《概率论与数理统计本科》复习题.docx

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《概率论与数理统计本科》复习题

《概率论与数理统计（本科）》复习题

　　　　　　　　《概率论与数理统计》期末考试复习题　　一、选择题　　1、设A、B、C为三个事件，则A、B、C全不发生的事件可以表示为（　　）.（A）ABC　　（B）A?

C　　（C）A?

C　　（D）ABC　　2、设A和B是任意两个事件，且A?

B，P（B）?

0，则下列结论必成立的是P（A）?

P（AB）　　　　P（A）?

P（AB）P（A）?

P（AB）　　　　P（A）?

P（AB）3、设A和B相互独立，P（A）?

，P（B）?

，则P（AB）?

　　　　4、设A,B为两随机事件，且B?

A，则下列式子正确的是P（A?

B）?

P（A）;　　P（AB）?

P（A）;P（B|A）?

P（B）;　　P（B?

A）?

P（B）?

P（A）5、以A表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A为（）.　　（A）甲种产品滞销，乙种产品畅销　　（B）甲、乙产品均畅销（C）甲种产品滞销　　　　（D）甲产品滞销或乙产品畅销6、已知P（A）?

，P（B）?

，P（A?

B）?

，则P（AB）?

。

　　（A）（B）　　（C）　　（D）7、设B?

A，则下面正确的等式是（）。

　　（A）P（AB）?

P（A）　　（B）P（B?

A）?

P（B）?

P（A）（C）P（B|A）?

P（B）　　（D）P（A|B）?

P（A）　　8、设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是A与B不相容　　　　A与B相容P（AB）?

P（A）P（B）　　P（A?

B）?

P（A）9、设P（A）?

a,P（B）?

b,P（A?

B）?

c，则P（AB）?

（　　）.　　）　　（A）a?

b　　（B）c?

b　　（C）　　a（1?

b）　　（D）　　b?

a10、对于任意两个事件A,B，下列式子成立的是（）.　　（A）P（A?

B）?

P（A）?

P（B）　　（B）P（A?

B）?

P（A）?

P（B）?

P（AB）（C）P（A?

B）?

P（A）?

P（AB）　　（D）P（A?

B）?

P（A）?

P（AB）11、已知A?

B,P（A）?

P（B）?

，则P（BA）?

（　　）.　　（A）　　（B）　　（C）　　（D）　　12、设A,B满足P（AB）?

1，　　则有。

A是必然事件　　B是必然事件A?

　　P（A）?

P（B）　　13、设A,B为两个随机事件，且0?

P（A）?

1，则下列命题正确的是。

　　（A）若P（AB）?

P（A），则A,B互斥；（B）若P（BA）?

P（BA）?

1，则A,B独立；　　（C）若P（AB）?

P（AB）?

1，则A,B为对立事件；（D）若P（B）?

P（BA）?

1，则B为不可能事件；　　14、随机扔二颗骰子，已知点数之和为８，则二颗骰子的点数都是偶数的概率为。

　　3111　　　　5212315、10箱产品中有8箱次品率为，2箱次品率为，从这批产品中任取一件为次品的概率是　　　　　　16、设N件产品中有n件是不合格品，从这N件产品中任取2件，则2件都是不合格品的概率是　　n?

1n（n?

1）n（n?

1）n?

1　　　　　　2N?

1N2N（N?

1）2（N?

n）17、设N件产品中有n件是合格品，从这N件产品中任取2件，已知其中有1件是合格品，则另一件是不合格品的概率是　　　　n?

1n（N?

n）n（N?

n）n?

1　　　　22N?

1NN（N?

1）2（N?

n）18、设N件产品中有n件是不合格品，从这N件产品中任取2件，已知其中有1件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是　　n?

1n（n?

1）n（n?

1）n?

1　　　　22N?

1NN（N?

1）2（N?

n）19、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。

则第二人在第一次就取到黄球的概率是　　1/5　　2/5　　3/5　　4/5　　?

20、设X~N?

则随?

增大概率P{X?

}应　　?

单调增大　　单调减少　　保持不变　　增减不定21、设袋中有4只白球，2只黑球.从袋中任取2只球（不放回抽样），则取得2只白球的概率是（　　）.（A）　　3124　　（B）　　（C）　　（D）　　555522、设P（AB）?

0,则有（）.　　（A）A和B不相容（B）A和B独立（C）P（A）=0或P（B）=0（D）P（A-B）=P（A）23、掷一枚钱币，反复掷4次，则恰有3次出现正面的概率是（）.（A）　　1111　　（B）　　（C）　　（D）　　16810424、在编号为1,2,?

n的n张赠券中采用不放回方式抽签，则在第k次（1?

n）抽到1号赠券的概率是（）.（A）　　1111　　（B）　　（B）　　（D）n?

kn?

1nn?

125、甲袋中有4只红球，6只白球；乙袋中有6只红球，10只白球.现从两袋中各取1球，则2球颜色都是红球的概率是（　　）.（A）　　6151921　　（B）　　（C）　　（D）4040404026、设每次试验成功的概率为p（0?

1），重复进行试验直到第n次才取得r（1?

n）次成功的概率为（）.Cn?

1p（1?

p）r?

1rn?

r　　Cnp（1?

p）rrn?

r　　　　r?

1r?

1Cn（1?

p）n?

1　　pr（1?

p）n?

1p27、设随机变量X?

N（1,4），则下列变量必服从N（0,1）分布的是　　　　X?

1X?

1　　（D）2X?

143228、设随机变量X的概率密度为　　?

4x3,0　　（A）42　　（B）111　　（C）　　（D）　　1?

4422229、若函数f（x）?

cosx,x?

D是随机变量X的分布函数，则区间D为其它?

0,[0,]　　[?

]　　[0,?

]　　[,]22430、设X~N2?

且P（0?

4）?

，则P?

　　　　0.5　　31、设随机变量X的密度函数为f（x），且f（?

x）?

f（x），F（x）为X的分布函数，则对任意实数a，成立.　　（A）F（?

a）?

（C）F（?

a）?

a0f（x）dx，　　（B）F（?

a）?

F（a），　　a1?

f（x）dx，　　（D）F（?

a）?

2F（a）?

120?

x,?

32、设随机变量X的概率密度为f（x）?

x,?

0,?

11?

2，则P（X?

）?

.其他　　　　?

（2?

x）dx　　　　?

（2?

x）dx　　　　（D）?

（2?

x）dx　　?

、设随机变量X,Y相互独立，X~N（0,1）,Y~N（1,1），则（　　）.　　E（X?

2Y）?

2E（XY）?

2E（X?

2Y）?

2E（1?

XY）?

034、设随机变量X服从正态分布N（?

16）,则随着　　?

的增大,概率　　　　P{|X?

}（　　）.　　（A）单调增大（B）单调减小　　（C）保持不变　　（D）增减不定　　35、离散随机变量X的分布函数为F（x），且xk?

xk?

1，则P（X?

xk）?

（）.P（xk?

xk）　　F（xk?

1）?

F（xk?

1）P（xk?

xk?

1）　　F（xk）?

F（xk?

1）36、设随机变量X的概率密度为?

（x）?

1，则Y?

2X的概率密度为（）.　　?

（1?

x2）（A）　　11　　（B）　　22?

（1?

4y）?

（1?

y）（C）　　　　12arctany　　（D）　　2?

（4?

y）b（i?

1,2,?

）为离散型随机变量的概率分布律.　　i（i?

1）1　　（D）3237、常数b?

（　　）时，pi?

（A）2　　（B）　　1　　（C）　　238、设随机变量X?

N（2,?

），且P{2?

4}?

，则P{X?

0}?

（）.　　（A）　　（B）　　（C）　　（D）　　　　39、设随机变量X具有对称的概率密度，即f（x）?

f（?

x），又设F（x）为X的分布函数，则对任意a?

0,P{|x|?

a}?

（）.　　（A）2[1?

F（a）]　　（B）　　2F（a）?

1　　（C）　　2?

F（a）　　（D）　　1?

2F（a）　　40、设随机变量X在区间（2,5）上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于3的概率为（）.（A）　　202722　　（B）　　（C）　　（D）　　27305341、设X的分布函数为F?

，则Y?

3X?

1的分布函数G?

为

111?

1y?

3y?

3F（y）?

1F?

　　333?

342、设连续型随机变量X的分布函数为F（x），密度函数为f（x），而且X与?

X有相同的分布函数，则　　F（x）?

F（?

x）　　F（x）?

F（?

x）f（x）?

f（?

x）　　f（x）?

f（?

x）　　43、设随机变量X的密度函数为f（x），且f（?

x）?

f（x）,F（x）是X的分布函数，　　则对任意实数a成立的是（）F（?

a）?

a0f（x）dx　　F（?

a）?

1a?

f（x）dx20F（?

a）?

F（a）　　F（?

a）?

2F（a）?

144、下列函数中，可以作为随机变量分布函数的是　　F（x）?

131F（x）?

arctanx　　　　　　1?

x242?

　　（D）F（x）?

0,?

F（x）?

x,x?

x2?

arctanx?

1　　45、设X服从参数为?

的泊松分布，且P（X?

1）?

P（X?

2），则参数?

=。

　　1　　（B）1　　2　　021}?

P{Y?

1}?

P{X?

1}?

P{Y?

1}?

，两个随机变量X，Y是相互46、设P{X?

12（A）　　独立且同分布,则下列各式中成立的是　　1　　　　（B）P{X?

Y}?

1211（C）P{X?

0}?

　　　　（D）P{XY?

1}?

　　44（A）P{X?

Y}?

47、已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间?

1,3?

和?

2,4?

上服从均匀分布，则E?

XY?

。

　　　　3　　6　　10　　12　　　　48、设随机变量X的概率密度为f?

，则f?

一定满足。

1　　P?

xx?

dt　　?

xf?

dx?

1　　P?

dt　　49、已知随机变量X服从二项分布B（n,p），且E?

，则参数n,p的值为（　　）　　（A）n?

4,p?

（B）n?

6,p?

（C）n?

8,p?

（D）n?

24,p?

50、设二维随机变量（X，Y）在圆域G：

x+y≤36服从均匀分布，则（X,Y）的联合概率密度　　2　　2　　函数为（　　）。

36?

（x,y）?

Gf（x,y）?

；　　f（x,y）?

；　　　　0,其他0,其他?

61?

（x,y）?

Gf（x,y）?

；　　f（x,y）?

　　0,其他其他?

0,251、设随机变量X~N1,2，?

则事件“1?

3”的概率为。

　　　　　　52、设X,Y都服从区间[0,2]上的均匀分布,则数学期望E（X?

Y）为（　　）.（A）1　　（B）2　　（C）　　（D）无法计算　　53、设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X?

2Y的方差为　　（　　）.　　（A）8　　（B）16　　（C）28　　（D）44　　254、设随机变量X与Y相互独立，且X?

N（?

1,?

12）,Y?

N（?

2,?

2），则Z?

Y仍具　　有正态分布，且有（）.　　2（A）Z?

N（?

1,?

12?

2）　　（B）　　Z?

N（?

2,?

2）　　22（C）Z?

N（?

2,?

12?

2）　　（D）　　Z?

N（?

2,?

12?

2）　　55、当随机变量X的可能值充满区间（）时，f（x）?

cosx可以成为X的概率密度（）.　　　　（A）[0,?

37]　　（B）[,?

]　　（C）[0,?

]　　（D）[?

]2224?

12e?

（3x?

4y）,x?

0,y?

056、设二维连续型随机向量（X,Y）的概率密度为f（x,y）?

，0,其他?

则P{0?

1,0?

2}?

（）.　　（A）（1?

6）（1?

8）　　（B）e?

3（1?

8）　　（C）（1?

3）（1?

8）　　（D）e?

8（1?

3）　　57、设随机变量X?

N（?

3,1）,Y?

N（2,1），且X与Y相互独立.令Z?

2Y?

7，则　　Z?

（　　）.　　（A）N（0,5）　　（B）N（0,3）　　（C）N（0,46）　　（D）N（0,54）　　58、设随机变量X与Y相互独立，且X,Y的分布函数各为FX（x）,FY（y）.令　　Z?

min（X,Y），则Z的分布函数FZ（z）?

（）.　　（A）FX（z）FY（z）　　　　（B）1?

FX（z）FY（z）　　（C）（1?

FX（z））（1?

FY（z））　　（D）1?

（1?

FX（z））（1?

FY（z））59、设随机变量X?

N（0,1），?

（x）是X的分布函数，且P{X?

x}?

（0,1）,则x?

（）.　　?

1（A）?

（?

）　　（B）?

（1?

2）　　?

1（C）?

（1?

）　　（D）?

（）　　?

260、设X~N?

令Y?

2，则Y~　　N（?

2,?

1）　　（B）N（0,1）　　（C）N（?

2,1）　　（D）N（2,1）　　?

6x2y,0?

1,0?

161、设（X,Y）的联合概率密度函数为f（x,y）?

则错误的是　　其他?

0（　　）.　　P{X?

0}?

1　　P{X?

0}?

1　　X,Y不独立随机点（X,Y）落在D?

{（x,y）:

1,0?

1}的概率为162、设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为　　　　?

a（x?

y）,0?

1,0?

2，f（x,y）?

0,其他则常数a?

　　（A）　　11　　（B）3　　（C）　　2　　（D）3263、X~N（?

42）,Y~N（?

52）,p1?

P{X?

4},p2?

P{Y?

5}，则（）　　（A）对任意实数?

p1?

p2　　对任意实数?

p1?

p2　　（C）对任意实数?

，都有p1?

p2只对?

的个别值，才有p1?

p2　　64、设随机变量X，Y相互独立，且X?

b（10,），Y?

b（10,），则E（2XY?

）2?

（）　　　　　　　　65、设X与Y为两个随机变量，则下列给出的四个式子那个是正确的（）.（A）E（X?

Y）?

E（X）?

E（Y）　　（B）D（X?

Y）?

D（X）?

D（Y）（C）E（XY）?

E（X）E（Y）　　（D）D（X?

2）?

D（X）　　66、二维随机变量（X,Y）服从二维正态分布，则X?

Y与X?

Y不相关的充要条件为EX?

EY　　（B）EX2?

[EX]2?

EY2?

[EY]2　　（C）EX2?

EY2　　（D）EX2?

[EX]2?

EY2?

[EY]2　　67、设X?

b（10,p），已知E（X）?

3，则p?

　　　　68、对于任意两个随机变量X和Y，若E（XY）?

E（X）?

E（Y），则（　　）。

　　（A）D（XY）?

D（X）?

D（Y）　　（B）D（X?

Y）?

D（X）?

D（Y）X和Y独立　　　　X和Y不独立　　、已知总体X服从正态分布N（1,?

2），则样本均值X?

110?

1069Xi服从　　i?

12（A）N（1,?

2）　　（B）N（1,10?

2）　　（C）N（10,?

2）（D）N（1,?

10）　　70、已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布,即　　）　　　　k?

22P（X?

k）?

ek!

（k?

0,1,2,?

）,　　则随机变量Y=3X-2的数学期望为（）.　　（A）2　　（B）4　　（C）　　6　　（D）8　　?

32,x?

3X71、设连续型随机变量的概率密度函数为f（x）?

（x?

4）随机变量，?

0,其他?

4，则E（Y）?

（）.　　（A）8　　（B）　　6　　（C）　　4　　（D）　　10　　72、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和向下的次数，则X和Y的相关系数?

等于　　（A）?

1．　　（B）0．　　（C）1/2．　　（D）1．73、如果X,Y满足D（X?

Y）?

，则必有E（XY）?

（EX）?

（EY）　　DY?

0E（XY）?

（EX）?

（EY）　　DX?

0　　74、设随机变量（X,Y）的方差D（X）?

4,D（Y）?

1,相关系数?

XY?

则方差　　D（3X?

2Y）?

（）.　　40　　34　　　　277、设二维随机变量（X,Y）服从G上的均匀分布，G的区域曲线y?

x与y?

x所围，　　则（X,Y）的联合概率密度函数为（）.　　（A）f（x,y）?

6,（x,y）?

1/6,（x,y）?

G　　（B）f（x,y）?

　　　　0,其他0,其他?

2,（x,y）?

1/2,（x,y）?

G　　（D）f（x,y）?

　　其他其他?

0,?

0,2（C）f（x,y）?

78、设x1,x2,?

x10为N（0,）的一个样本，则P{?

xi?

1102i?

（）.　　（A）　　（B）　　（C）　　（D）　　

　　　　　　　　P　　p2　　2p（1-p）p2　　1-2p　　其中p（0?

1/2）是未知参数.利用总体X的如下样本值：

　　1，3，0，2，3，3，1，3求

（1）p的矩估计值；

（2）p的极大似然估计值.　　67、设随机变量X服从参数为?

的指数分布，?

为未知参数，求?

的极大似然估计量.　　?

68、设?

1及?

2为参数?

的两个独立的无偏估计量,且假定D（?

1）?

2D（?

2）,求常数C1及C2,?

为?

的无偏估计,并使得D（?

）达到最小.使得?

112269、设总体X?

N（1,?

）,其中?

为未知参数，X1,X2,...,Xn为一个样本，求?

的最大似然估计量。

　　22?

1,0?

170、设总体X的概率密度为f（x）?

　　其它?

0,其中?

0是未知参数，X1,X2,?

Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，求　　1n?

的矩阵估计量?

；判断X?

Xi是否为?

的无偏估计量.　　ni?

1　　四、综合题　　1、假设某山城今天下雨的概率是准确的概率是　　123，不下雨的概率是；天气预报准确的概率是，不3341；王先生每天都听天气预报，若天气预报有雨，王先生带伞的概率是1，若41天气预报没有雨，王先生带伞的概率是；试求：

（1）某天天气预报下雨的概率？

（2）王先生某天带伞外出的概率？

（3）某天邻居看到王先生带伞外出，求预报天气下雨的概率？

　　2、设事件A、B满足P（A）?

0,P（B）>0，试证明P（A?

B）?

P（A）?

P（AB）　　3、证明：

P（AB?

AB）?

P（A）?

P（B）?

2P（AB）4、已知P（A）?

111,P（BA）?

P（AB）?

求P（A?

B）4325、已知事件A,B,C相互独立，证明：

B与C相互独立.　　　　6、设事件A、B满足P（A）?

0,P（B）>0，试证明A与B独立和A与B互不相容不可能同时发生。

　　7、设A,B是两个事件，又设P（A）?

p1?

0,P（B）?

p2?

0且p1?

p2?

1，　　证明：

P（B|A）?

p2.p1P（B）.P（A）8、假设P（A）?

0,试证P（B|A）?

9、设0?

P（B）?

1.若P（A|B）?

P（A|B），证明：

A与B相互独立.　　10、设A,B是任意二事件，其中0?

P（A）?

1，证明：

P（A|B）?

P（A|B）是A与B独立的充分必要条件.　　11、随机变量X服从区间[1，6]上的均匀分布，求二次方程t?

Xt?

0有实根的概率？

12、设随机变量X的概率密度为f（x）?

2x,0　　13、设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数f（x,y）?

12?

6x,0?

1，求　　其他?

0,X,Y的边缘密度函数；（X,Y）的联合分布函数；P（X?

1）.14、设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为　　?

x2?

Axy,　　f（x,y）?

0,0?

1,0?

2其他　　求A的值；两个边缘概率密度函数。

16、设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为　　?

y,y?

1,0?

1　　fY（y）?

fX（x）?

，.　　其他?

0,?

0,其他求随机变量Z?

Y的概率密度.　　　　17、设随机向量（X,Y）的联合概率密度函数为　　?

Ce?

（3x?

4y）,x?

0,y?

0试求：

f（x,y）?

，0,其他?

（1）常数C；

（2）联合分布函数F（x,y）；（3）P{0?

1,0?

2}.18、设随机向量（X,Y）的联合概率密度函数为　　?

Cx2y3,0?

1,0?

1试求：

f（x,y）?

，其他?

（1）常数C；

（2）X和Y的边缘密度函数；证明X与Y相互独立.19、设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为　　?

A（x?

y）2,　　f（x,y）?

0,x?

1,y?

1其他　　求A的值；

（2）关于X的边缘概率密度函数；P{X?

3,Y?

}.　　20、设二维随机变量?

X,Y?

是区域D内的均匀分布，D:

x2?

y2?

1．试写出联合概率密度函数，并确定X,Y是否独立？

是否相关？

　　12?

8xy,0?

1,0?

x21、设随机变量（X,Y）的联合概率密度f（x,y）?

，试求：

　　　　0　　其他?

X和Y的边缘概率密度函数；　　概率P（Y?

X）的值。

222、一个电子仪器两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：

千小时）.已知X和Y的联合分布函数为：

（x?

y）,x?

0,y?

0F（x,y）?

0,其他.?

（1）判别X和Y是否独立？

（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率.　　23、设随机变量X,Y,Z相互独立且服从同一贝努利分布B（1,p），试证明随机变量　　X?

Y与Z相互独立.　　　　　　　　24、设（X,Y）的联合分布律　　YX12-112为　　试求：

关于X和Y的边缘分布的分布律；E（2X?

3Y）；D（Y2）.25、设P{X?

0}?

P{Y?

0}?

P{X?

1}?

P{Y?

1}?

1，两个随机变量X，Y是相互独2立且同分布，求随机变量Z1?

max（X,Y）,Z2?

Y的分布律.　　?

bx2，0?

11f（x）?

26、随机变量X的概率密度，且E?

，求a,b及分布函　　，其它4?

0数F?

．　　27、一辆飞机场的交通车送20名乘客到9个站，假设每名乘客都等可能地在任一站下车，且他们下车与否相互独立，又知交通车只在有人下车时才停车，求该交通车停车次数的数学期望。

bx2,0?

13，28、设随机变量X的概率密度为f（x）?

　　已知E（X）?

，试求　　5其他?

（1）a,b的值;

（2）D（X）.　　29、某射手有3发子弹，已知其射中某目标的概率为　　1，规定只要射中目标或子弹打完就立8刻转移。

记X为转移前射出的子弹数，试求：

X的分布列；X的数学期望E（X）。

30、设随机变量X的概率密度函数为　　?

kx?

1,0?

2f（x）?

其他?

0,求：

（1）确定常数k；

（2）X的分布函数；方差D（X）　　x?

e3，x?

031、已知随机变量X的概率密度为fX（x）?

3，随机变量Y的概率密度　　?

0，x?

0　　?

6e?

6y，y?

0，且X,Y相互独立．试求fY（x）?

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