初三数学圆知识点复习专题.docx
《初三数学圆知识点复习专题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三数学圆知识点复习专题.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
初三数学圆知识点复习专题
圆—苑老师
一、圆的概念
集合形式的概念：
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：
可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：
可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：
到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的
圆；
（补充）2、垂直平分线：
到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂
线）；
3、角的平分线：
到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：
平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两
条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：
平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等
的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内dr点C在圆内；
Ad
2、点在圆上dr点B在圆上；
r
OB
3、点在圆外dr点A在圆外；
d
C三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离dr无交点；
2、直线与圆相切dr有一个交点；
3、直线与圆相交dr有两个交点；
rd=rrd
d
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）无交点dRr；
外切（图2）有一个交点dRr；
相交（图3）有两个交点RrdRr；
内切（图4）有一个交点dRr；
内含（图5）无交点dRr；
ddd
rrR
R
Rr
图2
图1图3
d
R
r
d
r
R
图4图5
五、垂径定理
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：
此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出
其它3个结论，即：
①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论。
A
推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：
在⊙O中，∵AB∥CD
CD
O
E
∴弧AC弧BD
O
AB
C
B
D
例题1、基本概念
1．下面四个命题中正确的一个是（）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这
个圆的圆心
2．下列命题中，正确的是（）．
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心
C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧
例题2、垂径定理
1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果
油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.
2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.
3、如图，已知在⊙O中，弦ABCD，且ABCD，垂足为H，OEAB于E，OFCD于F.
（1）求证：
四边形OEHF是正方形.
（2）若CH3，DH9，求圆心O到弦AB和CD的距离.
4、已知：
△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的
长．
5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：
AD=
1
2
BF.
FA
E
C
OBD
例题3、度数问题
1、已知：
在⊙O中，弦AB12cm，O点到AB的距离等于AB的一半，求：
AOB的度数和圆的半径.
2、已知：
⊙O的半径OA1，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC的度数。
例题4、相交问题
如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.
C
EABOD
例题5、平行问题
在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：
AB与CD之间的距离.
例题6、同心圆问题
如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的
半径分别为a,b.求证：
2b2
ADBDa.
例题7、平行与相似
已知：
如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AECD于E，BFCD于F.求
证：
ECFD.
六、圆心角定理
圆心角定理：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此
定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
E
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
F
O即：
①AOBDOE；②ABDE；
D
③OCOF；④弧BA弧BD
A
CB
七、圆周角定理
1、圆周角定理：
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
C
即：
∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
∴AOB2ACB
BO
2、圆周角定理的推论：
A
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，
DC
相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：
在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角
BO
A
∴CD
推论2：
半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，
C
所对的弦是直径。
即：
在⊙O中，∵AB是直径或∵C90
BA
O
∴C90∴AB是直径
推论3：
若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：
在△ABC中，∵OCOAOB
C∴△ABC是直角三角形或C90
注：
此推论实是初二年级几何中矩形的推论：
在直角三角形中斜边上的中
线等于斜边的一半的逆定理。
BA
O
【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表
示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？
【例2】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、
AD和BD的长．
【例3】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：
AC⊥OD；
（2）求OD的长；（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．
【例4】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=，a如图，求BD的长．
【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C
点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．
（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？
请说明理由．
（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=．参照
（1）填写相应结论，
并证明你填写结论的正确性．
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：
在⊙O中，
DC
∵四边形ABCD是内接四边形
∴CBAD180
BD180
B
EA
DAEC
例1、如图7-107，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：
E，M，O，C四
点共圆．
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：
过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：
过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：
∵MNOA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
O
（2）性质定理：
切线垂直于过切点的半径（如上图）
MA
N
推论1：
过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：
过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：
①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹
角。
B
即：
∵PA、PB是的两条切线
∴PAPB
O
P
PO平分BPA
A
利用切线性质计算线段的长度
例1：
如图，已知：
AB是⊙O的直径，P为延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，又
PC=4，⊙O的半径为3．求：
OD的长．
利用切线性质计算角的度数
例2：
如图，已知：
AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE的延长
线交于F，且AF=BF．求：
∠A的度数．
利用切线性质证明角相等
例3：
如图，已知：
AB为⊙O的直径，过A作弦AC、AD，并延长与过B的切线交于M、N．求
证：
∠MCN∠=MDN．
利用切线性质证线段相等
例4：
如图，已知：
AB是⊙O直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E．求证：
CD=C．E
利用切线性质证两直线垂直
例5：
如图，已知：
△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．求证：
DE⊥AC．
十一、圆幂定理
D
（1）相交弦定理：
圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
OB
即：
在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，
∴PAPBPCPD
C
P
A
（2）推论：
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段
C的比例中项。
B
A
OE
即：
在⊙O中，∵直径ABCD，
∴
2
CEAEBE
D
（3）切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长
的比例中项。
A
即：
在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线
E
D
∴
2
PAPCPB
P
O
CB
（4）割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割
线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：
在⊙O中，∵PB、PE是割线
∴PCPBPDPE
例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切
点为F，交CD于E，求DE：
AE的值。
例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
图2
例3.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：
PB＝1：
4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。
图3
例4.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点
D，
（1）求证：
；
（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
图4
例5.如图5，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。
求证：
AD·BC＝CD·AB
图5
例6.如图6，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。
图6
求证：
BC＝2OE。
十二、两圆公共弦定理
A
圆公共弦定理：
两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：
OO垂直平分AB。
12
O1O2
即：
∵⊙
O、⊙
1
O相交于A、B两点
2
B
A
∴O1O2垂直平分AB
B
C
O1
十三、圆的公切线
O2
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：
RtOOC中，
12
2222
ABCOOOCO；
1122
（2）外公切线长：
CO2是半径之差；内公切线长：
CO2是半径之和。
十四、圆内正多边形的计算
C
（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：
O
OD:
BD:
OB1:
3:
2；
BA
D
BC
（2）正四边形
O
同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，
OE:
AE:
OA1:
1:
2：
AD
E
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，
O
ABOBOA.
:
:
1:
3:
2
BA
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
A
1、扇形：
（1）弧长公式：
nR
l；
180
O
Sl
（2）扇形面积公式：
21
nR
SlR
3602
B
n：
圆心角R：
扇形多对应的圆的半径l：
扇形弧长S：
扇形面积
2、圆柱：
D
AD1
（1）圆柱侧面展开图
S表S2S底=
2rh2r
侧
2
底面圆周长
母线长
BC1C
（2）圆柱的体积：
2
Vrh
B1
3.圆锥侧面展开图
（1）S表S侧S底=
Rrr
2
O
（2）圆锥的体积：
1
2
Vrh
3
R
C
ArB
升级会员 