高中数学 104《二项式定理》备课资料 旧人教版必修.docx

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高中数学104《二项式定理》备课资料旧人教版必修

2019-2020年高中数学10.4《二项式定理》备课资料旧人教版必修

［例1］在（x2+3x+2）5的展开式中，x的系数为

A.-160B.240C.360D.800

分析：

把［（x2+3x）+2］5直接展开，即=（x2+3x）5+5（x2+3x）4·2+

10（x2+3x）3·22+10（x2+3x）2·23+5（x2+3x）·24+25.

注意到x的指数为1，只有在5（x2+3x）·24中才出现x的项，所以x的系数为5×３×

２4=240.

答案：

B

但应明确直接展开只适用于n是较小的自然数.

二、利用二项展开式的通项公式

［例2］由（x+）100展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有________项.

A.50B.17C.16D.15

分析：

考虑（x+）100的展开式的通项

Tr+1=（x）100-r（）r

=···x100-r

=···x100-r.

要使系数为有理数，则r为6的倍数，令r=6k（k∈Z），而且0≤6k≤100,即r=0,6,12,…,96，因此共有17项.

答案：

B

三、分解因式求特定项系数

［例3］求（1+x+x2）（1-x）10展开式中含x4项的系数.

分析：

原式=（1-x3）（1-x）9,

其中（1-x）9展开式的通项为Tr+1=（-x）r.

令r=4,得T4+1=x4;

令r=1,得T1+1=-x.

故x4的系数为+=135.

四、利用排列组合原理求系数

［例4］求（x2+3x-1）9（2x+1）4展开式中含x2的项的系数.

分析：

为了保证相乘得到x2的项，则前一式子中的x2、3x及后一式子中的2x取出的个数有以下几种情况：

1、0、0；0、2、0；0、1、1；0、0、2.

故展开式中含x2的项为x2（-1）8+（3x）2（-1）7+（3x）1

·（-1）8·2x·+·（-1）9（2x）2=（9-324+216-24）x2=-123x2,

故所求系数为-123.

五、利用估算公式求系数最大项

估算公式：

若二项式（ax+by）n（a,b∈R+,n∈N）的展开式的系数最大的项为第r+1项，

则有

公式证明：

设展开式的第r、r+1、r+2项的系数分别为,,.

由展开式相邻两项的系数关系，

易知

而由题意，第r+1项的系数最大，

所以，

即

成立.

［例5］问（2+3x）20展开式中系数最大的项是第几项？

解：

设第r+1项的系数最大，则

解得≤r≤.

由于r是正整数，所以r=12,即第13项的系数最大.

说明：

若在（ax+by）n中，a、b异号，则估算公式改为

由此算出的是展开式中系数的绝对值最大的项.

六、巧求二项展开式某一特定项

求二项展开式中某一特定项是《排列组合二项式定理》中常见题型之一.它的一般解法是应用二项展开式的通项，这已为大家所熟知.本文要介绍的是另一种解法，这种解法能使某些直接应用二项展开式的通项不易解决的问题迎刃而解.

［例6］求（a+b+c+d）1995展开式中a200b800·c900d95项的系数.

解：

（a+b+c+d）1995=（a+b+c+d）（a+b+c+d）…（a+b+c+d）,一共1995个因式相乘，等号右边的积的展开式的每一项是从1995个因式的每一因式中任取一个字母的乘积.显然a200b800c900d95项的系数应为.

［例7］求（|x|+-2）3展开式中的常数项.

解：

（|x|+-2）3=（）6.

展开式中第r+1项为

Tr+1=（-1）r=（-1）r|x|3-r,

当且仅当r=3时，Tr+1为常数，所以，所求常数项为T4=-20.

［例8］求（1+x-x2）6展开式中的x5项.

分析：

1+x-x2不是完全平方式，若不用本文所给方法，则要两次应用二项式定理，若用本文所给新解法，则化繁为简.

解：

（1+x-x2）6展开式中，xm+2n项（其中m,n都是自然数，且m+2n≤6）是（-1）n···xm+2n.已知m+2n=5,方程的解有以下几种情况：

①若n=1,则m=3,得项-x5=-60x5;

②若n=2，则m=1，得项x5=60x5;

③若n=0,则m=5,得项x5=6x5.

以上3种合计得项是-60x5+60x5+6x5=6x5.

●备课资料

一、与二项式系数有关的求和问题

（一）赋值法

［例1］证明下列等式.

（1）+++…+=2n;

（2）+++…=+++…=2n-1.

证明：

利用（1+x）n=+x+x2+…+xn赋值.

令x=1可得

（1+1）n=+++…+=2n.

令x=-1可得

（1-1）n=+++….

可得+++…=+++….

又+++…+=2n,

∴++…=++…=·2n=2n-1.

［例2］若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求a1+a2+a3+a4=________.

分析：

令x=1可得

（2+）4=a0+a1+a2+a3+a4.

又a0=（）4=9,

∴a1+a2+a3+a4=（2+）4-9=88+56.

（二）公式法

［例3］求和：

+++….

分析：

针对求和问题，抓住变通项思路，灵活运用组合数公式将变量转化为不变量，并结合组合数性质进行化简.

解：

∵

=

=

=，

∴+++…+

=++…+

=（+++…+）

=（+++…+-1）

=（2n+1-1）.

（三）裂项求和

［例4］求和：

+++…+.

分析：

抓住通项，对通项进行变形，然后寻求求解思路.

解：

∵=,

∴=.

∴++…+

=（+…+（-）

=2-.

（四）构造等式

［例5］求和：

+++…+（r＜n）.

解：

由等比数列前n项和公式知

（1+x）r+（1+x）r+1+…+（1+x）n=.

又等式左边的展开式中xr项的系数和为+++…+.

等式右边的展开式中xr项的系数就是

（1+x）n+1-（1+x）r展开式中xr+1项的系数为.

∴+++…+=.

（五）逆用二项式定理

［例6］已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q.

求和：

a1+a2+a3+…+an+1.

解：

a1+a2+a3+…+an+1

=a1+a1q+a1q2+…+a1qn

=a1（+q+q2+…+qn）

=a1（1+q）n.

（六）倒序相加法

［例7］已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

求和：

a1+a2+a3+…+an+1.

解：

设Sn=a1+a2+a3+…+an+1,①

则Sn=an+1+an+an-1+…+a1,

即Sn=an+1+an+an-1+…+a1.②

①+②得2Sn=（a1+an+1）+（a2+an）+…+（a1+an+1）.

又∵等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

∴a1+an+1=a2+an=a3+an-1=…=a1+an+1=2a1+nd.

∴2Sn=（a1+an+1）+（a2+an）+（a3+an-1）+…+（a1+an+1）

=（2a1+nd）（++…+）

=（2a1+nd）·2n.

∴a1+a2+a3+…+an+1=（2a1+nd）·2n-1.

二、创设问题情境证明组合数等式

有关多个组合数之和的等式可以通过创设问题情境，并设计不同的解题方案，寻求其中的等量关系.

［例1］求证：

+++…+=2n.

创设问题：

集合A={a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少？

方案一：

按A的子集中元素的个数分类求解+++…+.

方案二：

按ai是否进入A的子集分步求解=2n.

结论：

+++…+=2n.

［例2］求证：

（）2+（）2+（）2+…+（）2=.

创设问题1：

求（1+x）2n展开式中xn的系数.

方案一：

考虑（1+x）2n展开式中xn的系数.

方案二：

考虑（1+x）n（1+x）n展开式中xn的系数为++…+.

结论：

（）2+（）2+（）2+…+（）2=.

创设问题2：

一只口袋中有2n个不同小球，其中有n个红色的，n个黄色的，从中任取n个小球，有多少种方法？

方案一：

不分红黄，从2n个小球中任取n个小球.

方案二：

按照所取红球的个数分类

++…+.

结论：

（）2+（）2+（）2+…+（）2=.

另外，类似还可设计问题

A={a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn}，求A的含有n个元素的子集的个数.

［例3］求证：

+2+3+…+n=n·2n-1.

创设问题：

求数列{ar},ar=r的前n项和Sn.

方案一：

依次求Sn=+2+…+n.

方案二：

颠倒求Sn=n+（n-1）+…+=n+（n-1）+…+.

错位相加得

2Sn=n（++…+）=n·2n.

结论：

+2+3+…+n=n·2n-1.

创设问题情境证明组合数等式不仅运算量小，生动有趣，而且有利于培养我们的想象力和创造性思维能力，如果我们拥有这方面的意识，就能很快找到创设问题的依据，从而帮助我们巧妙解决难题.

●备课资料

一、有关二项式定理的高考试题分类解析

高考中二项式定理试题几乎年年有，主要是利用二项展开式的通项公式求展开式的某一项的系数，求展开式的常数项；利用二项式系数的性质，求某多项式的系数和，证明组合数恒等式和整除问题，及近似计算问题，考查的题型主要是选择题和填空题，多是容易题和中等难度的试题，但有时综合解答题也涉及到二项式定理的应用.

（一）求多个二项式的积（和）的展开式中条件项的系数

［例1］（xx年全国高考）（x2-）9展开式中x9的系数是________.

分析：

此题体现抓“通项”的思路.

解：

Tr+1=（x2）9-r（-）r

=（-1）r·2-rx18-2r·x-r

=（-1）r·2-r·x18-3r,

当18-3r=9时,得r=3,

所以x9系数为（-1）32-3=-.

［例2］（xx年全国高考题）（x+2）10·（x2-1）展开式中含x10的系数为________.（用数字作答）

分析：

（x+2）10·（x2-1）展开式中含x10的项由（x+2）10展开式中含x10的项乘以-1再加上（x+2）10展开式中含x8的项乘以x2得到，即

x10·（-1）+x8·22·x2,

故所求的x10的系数为

·（-1）+·22=179.

［例3］（xx年上海高考题）在（1+x）5（1-x）4的展开式中，x3的系数为________.

分析：

（1+x）5（1-x）4=（1+x）（1-x2）4,

其中（1-x2）4展开的通项为·（-x2）r,故展开式中x3的系数为-=-4.

［例4］（1990年全国高考题）（x-1）-（x-1）2+（x-1）3-（x-1）4+（x-1）5的展开式中x2的系数等于________.

分析：

求较复杂的代数式的展开式中某项的系数，常需对所给代数式进行化简，减小计算量.

原式==,

只需求（x-1）6展开式中x3的系数即可，Tr+1=x6-r（-1）r,

令r=3得系数为-20.

（二）求多项式系数和

［例5］（xx年全国高考题）若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值为

A.1B.-1C.0　　　　　　　　　　D.2

分析：

涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法.

解：

欲求式可变为（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2

=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0-a1+a2-a3+a4）.

实际上，a0+a1+a2+a3+a4和a0-a1+a2-a3+a4分别为已知式在x=1,x=-1的值.

令x=1，得

（2+）4=a0+a1+a2+a3+a4,

令x=-1，得

（2-）4=a0-a1+a2-a3+a4,

∴（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2

=（2+）4·（2-）4

=［（2+）（2-）］4

=（4-3）4

=1.

（三）求幂指数n

［例6］（1995年上海高考题）若（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+…+1（n∈N）,且a∶b=3∶1,那么n=________.

分析：

x3的系数a=，x2的系数b=C2n,依题意a∶b=3∶1,

即∶=3∶1,

解得n=11.

即n=11满足题意.

（四）求二项式中有关元素

此类问题一般是根据已知条件列出等式，进而解得所要求的元素.

［例7］（1997年全国高考题）已知（）9的展开式中x3的系数为,则常数a的值为________.

分析：

通项Tr+1=·（）9-r·（-）r=·a9-r·（-）r·,

令r-9=3,

解得r=8,

故·a9-r·（-）r=.

解得a=4.

［例8］（xx年上海高考题）设n∈N,（1+）n的展开式中x3的系数为,则n=________.

分析：

Tr+1=（）rxr,

令x3的系数为·,

展开整理得.

解得n=4.

（五）三项式转化成二项式问题

［例9］（1997年全国高考题）在（x2+3x+2）5的展开式中，x的系数为

A.160B.240

C.360D.800

分析：

原式写成二项式［（x2+2）+3x］5,设第r+1项为含x的项.

则Tr+1=（x2+2）5-r·（3x）r（0≤r≤5）,

要使x的指数为1，只有r=1才有可能，

即T2=（x2+2）4·3x=15x（x8+4·2x6+6·4x4+4·8x2+24）.

∴x的系数为15·24=240.

答案：

B

（六）求整除余数

［例10］（1992年“三南”高考题）9192除以100的余数是________.

分析：

9192=（90+1）92=9092+9091+…+90+.

由此可见，除后两项外均能被100整除.

而·90+=8281=82×100+81.

故9192被100整除余数为81.

（七）利用二项展开式证明不等式

［例11］（xx年全国高考题）已知i,m,n是正整数，且1＜i≤m＜n.

（1）证明：

ni＜mi;

（2）证明：

（1+m）n＞（1+n）m.

证明：

（1）略.

（2）由二项式定理知

（1+m）n=,

（1+n）m=

由

（1）知ni＜mi,

又=,=

∴ni＜mi（1＜i≤m＜n）.

故<.

又n0=m0，n=mn=m,

∴<,

即（1+n）m＜（1+m）n.

（八）求近似值

［例12］某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减小多少公顷（精确到1公顷）？

（粮食单产=，人均粮食占有量=）

分析：

此类试题是利用二项式定理的展开式求近似值，主要考查利用二项式定理进行近似计算的能力.

解：

设耕地平均每年至多只能减少x公顷（hm2）,又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷（t/hm2）,

依题意得不等式

化简得x≤103×［1-］,

∵103×［1-］=103×［1-×（1+×0.01+×0.012+…）］

≈103×［1-×1.1045］≈4.1,

∴x≤4（公顷）.

2019-2020年高中数学11.1《随机事件的概率·第一课时》教案旧人教版必修

●课时安排

3课时

●从容说课

对于纷繁的自然现象与社会现象,如果从结果能否预知的角度出发去划分,可以分为确定性现象和随机现象.确定性现象是指在一定的条件下,它所出现的结果是可以预知的,是确定的;随机现象是指在一定的条件下,出现哪种结果是无法事先预知的,是不确定的.但人们发现,随机现象虽然对于个别试验来说无法预知其结果,但在相同条件下进行大量重复试验时,却又呈现出一种规律性,概率论正是揭示这种规律性的一个数学分支.

本节将主要研究一种特殊的概率模型——古典概型.它在概率理论中占有极其重要的地位,它在实际中的应用也非常广泛,因而是我们的学习重点.

通过本节的学习,我们应结合古典概率模型理解概率的概念,并学会计算一些随机事件的概率,从而将概率知识的学习深入一步.

●课题

11.1.1随机事件的概率

（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1.必然事件、不可能事件、随机事件的概念.

2.概率的统计定义.

（二）能力训练要求

1.了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.

2.理解随机事件在大量重复试验的情况下，它的发生呈现的规律性.

3.掌握概率的统计定义及概率的性质.

（三）德育渗透目标

1.培养学生的辩证唯物主义观点.

2.增强学生的科学意识.

●教学重点

1.事件的分类.

2.概率的统计定义.

3.概率的基本性质.

●教学难点

随机事件发生存在的统计规律性.

●教学方法

发现法

引导学生对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三类事件：

必然事件、不可能事件、随机事件.

指导学生做简单易行的实验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性.

●教具准备

硬币数枚

投影片三张.

第一张:

记作11.1.1A

（1）“抛一石块，下落”;

（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；

（3）“某人射击一次，中靶”；

（4）“如果a＞b,那么a-b＞0”;

（5）“掷一枚硬币，出现正面”；

（6）“导体通电后，发热”；

（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；

（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；

（9）“没有水分，种子能发芽”；

（10）“在常温下，焊锡熔化”.

第二张:

记作11.1.1B

抛掷硬币试验结果表

抛掷次数（n）

正面向上次数（频数m）

频率（）

2048

4040

1xx

24000

30000

72088

1061

2048

6019

12012

14984

36124

0.5181

0.5069

0.5016

0.5005

0.4996

0.5011

第三张:

记作11.1.1C

某批乒乓球产品质量检验表

抽取球数n

50

100

200

500

1000

xx

优等品数m

45

92

194

470

0.954

1902

优等品频率

0.9

0.92

0.97

0.94

0.954

0.951

某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表

每批粒数n

2

5

10

70

130

310

700

1500

xx

3000

发芽粒数m

2

4

9

60

116

282

639

1339

1806

2715

发芽频率

1

0.8

0.9

0.857

0.892

0.910

0.913

0.893

0.903

0.905

●教学过程

Ⅰ.课题导入

（打出投影片11.1.1A）

［师］首先，请同学们来看这样一些事件，并从这些事件的发生与否的角度，分析一下它们各有什么特点？

［生甲］事件

（1）是必然要发生的.

［师］还有必然要发生的事件吗？

［生乙］有，还有事件（4）、（6）都是一定会发生的事件.

［师］那么，其余的事件呢？

［生丙］事件

（2）、（9）、（10）是一定不发生的事件.

［师］也就是说，这些事件是不可能发生的事件.

［生丁］事件（3）、（5）、（7）、（8）有可能发生，也有可能不发生.

［师］好的，下面再请同学们思考一个问题：

在实际生活中，我们遇到的事件若从其发生与否的角度来看，是否可分为一定要发生的事件，一定不会发生的事件，有可能发生也有可能不发生的事件？

［生］是.

Ⅱ.讲授新课

［师］不妨，将这些事件称为：

必然事件：

在一定的条件下必然要发生的事件，如上述事件

（1）、（4）、（6）.

不可能事件：

在一定的条件下不可能发生的事件.如上述事件

（2）、（9）、（10）.

随机事件：

在一定的条件下可能发生,也可能不发生的事件.如上述事件（3）、（5）、（7）、（8）.

再如，“检验某件产品，合格”，“某地10月1日，下雨”等也都是随机事件，在实际生活中，我们会经常碰到随机事件.

随机事件在一次试验中是否发生，虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生是否会呈现出一定的规律性呢？

［师］下面请同学们两人一组（共25组）做一试验：

每组抛掷硬币20次，并统计出现正、反面的次数.

［生］统计每组正面向上的次数如下：

12，9，11，13，8，10，11，12，9，13，7，12，10，13，11，11，8，10，14，9，7，12，6，8，7.

［师］那么，在抛掷硬币试验中，出现正面的次数占总次数的百分比为多少呢？

或者说，出现正面的频率为多少？

［生］总试验次数为500，出现正面的次数为253，出现正面的频率为0.506.

［师］（打出投影片11.1.1B）请同学们来看这样一组数据：

历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，这便是试验结果.大家从这组数据中，可获得什么结论呢？

［生］出现正面的频率值都接近于0.5.

（打出投影片11.1.C）

［师］再请同学们看这样两组数据，从表2可看到……

［生］当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率接近于0.95.

［师］从表3可看到……

［生］当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发芽的频率接近于0.9.

［师］随机事件在一试验中是否发生虽然不能事先确定，但随着试验次数的不断增加，它的发生会呈现出一定的规律性，正如我们刚才看到的：

某事件发生的频率在大量重复的试验中总是接近于某个常数.

一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，并在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.

如上：

记事件A为抛掷硬币时“正面向上”，

则P（A）=0.5，即抛掷一枚硬币出现“正面向上”的概率是0.5.

若记事件A为抽取乒乓球试验中出现优等品，则P（A）=0.95，即任取一乒乓球得到优等品的概率是0.95.

若记事件A：

油菜籽发芽，则P（A）=0.9,即任取一油菜籽，发芽的概率为0.9.

［师］概率这一常数从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.

如上所述：

抛掷一枚硬币出现“正面向上”的可能性是50%；任取一乒乓球得到优等品的可能性是95%；任取一油菜籽，发芽的可能性是90%.

这些数值会给我们的生活和统计工作带来很多方便，很有研究价值.

上述有关概率的定义，也就是求一个事件的概率的基本方法：

进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率.

即若记随机事件A在n次试验中发生了m次，则有0≤m≤n,0≤≤1.

于是可得0≤P（A）≤1.

显然：

（1）必然事件的概率是1；

（2）不可能事件的概率是0.

下面我们来看一例题：

［例题］指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件.

（1）某地1月1日刮西北风；

（2）当x是实数时，x2≥0;

（3）手电筒的电池没电，灯泡还发亮；

（4）一个电影院某天的上座率超过50%.

解：

由题意，可知

（2）是必然要发生的，即必然事件；（3）是不可能发生的，即不可能事件；

（1）、（4）有可能发生也有可能不发生，即随机事件.

也就是说,设

（2）为一事件,则其发生的概率为1（100%）.

设（3）为一事件,则其发生的概率为0.

（1）、（4）事件发生的概率设为p,则有0

即p的取值近似于此事件在多次重复试验中所发生的频率值.如:

（1）在100年的记录中，某地1月1日刮西北风的次数为85,则某地1月1日刮西北风的概率为85%,也就是说某地1月1日有85%的可能要刮西北风.对于（4）,根据记录,可判断其发生的概率的大小,若在一年（