学年人教B版高中数学必修3教学案第一章算法的概念 Word.docx
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学年人教B版高中数学必修3教学案第一章算法的概念Word
1．1.1 算法的概念
预习课本P3～6，思考并完成以下问题
（1）在数学中算法是如何定义的？
（2）算法有哪四种描述方式？
（3）设计算法的两个要求是什么？
1．算法
（1）概念：
说法①：
由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤．
说法②：
按照要求设计好的有限的确切的计算序列．
（2）作用：
这样的步骤或序列能够解决一类问题．
2．算法的描述方式
方式
3．设计算法的两个要求
（1）写出的算法，必须能解决一类问题，并且能重复使用．
（2）算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果．
1．下列叙述不能称为算法的是（ ）
A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海
B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1
C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22
D．解方程x2－2x＋1＝0
答案：
D
2．算法的有限性是指（ ）
A．算法必须包含输出
B．算法中每个操作步骤都是可执行的
C．算法的步骤必须有限
D．以上说法均不正确
答案：
C
3．以下有六个步骤：
①拨号；②等拨号音；③提起话筒（或免提功能）；④开始通话或挂机（线路不通）；⑤等复话方信号；⑥结束通话．
写出一个打本地电话的算法________（只写序号）．
解析：
按照打本地电话的基本操作流程来写，应是③②①⑤④⑥.
答案：
③②①⑤④⑥
4．给出一个问题的算法
S1 输入a.
S2 若a≥4，则执行S3；否则执行S4.
S3 y＝2a.
S4 y＝a2.
S5 输出y.
当输入的值a＝5时，则输出的y值为________．
解析：
所给问题是求函数值问题．
已知函数解析式为y＝
所以当a＝5时，y＝10.
答案：
10
算法概念的理解
[典例] 以下关于算法的说法正确的是（ ）
A．描述算法可以有不同的方式，可用形式语言也可用其它语言
B．算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题
C．算法过程要一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且经过有限步或无限步后能得出结果
D．算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的结果
[解析] 算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或计算序列能够解决一类问题．算法过程要求一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，只能有唯一结果，而且经过有限步后，必须有结果输出后终止，描述算法可以有不同的语言形式，如自然语言、框图语言及形式语言等．
[答案] A
有关算法概念的解题策略
（1）判断题应根据算法的特点进行求解；
（2）步骤要有限，前后有顺序，步步都明确．特别注意能在有限步内求解某一类问题，其中的每个步骤必须是明确可行的，不能模棱两可，对同一个问题可设计不同的算法．
[活学活用]
下列各式中S值不可以用算法求解的是（ ）
A．S＝1＋2＋3＋4
B．S＝12＋22＋32＋…＋1002
C．S＝1＋
＋…＋
D．S＝1＋2＋3＋4＋…
解析：
选D 由算法的有限性知，D不正确，而A、B、C都可以通过有限步骤操作，输出确定结果.
算法的设计
[典例] 求两底半径分别为2和4，高为4的圆台的表面积，写出该问题的算法．
[解] 圆台如图所示，算法如下：
S1 令r1＝2，r2＝4，h＝4.
S2 计算l＝
.
S3 计算S表＝πr
＋πr
＋π（r1＋r2）l.
S4 输出运算结果．
设计具体问题的算法的一般步骤
（1）分析问题，找出解决问题的一般数学方法；
（2）借助有关变量或参数对算法加以表述；
（3）将解决问题的过程划分为若干步骤；
（4）用简练的语言将这个步骤表示出来．
[活学活用]
已知函数f（x）＝x2，g（x）＝2x－log2x（x≠0）．
（1）写出求g（f（x））的值的一个算法；
（2）若输入x＝－2，则g（f（x））输出的结果是什么？
解：
（1）S1 输入x的值（x≠0）．
S2 计算y＝x2的值．
S3 计算z＝2y－log2y的值．
S4 输出z的值．
（2）当x＝－2时，由上面的算法可知y＝4，
z＝24－log24＝14，故输出的结果为14.
算法在实际生活中的应用
[典例] 到银行办理个人异地汇款（不超过100万元）时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超过100元，收取1元手续费，超过100元但不超过5000元，按汇款额的1%收取手续费，超过5000元的一律收取50元手续费．试写出汇款额为x元时，计算银行手续费的一个算法．
[解] 算法步骤如下：
S1 输入自变量x的值；
S2 判断x的范围，若x≤100，则y＝1，若100S3 输出函数值y.
实际生活问题算法设计的步骤
（1）弄清已知，明确要求；
（2）建立过程模型；
（3）根据过程模型设计算法步骤，在写算法时应简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现出思维的严密性和完善性．
[活学活用]
一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平（无砝码）将假银元找出来吗？
解：
S1 把银元分成3组，每组3枚；
S2 将其中两组分别放在天平两边，如果左右不平衡，则假银元就在轻的那一组；如果左右平衡，则假银元就在未称的第3组；
S3 从含有假银元的那一组中任取两枚银元放在天平两边，如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．
[层级一 学业水平达标]
1．计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是（ ）
①S＝
＋
＋
＋…＋
；
②S＝
＋
＋
＋…＋
＋…；
③S＝
＋
＋
＋…＋
（n≥1且n∈N＋）．
A．①② B．①③
C．②③D．①②③
解析：
选B 因为算法的步骤是有限的，所以②不能设计算法求解．
2．结合下面的算法：
S1 输入x.
S2 判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行S3.
S3 输出x－1.
当输入的x的值为－1时，输出的结果为（ ）
A．－2B．0
C．1D．3
解析：
选C 根据x值与0的关系，选择执行不同的步骤，当x的值为－1时，应执行x＋2这一步骤，所以输出的结果应为1，故选C.
3．给出下列算法：
S1 输入x的值．
S2 当x＞4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步．
S3 计算y＝
.
S4 输出y.
当输入x＝0时，输出y＝________________.
解析：
0＜4，执行S3，y＝
＝2.
答案：
2
4．用高斯消去法计算二元一次方程组
的解．
解：
S1 计算D＝3×（－1）－1×（－2）＝－1.
S2 D＝－1≠0，则x＝
＝－2，
y＝
＝－6.
S3 输出x，y的值．
[层级二 应试能力达标]
1．下列对算法的理解不正确的是（ ）
A．算法只能用自然语言来描述
B．算法可以用图形方式来描述
C．算法一般是“机械的”，有时要进行大量重复的计算，它的优点是可以解决一类问题
D．设计算法要本着简单、方便、可操作的原则
解析：
选A 由算法的概念和描述方式知，A不正确．
2．对于一般的二元一次方程组
在写解此方程组的算法时需要我们注意的是（ ）
A．a1≠0B．a2≠0
C．a1b2－a2b1≠0D．a1b1－a2b2≠0
解析：
选C 应用高斯消去法解方程组其实质是利用加减消元法．首先要将两方程y的系数化为相同即b1b2，此时x的系数分别为a1b2和a2b1两式相减得（a1b2－a2b1）x＝c1b2－c2b1，要得出x的值，则需注意a1b2－a2b1≠0.
3．阅读下面的算法：
S1 输入两个实数a，b.
S2 若a＜b，则交换a，b的值，否则执行第三步．
S3 输出a.
这个算法输出的是（ ）
A．a，b中的较大数B．a，b中的较小数
C．原来的a的值D．原来的b的值
解析：
选A 第二步中，若a＜b，则交换a，b的值，那么a是a，b中的较大数；若a＜b不成立，即a≥b，那么a也是a，b中的较大数．
4．对于算法：
S1 输入n.
S2 判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行S3.
S3 依次从2到（n－1）检验能不能整除n，若不能整除n，则执行S4；若能整除n，则执行S1.
S4 输出n.
满足条件的n是（ ）
A．质数B．奇数
C．偶数D．约数
解析：
选A 从题目的条件可以看出，输出的n没有约数，因此是质数．
5．给出算法步骤如下：
S1 输入x的值；
S2 当x<0时，计算y＝x＋1，否则执行S3；
S3 计算y＝－x2；
S4 输出y.
当输入x的值为－2,3时，输出y的结果分别是______．
解析：
由算法步骤可知，其算法功能是已知函数y＝
当输入x的值时，求对应的y值．因为－2<0，所以对应函数解析式为y＝x＋1，因此y＝－2＋1＝－1；当x＝3时，则对应函数解析式为y＝－x2，因此y＝－32＝－9.
答案：
－1，－9
6．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的步骤是________（填序号）．
①配方得（x－2）2＝1；
②移项得x2－4x＝－3；
③解得x＝1或x＝3；
④开方得x－2＝±1.
解析：
使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行．
答案：
②①④③
7．已知直角三角形两条直角边长分别为a，b（a>b），写出求两直角边所对的最大角θ的余弦值的算法如下：
S1 输入两直角边长a，b的值；
S2 计算c＝
的值；
S3 ________________________；
S4 输出cosθ.
将算法补充完整，横线处应填________________．
解析：
根据题意知，直角三角形两直角边a，b（a>b）所对最大角θ的余弦值为
，所以应填“计算cosθ＝
的值”．
答案：
计算cosθ＝
的值
8．某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：
3人或3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费．
解：
设某户有x人，根据题意，应收取的卫生费y是x的分段函数，即y＝
算法如下：
S1 输入人数x.
S2 如果x≤3，则y＝5；如果x>3，则y＝1.2x＋1.4.
S3 输出应收卫生费y.
9．已知直线l1：
3x－y＋12＝0和直线l2：
3x＋2y－6＝0，求直线l1与l2及y轴所围成的三角形面积，写出解决本题的一个算法．
解：
S1 解方程组
得直线l1，l2的交点P（－2,6）．
S2 在方程3x－y＋12＝0中令x＝0，得y＝12，从而得到A（0,12）．
S3 在方程3x＋2y－6＝0中令x＝0，得y＝3，得到B（0,3）；
S4 求出△ABP的底边长|AB|＝12－3＝9；
S5 求出△ABP的底边AB上的高h＝2；
S6 根据三角形的面积公式计算
S＝
|AB|·h＝
×9×2＝9.
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