1
2l
l
l→+∞
⎰-ls（t
+Θ）s（t+τ
+
Θ）dt
=lim1⎰nT
s（t+Θ）s（t+τ
+
Θ）dt
n→+∞
2nT
-nT
=12n⎰T
s（t+Θ）s（t+τ
+
Θ）dt
T
1
2nT0
T+Θ
1
=T⎰Θs（u）s（u+τ）du
=T⎰0s（u）s（u+τ）du
=RX
（τ）
所以有
P{X（t）=
E[X（t）]=
μX}=
P{S}=1
P{X（t）X（t+τ）=E[X（t）X（t+τ）]=RX（τ）}=P{S}=1
故X（t）是遍历过程.
例4设平稳过程X（t）的自相关函数RX（τ）是以T为周期的周期函数.证明：
对于任意t，等式X（t+T）=X（t）以概率1成立。
证明：
因为X（t）是平稳过程，所以
E[X（t）]=μE[X（t）X（t+τ）]=R（τ）E[X2（t）]=R
（0）
XXX
令Y=X（t+T）－X（t）
则EY=E[X（t+T）]－E[X（t）]=0,由于
P{X（t+T）=
X（t）}=P{X（t+T）-X（t）=0}=P{Y
=EY}
因此P{X（t
+T）=
X（t）}=1⇔
P{Y
=EY}=1
我们知道
P{Y
=EY}=1⇔DY=0
问题归结为证明DY=0
DY=
EY2
-（EY）2
=E[X（t
+T）-
X（t）]2
=E[X（t
+T）]2
-
2E[X（t
+T）X（t）]+E[X（t）]2
=RX
（0）-
2RX
（T）+
RX（0）
=2[RX
（0）-
RX（T）]
由于RX（τ）是以T为周期的周期函数，故
RX（0）=RX（T）
于是DY=0，故
P{X（t
+T）=
X（t）}=1
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