江西九江高考数学一模理解析版.docx
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江西九江高考数学一模理解析版
2021届江西省九江市高考一模数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，得到
，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，集合
，
，
因为
，可得
，所以
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
故选：
D.
2．已知复数
，则
（）
A．
B．
C．1D．
【答案】B
【分析】由复数运算求得
，再由模的定义计算．
【详解】解：
∵
，∴
，
故选：
B.
3．若
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二倍角的余弦公式化简并利用平方关系，然后将弦化切计算即可.
【详解】由
又
所以
故选：
D
4．
展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则该项系数是（）
A．280B．240C．192D．160
【答案】D
【分析】利用二项式系数性质得到
，再利用通项公式得到结果.
【详解】解：
依题意得
，∴该项系数是
，
故选:
D.
5．如图八面体中，有公共边的两个面称为相邻的面，若从八个面中随机选取两个面，则这两个面不相邻的概率为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出两个面相邻的取法数可得不相邻的取法数，再求得总的取法数后，由概率公式计算．
【详解】解：
从八个面中随机选取两个面有
种，其中两个面相邻的有12种，则这两个面不相邻的概率为
，
故选：
C.
【点睛】关键点点睛：
本题考查求古典概型，解题关键是求得两个面不相邻的方法数，方法是“正难则反”的思想，即求出相邻面的方法数与总方法数结合即可得．
6．公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德研究过自然数的平方和，并得到公式
，执行如下所示的程序.若输出的结果为7，则判断框
中的实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知中的程序语句可知：
该程序的功能是利用循环结构计算
的值并输出变量
的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】解：
依题意得
，解得
.
可得判断框
中的实数
的取值范围是
，
．
故选：
．
7．已知
，则
的大小关系为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用对数函数的单调性直接求解．
【详解】解：
，
，
，
又
，
因为函数
，在
上单调递减，且
，又因为
，所以
，所以
，即
，所以
，即
．
故选：
．
8．已知抛物线
：
的焦点为
，其准线与
轴的交点为
，
为抛物线
上的点，若
，则
（）
A．2B．
C．4D．
【答案】A
【分析】求出
外接圆方程，与抛物线方程联立得到
点坐标，即可得到结果.
【详解】设
外接圆的半径为
，由正弦定理得
，
∴
，由对称性，不妨设
在第一象限，
则
外接圆方程为
，
联立方程组
，
消去
整理得
，即
，
∴
，
，∴
，
故选：
A.
【点睛】关键点点睛：
抛物线的通径长为
，焦准距为
，当
轴时，
为等腰直角三角形，满足题意.
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出几何体的直观图，可知几何体是过圆柱的中心的截面截圆柱所得几何体，可知几何体的体积为圆柱体积的一半，利用柱体体积公式可求得结果.
【详解】该几何体的直观图如图所示，可知几何体是过圆柱的中心的截面截圆柱所得几何体，
且几何体的体积为圆柱体积的一半，圆柱的底面半径为
，高为
，
所以，该几何体的体积为
，
故选：
C.
10．已知函数
有三个相邻的零点
，则实数
的值为（）
A．−1B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】利用正弦曲线的特点，由三个相邻零点判断周期，求出
，
再利用
的中点，得到对称轴求出
，代入一个零点即可得到
的值.
【详解】因为三个相邻的零点
，得
，
，
又
，解得
，
故选：
A
11．如图，正
的边长为1，
，
为扇形
内一点（包括边界），则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立如图所示的直角坐标系，得
，设
，求出
，利用正弦函数的性质和不等式性质可得所求范围．
【详解】如图，建立平面直角坐标系，则
，
设
，
∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
故选：
B.
【点睛】关键点点睛：
本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立坐标系后设出
点坐标，用坐标求出数量积，转化为利用三角函数与不等式的性质求解．
12．已知双曲线
：
的左右焦点分别为
，
，
为双曲线
上一点，在以
为圆心，1为半径的圆上，总存在一点
，使得
，则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
得，
在以
为圆心，
为半径的圆上，即圆
与圆
有公共点，由两圆位置关系可得
的范围．
【详解】由
得，
在以
为圆心，
为半径的圆上，即圆
与圆
有公共点，
，
，又
，
∴
，
故选：
D.
二、填空题
13．已知函数
，则曲线
在点
处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
【详解】解：
∵
，∴
，又
，
∴曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
故答案为：
.
14．在
中，已知
，则
___________.
【答案】
【分析】由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求得角
．
【详解】解：
由正弦定理得
，由余弦定理
，
即
，∴
，
.
故答案为：
．
15．如图，正四棱锥
内接于半球
（
，
，
，
位于半球的底面圆周上，点
位于半球的表面上），已知半球
的半径为
，则过
，
，
三点的平面截半球所得截面图形的面积为___________.
【答案】
【分析】首先易得
是边长为
的正三角形，再得出截面形状为圆心角为
，半径为1的扇形，顶角为
，腰为1的等腰三角形，求出面积即可.
【详解】由于球的半径为
，所以
，
即
是边长为
的正三角形，
外接圆的半径满足
，即
，
故所求截面图形为圆心角为
，半径为1的扇形，顶角为
，腰为1的等腰三角形，
故其面积为
.
故答案为：
.
16．已知函数
是定义在
上的连续单调函数，若
，则不等式
的解集为___________.
【答案】
【分析】令
，则
，
，然后求出
，得到
的解析式，然后利用其单调性解出不等式即可.
【详解】∵
是定义在
上的连续单调函数，∴存在唯一
，使得
，
故令
，则
，∴
，即
，
令
，则
在
上单调递增，且
，∴
，
，故
在
上单调递增，
∵
，
，∴
.
故答案为：
三、解答题
17．已知数列
的前
项和为
，满足
，记
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）求数列
的前
项和
.
【答案】
（1）
；
（2）
.
【分析】
（1）依题意可得
，作差即可得解；
（2）由
（1）得
，再利用错位相减法求和即可；
【详解】解：
（1）由
，得
，
两式相减得
，
∴
.
即
，即
，∴
.
（2）由
（1）得
，
∴
，
，
两式相减得
，
∴
.
【点睛】数列求和的方法技巧
（1）倒序相加：
用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减：
用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和：
用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
18．如图，四边形
是边长为2的菱形，
，
，
分别为
，
的中点，将
和
沿着
和
折起，使得平面
和平面
均垂直于平面
.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）
.
【分析】
（1）连接
由已知可得
平面
，
平面
，且
，所以四边形
为平行四边形，得
，再由线面平行的判定定理可得答案；
（2）分别以
为
的正半轴建立空间直角坐标系，求出平面
和平面
的法向量，再由向量的夹角公式可得答案.
【详解】
（1）连接
，
∵
，
，
∴
为正三角形，又
为
的中点，∴
，即
.
又平面
平面
，∴
平面
，且
.
同理
平面
，且
，∴
，
∴四边形
为平行四边形，∴
.
又
平面
，
平面
，∴
平面
.
（2）分别以
为
的正半轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
则
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，令
，得
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，令
，得
，
∴
，即二面角
的余弦值为
.
【点睛】本题考查了线面平行的判断、二面角的向量求法，解题的关键点是记录空间直角坐标系，考查了学生的空间想象能力和计算能力.
19．已知椭圆
：
的左右顶点分别为
，
，右焦点
，
，过
的直线
与椭圆
交于
，
两点，且
面积是
面积的3倍.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若直线
，
与直线
分别交于
，
两点，试问：
以
为直径的圆是否过定点？
若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
【答案】
（1）
；
（2）过定点，定点
和
.
【分析】
（1）将两个条件转化为关于
的方程，即可求解；
（2）设直线
，与椭圆方程联立，得韦达定理，
，
，并表示直线
的方程，并求得点
的坐标，写出以
为直径的圆的方程，由对称性确定，若有定点，则定点在
轴，即令圆的的方程中
，求
的值，即得定点坐标.
【详解】解：
（1）∵
，∴
，
又
面积是
面积的3倍，∴
，
解得
，
，
，
故椭圆
的标准方程为
.
（2）依题意可设
：
，
，
，
联立方程组
，消去
整理得
，
∴
，
，
直线
的方程为
，令
，得
，同理
.
∴以
为直径的圆的方程为
.
由对称性可知，若以
为直径的圆过定点，则定点在
轴上，
令
，得
，即
，
即
，即
，
化简得
，解得
或
.
故以
为直径的圆过定点
和
.
【点睛】方法点睛：
解决存在性问题的注意事项：
（1）存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在；
（2）当条件和结论不唯一时，要分类讨论；
（3）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
（3）当条件和结论都未知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径。
20．某公司响应国家“节能减排，低碳经济”号召，鼓励员工节约用电，制定奖励政策，若公司一个月的总用电量低于30万
，将对员工们发放节能奖励，该公司为了了解9月份日最高气温对当天用电量的影响，随机抽取了去年9月份7天的日最高气温x（℃）和用电量y（万
）数据，并计算得
，
，
，气温方差
，用
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