6．（2011～2012·青岛市期末）已知tan（α＋）＝3，则tanα的值为（ ）
A.B．－
C.D．－
[答案] A
[解析] 由tan（α＋）＝3得，＝3，∴tanα＝.
7．（2011～2012·淄博一模）在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，则cosB值为（ ）
A.B．－
C.D．－
[答案] A
[解析] 由正弦定理sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，
∴sin（B＋C）＝3sinAcosB，
∴sinA＝3sinAcosB，
∵sinA≠0，∴cosB＝.
8．甲船在B岛的正南方A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是（ ）
A.minB.h
C．21.5minD．21.5h
[答案] A
[解析] 设甲、乙两船相距最近时，所需时间为th，此时甲船到达C处，乙船到达D处，
则CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos120°
＝（10－4t）2＋（6t）2－2×（10－4t）×6t×（－）
＝4（7t2－5t＋25），
∴t＝h＝min时，两船相距最近．
9．（文）（2011～2012·绥化市一模）若tanα＝3，则的值为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
[答案] D
[解析] ∵tanα＝3，∴＝＝2tanα＝6.
（理）（2011～2012·深圳市一调）已知直线l：
xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan（α＋β）＝（ ）
A．－B.
C.D．1
[答案] D
[解析] 由条件得tanα＝2，tanβ＝－，
∴tan（α＋β）＝＝＝1.
10．（2011～2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考）函数y＝2sin2x＋sin2x的最小正周期是（ ）
A.B.
C．πD．2π
[答案] C
[解析] ∵y＝1－cos2x＋sin2x＝1＋sin（2x－），
∴T＝＝π.
11．（文）（2011～2012·包头一中期末）方程|x|＝cosx在（－∞，＋∞）（ ）
A．没有根B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根D．有无穷多个根
[答案] C
[解析] 在同一坐标系中作出函数y＝|x|与y＝cosx的图象知，两函数图象有且仅有两个交点．
（理）（2011～2012·青岛市期末）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A>0，ω>0,0<φ<π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f
（1）的值为（ ）
A．－B．－
C.D．－
[答案] D
[解析] ∵△EFG为边长为2的正三角形，∴f（x）的周期为4，∴＝4，∴ω＝，∵f（x）为奇函数，0<φ<π，∴φ＝，∴f（x）＝－Asin（x），其最大值为A＝，
∴f（x）＝－sinx，∴f
（1）＝－.
12．（2011～2012·豫南九校联考）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A>0，|φ|<）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
[答案] A
[解析] ＝－＝，∴T＝＝π，∴ω＝2，
由最小值－1知A＝1，
∴f（x）＝sin（2x＋φ），将（，0）代入得sin（＋φ）＝0，
∵|φ|<，∴φ＝，
∴f（x）＝sin（2x＋）＝sin2（x＋），向右平移个单位长度，即可得g（x）＝sin2x的图象．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．）
13．（文）（2011～2012·安徽东至县一模）cos42°·cos78°＋sin42°·cos168°＝________.
[答案] －
[解析] cos42°cos78°＋sin42°cos168°＝cos42°cos78°－sin42°sin78°＝cos（42°＋78°）＝cos120°＝－.
（理）（2011～2012·佛山市质检）函数y＝sinx＋sin（x＋）的最小正周期是________．
[答案] 2π
[解析] y＝sinx＋sin（x＋）＝sinx＋cosx＝2（sinx＋cosx）＝2sin（x＋），故最小正周期为2π.
14．（2011·浙江杭州月考）已知sin（x＋）＝，则sin（－x）＋sin2（－x）＝________.
[答案]
[解析] sin（－x）＋sin2（－x）
＝sin[π－（－x）]＋cos2[－（－x）]
＝sin（＋x）＋cos2（＋x）
＝sin（＋x）＋1－sin2（＋x）
＝＋1－（）2＝.
15．（2011～2012·山东东营市期末）小明爸爸开车以80km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点A处望见电视塔P在北偏东30°方向上，15分钟后到达B处望见电视塔在北偏东75°方向上，则汽车在点B时与电视塔P的距离是________km.
[答案] 10
[解析] 由条件知AB＝80×＝20，
∠APB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，
∴BP＝＝10（km）．
16．（文）（2011～2012·厦门市质检）函数f（x）＝sin（x＋）－cos（x＋），x∈[0,2π）的单调递减区间是________．
[答案] [，]
[解析] f（x）＝sin（x＋）－cos（x＋）＝2sin[（x＋）－]＝2sinx，故在[0,2π）上的单调递减区间为[，]．
（理）（2011～2012·日照一模）给出下列四个命题：
①命题“∀x∈R，cosx>0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；
②若0③函数y＝sin（2x－）的一个单调增区间是[－，]；
④对于任意实数x，有f（－x）＝f（x），且当x>0时，f′（x）>0，则当x<0时，f′（x）<0.
其中真命题的序号是________（把所有真命题的序号都填上）．
[答案] ①③④
[解析] ①正确；令f（x）＝x2＋ax－3＝0，则ax＝3－x2，在同一坐标系中作出函数y＝ax（00时，f′（x）>0，∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，∴f（x）在（－∞，0）上为减函数，因此，当x<0时，f′（x）<0，故④真．
三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）（文）（2011～2012·吉林延吉市质检）已知函数f（x）＝－2sin2x＋sin2x＋.
（1）求函数f（x）的最小正周期和最小值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象．
[解析]
（1）f（x）＝（1－2sin2x）＋sin2x＝sin2x＋cos2x＝2sin（2x＋），
所以，f（x）的最小正周期T＝＝π，最小值为－2.
（2）列表：
x
0
π
f（x）
2
0
－2
0
故画出函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象如图．
（理）（2011～2012·湖北八市联考）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<，x∈R）的图象的一部分如下图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数y＝f（x）＋f（x＋2）的最大值与最小值．
[解析]
（1）由图象知，A＝2，＝8，
∴ω＝，∴f（x）＝2sin（x＋φ），
当x＝1时，有×1＋φ＝，
∴φ＝.
∴f（x）＝2sin（x＋）．
（2）y＝2sin（x＋）＋2sin[（x＋2）＋]
＝2sin（x＋）＋2cos（x＋）
＝2sin（x＋）
＝2cosx，
∴ymax＝2，ymin＝－2.
18．（本小题满分12分）（文）（2011～2012·厦门市质检）在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边．a＝2，sin＝，且△ABC的面积为4.
（1）求cosB的值；
（2）求边b、c的长．
[解析]
（1）∵sin＝，
∴cosB＝1－2sin2
＝1－2×（）2＝.
（2）由
（1）cosB＝，在△ABC中，0∴sinB＝，
又由已知S△ABC＝4，且a＝2，
∴acsinB＝4，解得c＝5，
∴b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×＝17，
∴b＝，∴b＝，c＝5.
（理）（2011～2012·绥化市一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（2a＋c）cosB＋bcosC＝0.
（1）求角B的值；
（2）已知函数f（x）＝2cos（2x－B），将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调增区间．
[解析]
（1）由正弦定理得（2sinA＋sinC）cosB＋sinBcosC＝0，
即2sinAcosB＋sinCcosB＋cosCsinB＝0，
得2sinAcosB＋sin（B＋C）＝0，
因为A＋B＋C＝π，所以sin（B＋C）＝sinA，得2sinAcosB＋sinA＝0，
因为sinA≠0，所以cosB＝－，
又B为三角形的内角，所以B＝.
（2）∵B＝，∴f（x）＝2cos（2x－），
∴g（x）＝2cos[2（x＋）－]
＝2cos（2x－）＝2sin2x，
由2kπ－≤2x≤2kπ＋ （k∈Z），得
kπ－≤x≤kπ＋ （k∈Z），
故f（x）的单调增区间为[kπ－，kπ＋]（k∈Z）．
19．（本小题满分12分）（2011～2012·安徽名校联考）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA＝.
（1）求sin2＋cos2A的值；
（2）若a＝，求bc的最大值．
[解析]
（1）sin2＋cos2A＝[1－cos（B＋C）]＋2cos2A－1＝（1＋cosA）＋2cos2A－1＝－.
（2）∵＝cosA＝，
∴bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，
∴bc≤a2，又a＝，∴bc≤.
当且仅当b＝c＝时，bc＝，故bc的最大值是.
20．（本小题满分12分）（2011～2012·江西赣州市期末）已知函数f（x）＝sinxcosx－cos2x－，x∈R.
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝3，f（C）＝0，若向量m＝（1，sinA）与n＝（2，sinB）共线，求a、b的值．
[解析]
（1）f（x）＝sinxcosx－cos2x－＝sin2x－cos2x－1＝sin（2x－）－1，
∴f（x）的最小值是－2，最小正周期为π.
（2）∵f（C）＝sin（2C－）－1＝0，即sin（2C－）＝1，
∵0∴2C－＝，∴C＝.
∵m与n共线，∴sinB－2sinA＝0.
由正弦定理＝，得b＝2a， ①
∵c＝3，由余弦定理得，9＝a2＋b2－2abcos， ②
解方程组①②得，.
21．（本小题满分12分）（2011～2012·吉林重点中学一模）已知向量a＝（sin（ωx＋φ），2），b＝（1，cos（ωx＋φ）），ω>0,0<φ<.函数f（x）＝（a＋b）·（a－b），若y＝f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1，且过点M（1，）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当－1≤x≤1时，求函数f（x）的单调区间．
[解析]
（1）f（x）＝（a＋b）·（a－b）＝|a|2－|b|2
＝sin2（ωx＋φ）＋4－1－cos2（ωx＋φ）
＝－cos（2ωx＋2φ）＋3，
由题意得周期T＝＝4，故ω＝，
又图象过点M（1，），所以＝3－cos（＋2φ），
即sin2φ＝，而0<φ<，所以2φ＝，
∴f（x）＝3－cos（x＋）．
（2）当－1≤x≤1时，－≤x＋≤，
∴当－≤x＋≤0时，即x∈[－1，－]时，f（x）是减函数，
当0≤x＋≤时，即x∈[－，1]时，f（x）是增函数．
∴函数f（x）的单调减区间是[－1，－]，单调增区间是[－，1]．
22．（本小题满分14分）（文）（2011～2012·吉林省延吉市质检）某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.
（1）求边AB的长度；
（2）若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．
[解析]
（1）在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝162＋102－2·16·10cosC①
在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D整理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosD＝142＋142－2·142cosC②
由①②得：
142＋142－2·142cosC＝162＋102－2·16·10cosC
∴cosC＝，
又∠C为三角形的内角，所以C＝60°，
又∠C＝∠D，AD＝BD，所以△ABD是等边三角形，∴AB＝14.
（2）小李的设计符合要求．
理由如下：
S△ABD＝AD·BDsinD
S△ABC＝AC·BCsinC
因为AD·BD>AC·BC，
所以S△ABD>S△ABC，
由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低．
即小李的设计符合要求．
（理）（2011～2012·江苏无锡辅仁中学模拟）一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：
（1）求棒长L关于α的函数关系式L（α）；
（2）求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值．
[解析]
（1）如图，AB＝，BC＝，
L（α）＝AC＝AB＋BC＝＋ .
（2）L（α）＝
令t＝cosα＋sinα＝sin，
∵0<α<，∴t∈（1，]，
则sinαcosα＝＝，
∴L＝＝，当t∈（1，]时，t－随着t的增大而增大，所以t－∈（0，]，
所以L∈[4，＋∞）．
所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4.
[点评] L（α）的最小值，即通过此直角走廊的铁棒的最大长度，当α＝时，能通过走廊的铁棒最长．
1．（2011～2012·大庆铁人中学期末）在同一个坐标系中画出函数y＝ax，y＝sinax的部分图象，其中a>0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（ ）
[答案] D
[解析] 若a>1，则y＝sinax的周期T＝<2π，排除A、C；若02π，排除B，故选D.
2．（2011～2012·兰州一中期末）y＝sin（2x＋）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（－，0）中心对称（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
[答案] C
[解析] y＝sin（2x＋）＝sin2（x＋），向右平移个单位得y＝sin2（x－＋），∵当x＝－时，sin2（x－＋）＝0，∴需向右平移个单位．
解法二：
将y＝sin（2x＋）的图象向右平移φ个单位后，得y＝sin[2（x－φ）＋]＝sin（2x＋－2φ），其图象关于点（－，0）对称，∴2×（－）＋－2φ＝kπ，∴φ＝－＋，∵k∈Z，∴k＝0时，φ＝，故选C.
3．（2011～2012·南通市调研）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且3a＋4b＋5c＝0，则a:
b:
c＝________.
[答案] 20:
15:
12
[解析] ∵3a＋4b＋5c＝0，
∴3a＋4b＋5c（＋）＝0，
∴（3a－5c）＋（4b－5c）＝0，
∵与不共线，∴，∴，
∴＝＝，＝＝，
∴a:
b:
c＝20:
15:
12.
4．（2011～2012·南通市调研）已知函数f（x）＝3sin，如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1－x2|的最小值为________．
[答案] 2π
[解析] f（x）的周期T＝4π，∵对任意实数x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是f（x）的最小值，f（x2）是f（x）的最大值，因此|x1－x2|的最小值为半个周期即2π.
5．（2011～2012·淄博一模）已知函数f（x）＝2cos2－sinx.
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）若α为第二象限角，且f（α－）＝，求的值．
[解析]
（1）∵f（x）＝1＋cosx－sinx
＝1＋2cos（x＋），
∴函数f（x）的周期为2π，
又∵－1≤cos（x＋）≤1，∴－1≤f（x）≤3，
即f（x）的值域为[－1,3]．
（2）∵f（α－）＝，∴1＋2cosα＝，∴cosα＝－，
∵α为第二象限角，∴sinα＝，
∴＝
＝＝
＝＝.
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