思维特训十七 圆中三角函数的综合运用.docx
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思维特训十七圆中三角函数的综合运用
思维特训（十七） 圆中三角函数的综合运用
方法点津·
在圆中寻找直角三角形的最常用办法，就是看圆中是否存在直径，然后根据直径所对的圆周角是直角来完成问题的求解；如果已知条件中有切线，那么可利用圆的切线垂直于经过切点的半径构造直角三角形；另外，利用同弧或等弧上的圆周角相等或其他相等关系，可以利用等量代换把不在直角三角形中的角转移到直角三角形中．
典题精练·
类型一 用圆周角的性质或其他相等关系把角转化到直角三角形中
1．如图17－Y－1，若锐角三角形ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（点D与点C在AB同侧），则下列三个结论：
①sinC>sinD；②cosC>cosD；③tanC>tanD.其中正确的结论为（ ）
图17－Y－1
A．①②B．②③
C．①②③D．①③
2．如图17－Y－2，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是
的中点，AE⊥AC于点A，分别与⊙O及CB的延长线交于点F，E，且
＝
.
（1）求证：
△ADC∽△EBA；
（2）如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．
图17－Y－2
类型二 用直径与其所对的圆周角构造直角三角形
3．如图17－Y－3所示，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A上一点，则tan∠OBC的值为（ ）
图17－Y－3
A.
B．2
C.
D.
4．如图17－Y－4，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P.若∠DPB＝α，则
等于（ ）
图17－Y－4
A．sinαB．cosα
C．tanαD.
5．如图17－Y－5，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sinB的值为（ ）
图17－Y－5
A.
B.
C.
D.
类型三 用切线和半径的关系构造直角三角形
6．如图17－Y－6，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D.若OD＝2，tan∠OAB＝
，则AB的长是（ ）
图17－Y－6
A．4B．2
C．8D．4
7．如图17－Y－7，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过点O作OH⊥AC于点H.若OH＝2，AB＝12，OB＝13.
求：
（1）⊙O的半径；
（2）sin∠OAC的值；
（3）弦AC的长（结果精确到0.1）．
图17－Y－7
8．如图17－Y－8，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，求cosE的值．
图17－Y－8
9．如图17－Y－9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝
，tanB＝
.半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D，E，得到
.
（1）求证：
AB为⊙C的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
图17－Y－9
10．如图17－Y－10，PB为⊙O的切线，B为切点，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D.
（1）求证：
PA是⊙O的切线；
（2）若
＝
，且OC＝4，求PA的长和tanD的值．
图17－Y－10
11．如图17－Y－11，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A.
（1）求证：
直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，tan∠DEO＝
，求AO的长．
图17－Y－11
类型四 转化条件中的垂直关系构造直角三角形
12．如图17－Y－12，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D.过点B作BC垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BC的延长线于点E.
（1）求证：
AB＝BE；
（2）若PA＝2，cosB＝
，求⊙O的半径．
图17－Y－12
13．如图17－Y－13，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与CA的延长线交于点E，过点D作DF⊥AC于点F.
（1）求证：
DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，求tanC的值．
图17－Y－13
14．如图17－Y－14，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝
∠CAB.
（1）求证：
直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，sin∠CBF＝
，求BC和BF的长．
图17－Y－14
详解详析
1．D [解析]如图，设AD与⊙O交于点E，连接BE.
根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB.
∵∠AEB＝∠D＋∠DBE，
∴∠AEB>∠D，
∴∠C>∠D.
根据锐角三角函数的增减性，可得：
sinC>sinD，故①正确．
cosCtanC>tanD，故③正确．
故选D.
2．解：
（1）证明：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDA＋∠ABC＝180°.
又∵∠ABE＋∠ABC＝180°，
∴∠CDA＝∠ABE.
∵
＝
，
∴∠DCA＝∠BAE.
∴△ADC∽△EBA.
（2）∵A是
的中点，
∴
＝
，
∴AB＝AC＝8.
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD＝∠AEC，
＝
，
即
＝
，
∴AE＝
，
∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝
＝
＝
.
3．C [解析]如图，设⊙A交x轴于点D，连接CD.
∵∠COD＝90°，
∴CD是⊙A的直径．
在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，
则OD＝
＝4
，tan∠CDO＝
＝
.
由圆周角定理，得∠OBC＝∠CDO，
故tan∠OBC＝tan∠CDO＝
.
4．B [解析]连接BD.因为AB为半圆O的直径，所以∠ADB＝90°.
在Rt△PBD中，有cosα＝
.
因为∠A和∠C都是
所对的圆周角，
所以∠A＝∠C.
又∠APB＝∠CPD，
所以△APB∽△CPD，
所以
＝
，
即
＝
，
所以
＝cosα.
故选B.
5．D [解析]如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE，
∴∠ACE＝90°.
在Rt△ACE中，AC＝4，AE＝6，
∴sinE＝
＝
.
又∵∠B＝∠E，
∴sinB＝
.
故选D.
6．C [解析]∵tan∠OAB＝
，
∴AC＝2OC＝2OD＝2×2＝4.
又∵AC是小圆的切线，
∴OC⊥AB，
由垂径定理，得AB＝8.
故选C.
7．解：
（1）因为AB是⊙O的切线，
所以∠OAB＝90°，
则OA2＝OB2－AB2＝132－122＝25，
从而OA＝5（负值已舍去）．
即⊙O的半径为5.
（2）因为OH⊥AC，
所以∠OHA＝90°.
在Rt△OAH中，sin∠OAC＝
＝
.
（3）因为OH⊥AC，
所以AH2＝OA2－OH2，AH＝CH，
则AH＝
＝
，
所以AC＝2
≈9.2.
8．解：
连接OM，MF，延长MO交EF于点C，如图．
∵直线MN与⊙O相切于点M，∴OM⊥MN.
∵EF∥MN，∴MC⊥EF，
∴CE＝CF，
∴ME＝MF.
又∵ME＝EF，
∴ME＝EF＝MF，
∴△MEF为等边三角形，
∴∠E＝60°，
∴cosE＝cos60°＝
.
9．解：
（1）证明：
如图所示，过点C作CF⊥AB于点F.
在Rt△ABC中，tanB＝
＝
，
∴BC＝2AC＝2
，
∴AB＝
＝
＝5.
易知△ACF∽△ABC，
∴
＝
，
∴CF＝
＝
＝2，
即CF的长等于⊙C的半径，
∴AB为⊙C的切线．
（2）S阴影＝S△ABC－S扇形CDE＝
AC·BC－
＝
×
×2
－
＝5－π.
10．解：
（1）证明：
如图，连接OB.
∵PB为⊙O的切线，
∴∠PBO＝90°.
∵OC⊥AB，OA＝OB，
∴AC＝BC，
∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA.
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠PAB＋∠OAB＝∠PBA＋∠OBA，
即∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴OA⊥PA.
又∵OA为⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线．
（2）∵
＝
，且OC＝4，
∴AC＝
OC＝6，
∴在Rt△ACO中，AO＝
＝
＝2
.
由
（1）得∠PAO＝∠ACO＝90°，
又∵∠AOP＝∠AOC，
∴△PAO∽△ACO，
∴
＝
，
∴PA＝
＝
＝3
.
∵∠OBD＝∠PAO＝90°，∠D＝∠D，
∴△OBD∽△PAD，
∴
＝
＝
＝
，
∴DA＝
DB.
∵在Rt△BOD中，DB2＋OB2＝OD2，
又∵OD＝DA－AO＝
DB－2
，
∴DB2＋（2
）2＝（
DB－2
）2，
解得DB＝
（不合题意的值已舍去），
∴在Rt△BOD中，tanD＝
＝
＝
，
故PA＝3
，tanD＝
.
11．解：
（1）证明：
如图，连接DO.
∵BD切⊙O于点D，
∴∠BDO＝90°.
∵DE∥BO，
∴∠BOC＝∠DEO，∠EDO＝∠BOD.
∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO，
∴∠BOC＝∠BOD.
在△BDO和△BCO中，OD＝OC，∠BOD＝∠BOC，BO＝BO，
∴△BDO≌△BCO，
∴∠BCO＝∠BDO＝90°.
又∵OC是⊙O的半径，
∴直线BC是⊙O的切线．
（2）如图，连接CD.
设⊙O的半径为r.
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CDE＝90°.
∵DE∥BO，
∴∠BOC＝∠DEO，
即tan∠BOC＝tan∠DEO＝
.
∵OC＝OE＝r，
∴BC＝
r，
则BO＝
r.
∵tan∠DEO＝
，
∴DC＝
DE.
在Rt△CDE中，
由勾股定理，得DC2＋DE2＝CE2，
即2DE2＋DE2＝（2r）2，
∴DE＝
r.
∵DE∥BO，
∴△ADE∽△ABO，
∴
＝
，
即
＝
，
解得r＝1，
∴AO＝AE＋OE＝2＋1＝3，
∴AO的长为3.
12．解：
（1）证明：
如图，连接OD.
∵PD切⊙O于点D，
∴∠PDO＝90°.
∵∠PCB＝90°，
∴OD∥BE，
∴∠ADO＝∠E.
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DAO＝∠E，
∴AB＝BE.
（2）设⊙O的半径为r.
∵OD⊥PC，BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴∠POD＝∠B.
∵在Rt△PDO中，
PO＝PA＋AO＝2＋r，cos∠POD＝cosB＝
，
∴
＝
，
解得r＝3.
∴⊙O的半径为3.
13．解：
（1）证明：
如图，连接OD，则OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD.
又∵DF经过半径OD的外端，
∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，连接BE.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠E＝90°.
设AE＝k，则AB＝AC＝3k，
∴BE＝
＝
＝2
k，
∴tanC＝
＝
＝
.
14．解：
（1）证明：
如图，连接AE.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°.
∵AB＝AC，
∴∠1＝
∠CAB.
∵∠CBF＝
∠CAB，
∴∠1＝∠CBF，
∴∠CBF＋∠2＝90°，
即∠ABF＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）如图，过点C作CG⊥
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