思维特训十七 圆中三角函数的综合运用.docx

1、思维特训十七 圆中三角函数的综合运用思维特训(十七)圆中三角函数的综合运用方法点津 在圆中寻找直角三角形的最常用办法，就是看圆中是否存在直径，然后根据直径所对的圆周角是直角来完成问题的求解；如果已知条件中有切线，那么可利用圆的切线垂直于经过切点的半径构造直角三角形；另外，利用同弧或等弧上的圆周角相等或其他相等关系，可以利用等量代换把不在直角三角形中的角转移到直角三角形中典题精练 类型一用圆周角的性质或其他相等关系把角转化到直角三角形中1如图17Y1，若锐角三角形ABC内接于O，点D在O外(点D与点C在AB同侧)，则下列三个结论：sinCsinD；cosCcosD；tanCtanD.其中正确的结

2、论为()图17Y1A BC D2如图17Y2，已知四边形ABCD内接于O，A是的中点，AEAC于点A，分别与O及CB的延长线交于点F，E，且.(1)求证：ADCEBA；(2)如果AB8，CD5，求tanCAD的值图17Y2类型二用直径与其所对的圆周角构造直角三角形3如图17Y3所示，半径为3的A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧A上一点，则tanOBC的值为()图17Y3A. B2 C. D. 4如图17Y4，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P.若DPB，则等于()图17Y4Asin Bcos Ctan D. 5如图17Y5，已知ABC的外接圆O的半径为3，AC4，则sinB

3、的值为()图17Y5A. B. C. D. 类型三用切线和半径的关系构造直角三角形6如图17Y6，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D.若OD2，tanOAB，则AB的长是()图17Y6A4 B2 C8 D4 7如图17Y7，AB是O的切线，A为切点，AC是O的弦，过点O作OHAC于点H.若OH2，AB12，OB13.求：(1)O的半径；(2)sinOAC的值；(3)弦AC的长(结果精确到0.1)图17Y78如图17Y8，直线MN与O相切于点M，MEEF且EFMN，求cosE的值图17Y89如图17Y9，在RtABC中，C90，AC，tanB.半径为2的C分别交A

4、C，BC于点D，E，得到.(1)求证：AB为C的切线；(2)求图中阴影部分的面积图17Y910如图17Y10，PB为O的切线，B为切点，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交O于点A，连接PA，AO，并延长AO交O于点E，与PB的延长线交于点D.(1)求证：PA是O的切线；(2)若，且OC4，求PA的长和tanD的值图17Y1011如图17Y11，CE是O的直径，BD切O于点D，DEBO，CE的延长线交BD于点A.(1)求证：直线BC是O的切线；(2)若AE2，tanDEO，求AO的长图17Y11类型四转化条件中的垂直关系构造直角三角形12如图17Y12，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上

5、，PD切O于点D.过点B作BC垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BC的延长线于点E.(1)求证：ABBE；(2)若PA2，cosB，求O的半径图17Y1213如图17Y13，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与BC交于点D，与CA的延长线交于点E，过点D作DFAC于点F.(1)求证：DF是O的切线；(2)若AC3AE，求tanC的值图17Y1314如图17Y14，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且CBFCAB.(1)求证：直线BF是O的切线；(2)若AB5，sinCBF，求BC和BF的长图17Y14详解详析1D解析

6、如图，设AD与O交于点E，连接BE.根据圆周角定理，可得CAEB.AEBDDBE，AEBD，CD.根据锐角三角函数的增减性，可得：sinCsinD，故正确cosCtanD，故正确故选D.2解：(1)证明：四边形ABCD内接于O，CDAABC180.又ABEABC180，CDAABE.，DCABAE.ADCEBA.(2)A是的中点，ABAC8.ADCEBA，CADAEC，即，AE，tanCADtanAEC.3C解析 如图，设A交x轴于点D，连接CD.COD90，CD是A的直径在RtOCD中，CD6，OC2，则OD4，tanCDO.由圆周角定理，得OBCCDO，故tanOBCtanCDO.4B解析

7、 连接BD.因为AB为半圆O的直径，所以ADB90.在RtPBD中，有cos.因为A和C都是所对的圆周角，所以AC.又APBCPD，所以APBCPD，所以，即，所以cos.故选B.5D解析 如图，连接AO并延长交O于点E，连接CE，ACE90.在RtACE中，AC4，AE6，sinE.又BE，sinB.故选D.6C解析 tanOAB，AC2OC2OD224.又AC是小圆的切线，OCAB，由垂径定理，得AB8.故选C.7解：(1)因为AB是O的切线，所以OAB90，则OA2OB2AB213212225，从而OA5(负值已舍去)即O的半径为5.(2)因为OHAC，所以OHA90.在RtOAH中，s

8、inOAC.(3)因为OHAC，所以AH2OA2OH2，AHCH，则AH，所以AC29.2.8解：连接OM，MF，延长MO交EF于点C，如图直线MN与O相切于点M，OMMN.EFMN，MCEF，CECF，MEMF.又MEEF，MEEFMF，MEF为等边三角形，E60，cosEcos60.9解：(1)证明：如图所示，过点C作CFAB于点F.在RtABC中，tanB，BC2AC2，AB5.易知ACFABC，CF2，即CF的长等于C的半径，AB为C的切线(2)S阴影SABCS扇形CDEACBC25.10解：(1)证明：如图，连接OB.PB为O的切线，PBO90.OCAB，OAOB，ACBC，PAPB

9、，PABPBA.OAOB，OABOBA，PABOABPBAOBA，即PAOPBO90，OAPA.又OA为O的半径，PA是O的切线(2)，且OC4，ACOC6，在RtACO中，AO2.由(1)得PAOACO90，又AOPAOC，PAOACO，PA3.OBDPAO90，DD，OBDPAD，DADB.在RtBOD中，DB2OB2OD2，又ODDAAODB2，DB2(2)2(DB2)2，解得DB(不合题意的值已舍去)，在RtBOD中，tanD，故PA3，tanD.11解：(1)证明：如图，连接DO.BD切O于点D，BDO90.DEBO，BOCDEO，EDOBOD.ODOE，DEOEDO，BOCBOD.

10、在BDO和BCO中，ODOC，BODBOC，BOBO，BDOBCO，BCOBDO90.又OC是O的半径，直线BC是O的切线(2)如图，连接CD.设O的半径为r.CE是O的直径，CDE90.DEBO，BOCDEO，即tanBOCtanDEO.OCOEr，BCr，则BOr.tanDEO，DCDE.在RtCDE中，由勾股定理，得DC2DE2CE2，即2DE2DE2(2r)2，DEr.DEBO，ADEABO，即，解得r1，AOAEOE213，AO的长为3.12解：(1)证明：如图，连接OD.PD切O于点D，PDO90.PCB90，ODBE，ADOE.OAOD，ADODAO，DAOE，ABBE.(2)设O的半径为r.ODPC，BEPC，ODBE，PODB.在RtPDO中，POPAAO2r，cosPODcosB，解得r3.O的半径为3.13解：(1)证明：如图，连接OD，则OBOD，ABCODB.ABAC，ABCC，ODBC，ODAC.DFAC，DFOD.又DF经过半径OD的外端，DF是O的切线(2)如图，连接BE.AB为O的直径，E90.设AEk，则ABAC3k，BE2 k，tanC.14解：(1)证明：如图，连接AE.AB是O的直径，AEB90，1290.ABAC，1CAB.CBFCAB，1CBF，CBF290，即ABF90.AB是O的直径，直线BF是O的切线(2)如图，过点C作CG