第二章离散信号频谱的窗谱校正方法.docx
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第二章离散信号频谱的窗谱校正方法
华中理工大学博士学位论文
第二章离散信号频谱的窗谱校正方法
----基本理论
§2.1引言
利用DFT可以对离散信号进行频谱分析，但是计算工作量相当大，因此，在快速算
法没用发明之前，DFT并没用多大的实际意义。
直到1965年，Cooley-Tukey在《计算数
学》杂志上首先提出FFT算法之后，
DFT才得到广泛的应用。
这一快速算法的出现对数字
信号分析领域的发展起到了极大的推动作用。
从此以后，它作为频谱分析的基础得到了
广泛的应用
[75,76,77,78]
。
由于计算机只能对信号的有限多个样本进行计算，信号的
FFT谱分析也只能在时域
信号的有限区间内进行，这就不可避免地存在由于时域截断（加矩形窗）而产生泄漏[61]，
使谱峰值减小，精度降低，求得的信号相位更是面目全非。
在数字信号处理中，由
DFT
或
FFT得到的幅值谱是离散谱，是信号与窗函数频谱卷积后，按频率分辨率
Δfs
=
fs
/N
（fs为信号采样频率，N为分析信号样本长度）等间隔频域抽样的结果（如图
21
所示）[78]。
A幅值
f
图2-1频谱抽样的离散谱线
如果周期信号的频率正好
表2-1离散频谱幅值、相位和频率误差表
落在某一谱线上，经FFT后得
矩形窗Hanning窗
Hamming
窗
幅值误差（％）
0--36.40--15.30--18.3
相位误差（0）
±90±90±90
频率误差（Hz）
±05Δfs.±05Δfs.±05Δfs.
到的频率、幅值和相位是准确
的。
在一般情况下，信号频率
落于两条相邻谱线之间，由于
谱线不在主瓣中心，由峰值谱
线反映的频率和幅值都不准
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确，相位误差更大。
从理论上分析，加矩形窗时，最大误差可达
364
.%，即使加其他窗
时，也不能完全消除这一影响，在加Hanning窗时，只进行幅值恢复时的最大幅值误差仍
高达153
.%，相位误差将更大，表2-1是离散频谱只进行幅值恢复，不进行其他处理时幅
值、相位和频率误差
[141]
。
§2.2单频谐波的频谱分析误差产生原因
无限长信号
x（）t（如振动信号、噪声信号等）的频谱分析所采用的方法为对信号进
行截取，然后再对截取得到的有限长度信号进行频谱分析。
窗函数
wt（）的作用就相当于
对无限长的信号开一窗口，从窗口中取出一段数据，从而完成信号的截取。
窗函数都是
选择实偶函数，并在时域上将窗函数的中心放于被分析的那段信号的中心。
加窗信号的傅氏变换为：
Fx.
（）]（）（）2π
dt.............................................................（2.1）
[（）twtxtwteTTjft=....∫（∞）
.∞
其中，wt
T（）由对称窗wt（）在时间上平移T/2得到，即
T（）t.T/）
wt=w（2................................................................................................（2.2）
设wt（）的傅氏变换（如图2-2a）
Fwt
=W（f
[（）]）......................................................................................................（2.3）
根据傅氏变换的奇偶性质，当wt（）是实偶函数时，Wf
（）此时也为实偶函数。
又由
傅氏变换的时移特性可知（如图2-2b），
Fw
t
=Wfe
（）jfT
π
[T（）]...........................................................................................（2.4）
设有一周期信号
x（）t=ACos（2π.f0.t+.）,则其傅氏变换结果为（如图2-2c）：
A.j.
Aj.
（）0.f0）...............................................................（2.5）
Xf=.e.δ（f+f）+.e.δ（f
22
根据卷积定理，加窗后的谐波信号
x（）twt.T（）的傅氏变换可表示为（图2-2d）：
Xf
（）=Fxt
w
t
T（）]=Fxt
[（）]Fw
t
（）]
T
[（）..[T
（这里“*”表示卷积）
AA
.jj
.
..
π
..
j
fT
={.e
.δ（+
）+.e
.δ（..Wfe
ff
ff
）}{（）}
00
22
A....
+
）+.]Aj[πTf
f
0）.
j[πTf
f
....
.
（0（]
=.Wf
fe
+
）+.
（.
）
（Wf
fe
.
...............（2.6）
00
22
由此可知，在加窗信号的傅氏分析中，当
f≠f0时，将存在泄漏情况。
此时的幅值
及相位分别为：
A
Y=.Wf
f
（.
0）....................................................................................................（2.7）
2
Φ=..
.
Tf（.f
+.......................................................................................（2.8）
π
0）
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对窗长度T
=
N
/fs
作归一化处理，则T
=
1，且令Δf
=
f
.
f0代入上面两式可得：
A
（.
）
Φ=.π.Δf
+.
......................................................................................................（2.10）
Y
=
2
.Wf
...........................................................................................................（2.9）
W
（f
）
w
（）T
t
t
f
-T/2
T/2
1.1/Τ0.2/Τ2/Τ1/Τ
时域波形窗谱模函数
（a）对称矩形窗函数的时域波形和频谱模函数
wt
T
（）
1
t
0T
T
.2/Τ.1/Τ02/Τ1/ΤW（）fTf
时域波形窗谱模函数
（b）实际窗函数的时域波形和频谱模函数
T0
Ax（t）
t
X
（f
）
A/2
A/2
f
-f
0f
00
时域波形傅里叶变换模函数
（c）单频率谐波的时域波形和频谱模函数
A
xtT（）
0Tt
Y
n
yKyK.1
kk+2k+1k-1k-2f0
0
时域波形离散频谱模函数
（d）单频率谐波离散频谱模函数
图2-2单频率谐波离散频谱的误差产生原因
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显然，当
f=f0时，Y=
A
，Φ=.不存在泄漏情况，得到的幅值、相位和频率都是
2
准确无误差的。
在大多数情况下，当
f≠f0时。
由加窗信号的傅氏分析得到的频率
f、
幅值Y和相位Φ并不是真实值，且有旁瓣产生，这就是所谓的离散频谱的栅栏效应、梳
状效应、能量泄漏和假频等（如图
2-2d所示）。
当信号真实频率位于两个相邻离散谱线中
间时，即
fK.1=f0.Δfs/2，
fK
=f0+Δfs/2（这里
Δfs为频率分辩率）时，求得的信号幅值、相位和频率的误差最大。
§2.3离散频谱信号的窗谱校正方法
假设加窗信号的频谱主瓣中心为
f（即为信号的真实频率），信号幅值为
A0；加窗
信号FFT结果的频谱中，最高的频谱频率（0）为f，高度为Y；次高谱线频率为f2，高度为
Y2。
显然，
f和
f相差仅为一个频率分辨率
（1），对此归
（1）一化后，即有f1=f2±1。
当
f1>f2时取“+
（1）”号
（2）；当
f1加窗信号的频谱由窗频谱对信号真实频
谱调制而得到，因而可利用窗函数的频谱图形对傅氏分析结果进行校正，以求出真实的
频率、幅值和相位
[65][67]
。
（1）频率校正
0
WWxyf+1
f
f+1fΔΔΔΔ0
yyxyf+1
f
f+1ff0
A
图2-3窗函数的频谱函数图2-4频率和幅值的校正
频率校正即求出信号幅值谱图上窗谱主瓣中心所处的横坐标
f0。
设窗函数的频谱函
数为
Wfff，其窗谱函数为
（），
W（）对称于
Y轴（如图
2-3所示）。
对于任一
ΔWf（Δ），相应的信号离散频谱幅值为
y；对于处于Y轴右侧的
Δf+1谱线，其窗谱函
数为Wf1，相应的信号离散频谱为
yf+1（1、
yf和
yf+1
（Δ+）（Δ+）
幅值（f）；由WfΔ）、Wf
可求出
Δf的值，即求出了频率修正量
Δffff
=.0。
由于W（）的函数表达式为已知，
可构成一函数：
WfΔ）yf
（
mFf
=
（Δ）==
..........................................................................（2.11）
Wf+1）y
（.
f+1
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m为窗谱主瓣中心两旁相隔为1的两谱线幅值比值，为
f的函数，求上式的反函数：
ΔfG=
m
（）...............................................................................................................（2.12）
=
这样便可得到频率修正量
Δf
ff.
0。
在实际计算中，主瓣中心位于信号真实频率
f0处。
在图2-4中
yf和
yf+1是幅值谱主
瓣内谱峰左侧和右侧的谱线，将
m=
yf
代入式（2.12）可求出谱线修正量
Δf。
频率校正
y
f+1
结果为∶
f0=（f..
）s/
ff
N.............................................................................................（2.13）
N为分析长度，
fs为采样频率。
可将
ΔfG（）m称为频率校正函数，对于不同的窗
=
函数，其Gv
（）是不同的。
如果在同样的采样频率和同样的信号分析样本长度的情况下，
对加窗信号的频域抽样位置也就确定下来了，由于信号频率
f0的位置固定，即信号频域
峰值位置固定，则可得不管信号加了何种窗，所产生的频率误差都是一样的。
（2）幅值校正
设窗函数的频谱模函数为Wf
（），则图2-4中主瓣函数为∶
yAW（.
0）
=.
xf
...................................................................................................（2.14）
这就是信号频谱与窗函数卷积的结果，式中，
A为真实幅值，对应主瓣中心
f0，现
将
yyf,xf代入式得∶
==
y
AW（ff
.
f=.
0）................................................................................................（2.15）
.=
f
y
式中，
ff
0Δ，故可解出幅值A的值。
A=
f
.............................................................................................................（2.16）
Wf
（.
）
（3）相位校正
频谱分析所用窗函数都不是对称于Y轴，要向右平移
N/2点，其频谱函数相对于Y
轴来说有一相移因子
e
.jNω/2，其相位角∶
φ=.Nω/2............................................................................................................（2.17）
ω与谱线
f的关系为∶
ω=2π
f/N...........................................................................................................（2.18）
将上式代入式（2.17）可得∶
φ=.π
f.................................................................................................................（2.19）
这表明窗函数的相位是线性相位（图2-5所示）。
信号频谱函数与窗函数的频谱作复卷积时为复数相乘，此时相位相加。
由图2-5可看
出，频率误差为半个谱线时，相位误差为最大可达900，显然经
FFT得到的信号实部与虚
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部所得到的相位如不加校正是不能用的。
由式
（2.12）得到的频率修正量后，相位修正量
为∶
Δφ
=.Δf
π
.............................................................................................................（2.20）
当加窗信号经FFT后，得到的相位.'时，则其真实相位角为∶
φ=+.'Δφ
................................................................................................................（2.21）
从这可看出，如果所加窗为对称窗，不论窗函
φ
数是简单的还是复杂的，对加窗信号进行傅氏分析
900时，泄漏所产生的相位误差与频率误差都成线性关
系。
因此，对不同的对称窗，加窗信号的幅值误差
.0.50.5
f
可能不同，但由频率校正可知，所有加窗信号的相
位误差是相同的。
-900
从上面的分析可看出上述的校正方法的实质是
图2-5窗函数的相位利用归一化后窗函数幅值谱的主瓣中心两旁差值为
一个频率分辨率
Δfs的两条谱线的高度建立一个以
修正频率为变量的方程，解出修正频率，进而对其相应的信号幅值和相位进行修正。
这
一修正方程建立在所加窗函数的频谱公式（即窗谱图形）之上，因此称这一修正方法为
窗谱校正方法。
下面以矩形窗和汉宁（Hanning）窗的较正为例进行窗谱校正方法的具体分析：
1、矩形窗
在频谱分析中，矩形窗的定义
[78]
为：
Wn
=
1,n
=
012,1.................................................................................（2.22）
（）,,...
N
.
其频谱函数为：
Nω
Sin
N
.1
.
j
ω
2
ω
.......................................................................................（2.23）
W（）=
e
2
ω
Sin
2
则频谱函数的模为式（2.24），其波形图如图2-6（a）所示
Nω
Sin
2
ω
...................................................................................................（2.24）
W0（）=
ω
Sin
2
相应的相位为：
N
.
1
.=.
ω
.........................................................................................................（2.25）
2
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从矩形窗频谱模函数波形图可看出主瓣宽度为
4π
，为归一化后的频率分辨率
Δfs的
N
两倍。
由此可知在主瓣内谱线的位置及条数有如下两种情况：
（1）只有一条谱线。
此时谱线正好落在主瓣中心上，显然没有泄漏发生。
（2）主瓣内有两条谱线，且落在主瓣中心的两边，这时有泄漏发生。
对于这一情况作
如下推导：
N2πN.2πN4πN.4πN0
ωW0（）ω012-1-21yyxy1
2
ΔxΔx-1
（a）矩形窗频谱模图形（b）归一化矩形窗频谱模图形
图
2-6矩形窗频谱模图形与其校正方法
由于信号加窗截取后的DFT结果为信号频谱和窗函数频谱在频域中的卷积。
相当于
将窗函数频谱主瓣中心平移至信号的各频率点后，在频率分辨率整数倍的横坐标点上抽
样而得到DFT结果
[78]
。
利用这可进一步简化以下的推导：
由于谱线分辨率为2Nπ
，令ω=
2
N
π
x，代入式（2.24）即可得：
Sinπ.
x
Wx
.....................................................................................................（2.26）
（）=
π.
x
Sin
N
由式（2.24）可得图2-6（b），因此可设谱线处于
Δx和
Δx
.1二点，且已知相应的谱线高
度为
y1,y2则有：
Sin（π
.Δx）
y
=
A
..................................................................................................（2.27）
1π
.Δx
Sin（）
N
Sin[（π.
Δx
.
1）]
y
=
A
.........................................................................................（2.28）
2π.
（Δx
.
1）
Sin[]
N
由式（2.27）（2.28）可求得
π
y2.
Sin
N
.1N
Δx
=
tg
.....................................................................................（2.29）
ππ
y
+
y
Cos
12N
当N>>1时，简化式（2.29）可得下面的近似式子：
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y
Δx
=
2............................................................................................................（2.30）
y1+y2
如果信号中有一频率分量，则可看为将窗谱平移至如图
2-7所示的位置，此时的Δx和
Δx.1点变为K，K-1点，则信号的实际频率为：
y
x
=K
.Δx
=K
.
2.....................................................................................（2.31）0y1+y2
0k-1yyxy1
2
ΔxΔx-1）（
K（）
f0
图2-7信号将窗谱平移图形
将式（2.30）代入式（2.27）可得这一频率分量的幅值为：
y
..Δx
π
A0=
1...............................................................................................（2.32）
NSin
（π.Δx
.
）
相应相位的校正结果为：
N
.12π
N
.12π
N
.1
.=.
..x
=.
..（K
.Δx）=.
+π.
.Δx
..........（2.33）
00K
2N
2NN
因此对
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