高中数学苏教版选修44模块综合检测 Word版含答案.docx

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高中数学苏教版选修44模块综合检测Word版含答案

2019-2020年高中数学苏教版选修4-4：

模块综合检测Word版含答案

1.（本小题满分10分）函数y＝2x的图像经过平移变换得到函数y＝2x－3＋1的图像，求该平移变换．

解：

∵y＝2x－3＋1可化为y′－1＝2x′－3，与y＝2x比较可得即

故所求的平移变换为

2．（本小题满分10分）以平面直角坐标系内的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（－2,6），点B的极坐标为，直线l过点A且倾斜角为，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．

解：

直线l过点（－2,6），倾斜角为，所以直线l的参数方程为（t为参数）．

因为圆心B的直角坐标为（0,4），半径为4，所以圆C的直角坐标方程为x2＋（y－4）2＝16.

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入化简，得圆C的极坐标方程为ρ＝8sinθ.

3．（本小题满分10分）已知⊙C：

ρ＝cosθ＋sinθ，直线l：

ρ＝.求⊙C上的点到直线l距离的最小值．

解：

⊙C的直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，

即（x－）2＋（y－）2＝.

又直线l的极坐标方程为ρ（cosθ－sinθ）＝4，

所以直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.

圆心到直线l的距离为2，则⊙C上的点到直线l距离的最小值为2－.

4．（本小题满分10分）已知极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－1＝0的直线与x轴的交点为P，与椭圆（θ为参数）交于A，B两点，求PA·PB的值．

解：

由条件，直线过点P（1,0），所以该直线的参数方程为

（t为参数）．①

又椭圆的直角坐标方程为＋y2＝1.②

①代入②，整理，得

5t2－2t－6＝0.

所以PA·PB＝|t1t2|＝.

5．（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2sin，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．

解：

因为ρ＝2sin＝2（sinθ＋cosθ），

所以ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，

即圆C的直角坐标方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.

由消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x＋1.

故圆心到直线l距离d＝＜2，所以直线l和圆C相交．

6．（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．

解：

（1）曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsinθ，

又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.

（2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得

y＝－（x－2）．

令y＝0，得x＝2，即M点的坐标为（2,0）．

又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0,1），

半径r＝1，

则|MC|＝，

∴MN≤MC＋r＝＋1，

即MN的最大值为＋1.

7．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ＝2sinθ.

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，），求PA＋PB.

解：

（1）由ρ＝2sinθ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋（y－）2＝5.

（2）法一：

将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.

由于Δ＝（3）2－4×4＝2＞0，故可设方程两根为t1，t2，则t1＋t2＝3.又直线l过点P（3，），所以由上式及t的几何意义，得PA＋PB＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.

法二：

直线的普通方程为y＝－x＋3＋，代入圆的方程x2＋（y－）2＝5，得x2－3x＋2＝0，解得x＝1，y＝2＋或x＝2，y＝1＋.

不妨设A（1,2＋），B（2,1＋），则由P（3，），得PA＋PB＝＋＝3.

8．（本小题满分10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.

（1）求直线l的倾斜角；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB.

解：

（1）直线参数方程可以化为根据直线参数方程的意义，这条直线的倾斜角为60°.

（2）l的直角坐标方程为y＝x＋，

ρ＝2cos（θ－）的直角坐标方程为2＋（y－）2＝1，

∴圆心到直线l的距离d＝，

∴AB＝2＝.

9．（本小题满分10分）（福建高考）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2,0），，圆C的参数方程为（θ为参数）．

（1）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；

（2）判断直线l与圆C的位置关系．

解：

（1）由题意知，M，N的平面直角坐标分别为（2,0），，

又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，

故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.

（2）因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为（2,0），，

所以直线l的平面直角坐标方程为x＋3y－2＝0.

又圆C的圆心坐标为（2，－），半径r＝2，

圆心到直线l的距离d＝＝

10．（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ2－4ρ·cos＋6＝0.

（1）求出圆C的圆心的极坐标以及半径的大小；

（2）若点P（x，y）在圆上，求使不等式2x＋y＋c≥0恒成立的实数c的取值范围．

解：

（1）圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即（x－2）2＋（y－2）2＝2.圆心为（2,2），化为极坐标为，半径为.

（2）圆C的参数方程为

由不等式2x＋y＋c≥0即2（2＋cosα）＋2＋sinα＋c≥0恒成立，得c≥－（sinα＋2cosα＋6），

所以c≥－6＝－6.

B卷[对应学生用书P35]

（时间：

100分钟　满分：

100分）

1．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝2，若直线l与圆C相切，求r的值．

解：

直线的极坐标方程可化为ρcosθ－ρsinθ＝4，所以它的直角坐标方程为x－y－4＝0.

圆的普通方程为（x＋1）2＋y2＝r2.

由题意，得r＝＝.

2．（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l与曲线C相交所得的弦长．

解：

圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋（y－2）2＝4.

直线的普通方程式为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.

圆心C（0,2）到直线l的距离d＝＝＜2，所以直线l截圆所得弦长为2＝.

3．（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C：

ρ＝2cosθ和直线l：

θ＝（ρ∈R）相交于A，B两点，求线段AB的长．

解：

法一：

圆C：

ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即（x－）2＋y2＝2.

直线l：

θ＝（ρ∈R）的直角坐标方程为y＝x.

圆心C到直线l的距离d＝＝1.

所以AB的长为2.

法二：

圆C：

ρ＝2cosθ和直线l：

θ＝（ρ∈R）的直角坐标方程分别为x2＋y2－2x＝0和y＝x.

解方程组

得或

所以A，B两点的坐标为（0,0），（，），

所以AB的长为2.

4．（本小题满分10分）经过点A，倾斜角为α的直线l与圆x2＋y2＝25相交于B，C两点．

（1）求弦BC的长；

（2）求弦BC的中点M的轨迹方程；

（3）如果A为BC的中点，求直线BC的方程；

（4）若BC＝8，求直线BC的方程．

解：

设直线l的方程为代入圆的方程x2＋y2＝25，得t2－3（2cosα＋sinα）t－＝0.因为Δ＝9（2cosα＋sinα）2＋55＞0，所以方程必有两个不同的实数根t1和t2，且t1＋t2＝3（2cosα＋sinα），t1t2＝－.

（1）BC＝|t1－t2|＝

＝.

（2）因为弦BC的中点M对应的参数t＝＝（2cosα＋sinα），故点M的轨迹的参数方程是

（α为参数，0≤α＜π）．

（3）因为A是中点，故t1＋t2＝0，所以2cosα＋sinα＝0，tanα＝－2，所以弦BC的方程为4x＋2y＋15＝0.

（4）因为BC＝8，所以＝8，即3cos2α＋4sinαcosα＝0，

所以cosα＝0或tanα＝－，

因此直线BC的方程是x＝－3或3x＋4y＋15＝0.

5．（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝cos，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），

求直线l被圆C所截得的弦长．

解：

曲线C的极坐标方程ρ＝cos可化为ρ＝cosθ－sinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－x＋y＝0，即2＋2＝.

直线l：

（t为参数），可化为3x＋4y＋1＝0.

所以圆心到直线的距离d＝＝.

因此弦长为2＝.

6．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为（α为参数）．

（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；

（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

解：

（1）把极坐标系下的点P化为直角坐标，

得P（0,4）．

因为点P的直角坐标（0,4）满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．

（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为（cosα，sinα），从而点Q到直线l的距离为

d＝

＝＝cos＋2.

由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.

7．（本小题满分10分）已知曲线C：

3x2＋4y2－6＝0（y≥0）．

（1）写出曲线C的参数方程；

（2）若动点P（x，y）在曲线C上，求z＝x＋2y的最大值与最小值．

解：

（1）（0≤θ≤π，θ为参数）．

（2）设点P的坐标为，（0≤θ≤π），则z＝x＋2y＝cosθ＋sinθ

＝2

＝2sin.

∵0≤θ≤π，

∴≤θ＋≤.

∴－≤sin≤1.

∴当sin＝－，即θ＝π时，z＝x＋2y取得最小值是－；

当sin＝1，即θ＝时，z＝x＋2y取得最大值是2.

8．（本小题满分10分）（辽宁高考）在直角坐标系xOy中，圆C1：

x2＋y2＝4，圆C2：

（x－2）2＋y2＝4.

（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；

（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．

解：

（1）圆C1的极坐标方程为ρ＝2，

圆C2的极坐标方程ρ＝4cosθ.

解得ρ＝2，θ＝±，

故圆C1与圆C2交点的坐标为，.

注：

极坐标系下点的表示不唯一．

（2）法一：

由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为（1，），（1，－）．

故圆C1与C2的公共弦的参数方程为

－≤t≤.

法二：

将x＝1代入得ρcosθ＝1，

从而ρ＝.

于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为

－≤θ≤.

9．（本小题满分10分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为（α为参数），曲线D的极坐标方程为ρsin＝－.

（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；

（2）判断曲线C与曲线D的交点个数，并说明理由．

解：

（1）由已知得

消去参数α，得曲线C的普通方程为x2＝－，x∈[－1,1]．

（2）由ρsin（θ－）＝－得曲线D的直角坐标方程为x－y－3＝0，

由消去y，得2x2＋x－3＝0，

解得x＝－（舍去）或x＝1.当x＝1时，y＝－2.

故曲线C与曲线D只有一个交点．

10．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.

（1）求直线l的直角坐标方程；

（2）设直线l与圆C交于点A，B，与x轴交于点P，求PA＋PB的值．

解：

（1）由ρsin＝，

得ρ＝，

所以y－x＝，

即直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

（2）圆C的普通方程为（x－2）2＋（y－3）2＝1，①

∵P（－2,0），

∴直线l的参数方程为

（t为参数）．②

把②代入①并整理，得到t2－7t＋24＝0.

由于Δ＝（－7）2－4×24＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，

所以t1＋t2＝7，t1t2＝24.

故由t的几何意义得PA＋PB＝t1＋t2＝7.