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1、第二章离散信号频谱的窗谱校正方法华中理工大学博士学位论文 第二章离散信号频谱的窗谱校正方法 -基本理论 2.1 引言利用DFT可以对离散信号进行频谱分析，但是计算工作量相当大，因此，在快速算法没用发明之前，DFT并没用多大的实际意义。直到1965年，Cooley-Tukey在计算数学杂志上首先提出FFT算法之后， DFT才得到广泛的应用。这一快速算法的出现对数字信号分析领域的发展起到了极大的推动作用。从此以后，它作为频谱分析的基础得到了广泛的应用75,76,77,78。由于计算机只能对信号的有限多个样本进行计算，信号的 FFT谱分析也只能在时域信号的有限区间内进行，这就不可避免地存在由于时域截

2、断(加矩形窗)而产生泄漏61，使谱峰值减小，精度降低，求得的信号相位更是面目全非。在数字信号处理中，由 DFT或 FFT得到的幅值谱是离散谱，是信号与窗函数频谱卷积后，按频率分辨率 fs = fs / N ( fs为信号采样频率，N为分析信号样本长度)等间隔频域抽样的结果（如图 21所示）78。 A幅值f图2-1 频谱抽样的离散谱线如果周期信号的频率正好表2-1 离散频谱幅值、相位和频率误差表落在某一谱线上，经FFT后得矩形窗 Hanning窗 Hamming窗幅值误差（） 0-36.4 0-15.3 0-18.3 相位误差（0） 90 90 90频率误差（Hz） 05fs. 05fs. 05

3、fs. 到的频率、幅值和相位是准确的。在一般情况下，信号频率落于两条相邻谱线之间，由于谱线不在主瓣中心，由峰值谱线反映的频率和幅值都不准10华中理工大学博士学位论文 确，相位误差更大。从理论上分析，加矩形窗时，最大误差可达 36 4.%，即使加其他窗时，也不能完全消除这一影响，在加Hanning窗时，只进行幅值恢复时的最大幅值误差仍高达15 3.%，相位误差将更大，表2-1是离散频谱只进行幅值恢复，不进行其他处理时幅值、相位和频率误差141。 2.2 单频谐波的频谱分析误差产生原因无限长信号 x()t（如振动信号、噪声信号等）的频谱分析所采用的方法为对信号进行截取，然后再对截取得到的有限长度信

4、号进行频谱分析。窗函数 wt()的作用就相当于对无限长的信号开一窗口，从窗口中取出一段数据，从而完成信号的截取。窗函数都是选择实偶函数，并在时域上将窗函数的中心放于被分析的那段信号的中心。加窗信号的傅氏变换为： Fx. () ()() 2 dt.(2.1) () twtxtwteTTjft=.() .其中，wtT()由对称窗wt()在时间上平移T/2得到，即 T() t.T/) wt=w( 2 .(2.2) 设wt()的傅氏变换（如图2-2a） Fwt =W( f( ) ) .(2.3) 根据傅氏变换的奇偶性质，当wt()是实偶函数时，Wf()此时也为实偶函数。又由傅氏变换的时移特性可知（如图

5、2-2b）， Fw t =Wfe () jfT T( ) .(2.4) 设有一周期信号 x()t=ACos(2.f0 .t+.),则其傅氏变换结果为（如图2-2c）： A .j. Aj.() 0 .f0 ) .(2.5) Xf =.e .(f +f) +.e .(f 22 根据卷积定理，加窗后的谐波信号 x()twt.T()的傅氏变换可表示为(图2-2d)： Xf () =Fxt w t T( ) =Fxt () Fw t ( ) T () . T （这里“*”表示卷积） AA.jj . . . j fT = .e .( + ) +.e .( .Wfe ff ff ) () 0022 A. +

6、 )+. AjTf f 0).jTf f . . (0 (=.Wf fe + ) +. ( . )( Wf fe . .(2.6) 0022 由此可知，在加窗信号的傅氏分析中，当 ff0时，将存在泄漏情况。此时的幅值及相位分别为： AY=.Wf f ( . 0 ) .(2.7) 2 =. . Tf( .f +.(2.8) 0) 11华中理工大学博士学位论文 对窗长度T = N /fs 作归一化处理，则T = 1，且令f = f . f0代入上面两式可得： A (. ) =.f +. .(2.10) Y = 2 .Wf .(2.9) W ( f )w () Ttt f-T/2 T/2 1.1/0

7、.2/2/1/时域波形窗谱模函数 (a)对称矩形窗函数的时域波形和频谱模函数 wtT ()1 t 0T T .2/.1/0 2/1/W()fTf时域波形窗谱模函数 (b)实际窗函数的时域波形和频谱模函数 T0 Ax(t) t X ( f )A/2A/2 f -f 0 f00 时域波形傅里叶变换模函数 (c)单频率谐波的时域波形和频谱模函数 A xtT( ) 0 T t Y n yKyK.1 k k+2k+1k-1k-2 f00 时域波形离散频谱模函数 (d)单频率谐波离散频谱模函数图2-2 单频率谐波离散频谱的误差产生原因12华中理工大学博士学位论文 显然，当 f=f0时，Y= A ，=.不存

8、在泄漏情况，得到的幅值、相位和频率都是2准确无误差的。在大多数情况下，当 ff0时。由加窗信号的傅氏分析得到的频率 f、幅值Y和相位并不是真实值，且有旁瓣产生，这就是所谓的离散频谱的栅栏效应、梳状效应、能量泄漏和假频等（如图 2-2d所示）。当信号真实频率位于两个相邻离散谱线中间时，即 fK.1 =f0 .fs/2 ， fK =f0 +fs/2 （这里 fs为频率分辩率）时，求得的信号幅值、相位和频率的误差最大。 2.3 离散频谱信号的窗谱校正方法假设加窗信号的频谱主瓣中心为 f（即为信号的真实频率），信号幅值为 A0；加窗信号FFT结果的频谱中，最高的频谱频率(0) 为 f，高度为Y；次高谱

9、线频率为 f2，高度为 Y2。显然， f和 f相差仅为一个频率分辨率(1) ，对此归(1) 一化后，即有 f1 =f2 1。当 f1 f2时取“+(1) ”号(2) ；当 f1 1时，简化式(2.29)可得下面的近似式子：16华中理工大学博士学位论文 yx = 2 .(2.30) y1 +y2 如果信号中有一频率分量，则可看为将窗谱平移至如图 2-7所示的位置，此时的x和 x.1点变为K，K-1点，则信号的实际频率为： yx =K .x =K . 2 .(2.31) 0 y1 +y2 0 k-1yyxy1 2 xx-1)( K( ) f0图2-7 信号将窗谱平移图形将式(2.30)代入式(2.27)可得这一频率分量的幅值为： y .xA0 = 1 .(2.32) NSin (.x. ) 相应相位的校正结果为： N .12 N .12 N .1.=. .x =. .(K .x) =. +. .x .(2.33) 00 K2 N 2 NN 因此对