lnx
（3）设c>1，证明当x∈（0，1）时，1+（c-1）x>cx．
2
4．（2015•北京）设函数f（x）=x
2
-
klnx，k>0．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：
若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，e）上仅有一个零点．
2
0
5．（2020•全国模拟）已知函数f（x）=⎨4e2
⎩
⎪2x
x≥0
x<0
，g（x）=ln（x+a）．
（1）若f（x），g（x）有公共点M，且在点M处有相同的切线，求点M的坐标；
（2）判定函数h（x）=f（x）-g（x）在[0，+∞）上的零点个数．
6．（2020•扬州模拟）已知函数f（x）=a（x-1）（a∈R），g（x）=lnx．
x
（1）当a=l时，解不等式f（x）-g（x）≤0；
（2）设u（x）=xf（x）-g（x）．
①当a<0时，若存在m，n∈（0，+∞）（m≠n），使得u（m）+u（n）=0，证明：
mn<1；
②当a>0时，讨论u（x）的零点个数．
7．（2020•新乡二模）已知函数f（x）=ax-ex（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）讨论f（x）在（0，+∞）上的零点个数．
8．（2020•河南模拟）已知函数f（x）=x2+（2-a）-alnx（a∈R）．
（1）当a=2时，求f（x）的图像在x=1处的切线方程；
（2）当a>3时，求证：
f（x）在[1，+∞）上有唯一零点．
9．（2020•赣州模拟）已知函数f（x）=asinx-lnx（a∈R），其导函数为f'（x）．
（1）若不等式f'（x）≥1-1在区间（0π上恒成立，求实数a的取值范围；
，]
x3
（2）当a=2时，证明：
f'（x）在区间（0
π上有且只有两个零点．
，）2
10．（2020•银川模拟）已知函数f（x）=ax2-x-lnx，其中a∈R．
（1）若函数f（x）在（0，1）内单调递减，求实数a的取值范围；
（2）试讨论函数f（x）的零点个数．
11．（2020•绵阳模拟）已知函数f（x）=ax-（a+2）lnx-2+2，其中a∈R．
x
（1）当a=4时，求函数f（x）的极值；
（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．
12．（2020•烟台一模）已知函数f（x）=1+lnx-a（a∈R）．
x
（1）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围，并证明：
对任意的n∈N*，
都有1+1+1+⋯+1>ln（n+1）；
23n
（2）设g（x）=（x-1）2ex讨论方程f（x）=g（x）实数根的个数．
13．（2020•长春二模）已知函数f（x）=1x3+x2+mx+m．
3
（1）若x1为f（x）的极值点，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求2x1+x2的值；
（2）求证：
当m>0时，f（x）有唯一的零点．
14．（2020•吴兴模拟）已知f（x）=x-1（lnx）2-klnx-1（k∈R）．
22
（1）当k=0时，求证函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）当k>1时，讨论函数f（x）的零点的个数．
15．（2020•全国模拟）已知函数f（x）=-x+lnx，f（x）的最大值为a．
（1）求a的值；
（2）试推断方程|2x（x+alnx）|=2lnx+x是否有实数解？
若有实数解，请求出它的解集．
16．（2020•衡阳一模）若方程
f（x）=x有实数根x0，则称x0为函数
f（x）的一个不动点．已知函数
f（x）=ex-lnx+（a+1）x-alnx（e为自然对数的底数）a∈R．
（1）当a≥0时f（x）是否存在不动点？
并证明你的结论；
（2）若a=-e，求证f（x）有唯一不动点．
17．（2020•密云一模）已知函数f（x）=ex（ax+1），a∈R．
（1）求曲线y=f（x）在点M（0，f（0）），处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）判断函数f（x）的零点个数．
18．（2020•河北模拟）已知函数f（x）=lnx-aex+1（a∈R）．
（1）当a=1时，讨论f（x）极值点的个数；
（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．
19．（2020•榆林模拟）已知函数f（x）=lnx-ax+a，其中a>0．
（1）若f（x）≤0，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的零点个数．
20．（2020•西城一模）设函数f（x）=alnx+x2-（a+2）x，其中a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在（2，f
（2））处切线的倾斜角为π，求a的值；
4
（2）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：
当时，f（x）>-e2．
21．（2020•顺庆月考）已知函数f（x）=lnx+1a（x-1）2
2
（1）当a=-1时，求f（x）的单调增区间；
（2）若a>4，且f（x）在（0，1）上有唯一的零点x0，求证：
e-2
22．（2020•天山月考）已知函数f（x）=（ex-e）ex+ax2，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
23．（2020•麒麟月考）函数f（x）=x2-ax-a2lnx．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点T（1，f
（1））处的切线的方程；
（2）若函数f（x）有零点，求a的取值范围．
24．（2020•临汾模拟）已知函数f（x）=ax4-1x2（a>0），x∈（0，+∞）．
2
（1）若函数y=f'（x）在区间A上单调递减，试探究函数y=f（x），x>x0在区间A上的单调性；
（2）证明：
方程f（x）=f'（x）在（0，+∞）上有且仅有两解．
【例1】（2020•佛山二模）已知函数f（x）=
（1）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
-
sinx（x≥a）．
（2a<-1
f（x）
（0π
xf（x）>
1
-x
）若，证明：
4
在，）有唯一极值点0，且
2
π-2x0
【例2】（2020•佛山二模）已知函数f（x）=αx3+x，其中a∈R．
（1）当a≠0时，求证：
过原点O且与曲线y=f（x）相切的直线有且只有一条；
（2）当x∈[0
π时，不等式f（x）≤tanx恒成立，求实数a的取值范围．
，）2
【例3】（2020•深圳调研）已知函数f（x）=2cos2x+ax2．
（1）当a=1时，求函数f（x）的导函数f'（x）在[-ππ上的零点个数；
，]
22
（2）若关于x的不等式2cos（2sinx）+a2x2≤af（x）在（-∞，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
【例4】（2020•深圳调研）已知函数f（x）=cosx+ax2-a．
4
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（2）当a≥1时，求证：
对任意的x∈[0，2]，f（x）≤0
【例5】（2020•开福月考）已知函数f（x）=eaxsinx．
（1）若f（x）在[0
π上单调递增，求实数a的取值花围；
，]4
（2）设a≥1，若∀x∈[0
π，恒有f（x）≤bx成立，求b-e2a的最小值．
，]2
【例6】（2019•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f'（x）为f（x）的导数．
（1）证明：
f'（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【例7】（2019•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sinx-ln（1+x），f'（x）为f（x）的导数．证明：
（1）f'（x）在区间（-1
π存在唯一极大值点；
，）2
（2）f（x）有且仅有2个零点．
【例8】（2013•辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e
-2x
，g（x）=ax+x
3
2
+1+2xcosx，当x∈[0，1]时，
（1）求证：
1-x≤f（x）≤
1；
1+x
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
【例9】（2008•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=
（1）求f（x）的单调区间；
sinx．
2+cosx
（2）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．
【例10】（2006•湖南）已知函数f（x）=x-sinx，数列{an}满足：
0（1）0（2）a
13．
n+1<6an
【例11】（2020•滨州期末）已知函数f（x）=ex（1+mlnx），其中m>0，f'（x）为f（x）的导函数．设h（x）=
且h（x）≥5恒成立．
2
（1）求m的取值范围；
（2）设函数f（x）的零点为x0，函数f'（x）的极小值点为x1，求证：
x0>x1．
【例12】（2020•茂名一模）设函数g（x）=lnx+aex，h（x）=axex，0e
f'（x），
ex
（1）求g（x）在x=1处的切线的一般式方程；
（2）请判断g（x）与h（x）的图像有几个交点？
（3）设x0为函数g（x）-h（x）的极值点，x1为g（x）与h（x）的图像一个交点的横坐标，且x1>x0，证明：
3x0-x1>2．
【例13】（2019•湖北期末）已知函数f（x）=alnx-（x-1）ex，其中a为非零常数．
（1）讨论f（x）的极值点个数，并说明理由；
（2）若a>e，（i）证明：
f（x）在区间（1，+∞）内有且仅有1个零点；（ii）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）
的零点且x1>1，求证：
x0+2lnx0>x1．
【例14】（2020•永州二模）已知函数f（x）=e1-x（x2+x-1）+1+x，g（x）=（2-x）ex-1-（3-x）ln（3-x）．证明：
（1）存在唯一x0∈（0，1），使f（x0）=0；
（2）存在唯一x1∈（1，2），使g（x1）=0，且对
（1）中的x0，有x0+x1<2．
【例15】（2014•辽宁）函数f（x）=（cosx-x）（π+2x）-8（sinx+1），g（x）=3（x-π）cosx-4（1+sinx）ln（3-2x）
3π
证明：
（1）存在唯一x∈（0π，使f（x）=0；
0，）0
2
（2）存在唯一x∈（π，π），使g（x）=0，且对（Ⅰ）中的x，有x
+x<π．
121
001
【例16】（2020•衡水月考）已知函数f（x）=ex+x-2，g（x）=lnx+x，若x1是函数f（x）的零点，x2是函数g（x）
的零点.
（1）比较x1与x2的大小;
（2）证明:
f（x2）+g（x1）<0.
1.（2020•武汉模拟）
（1）证明函数y=ex-2sinx-2xcosx在区间（-π，-π
上单调递增；
x
（2）证明函数f（x）=e
x
2
-2sinx在（-π，0）上有且仅有一个极大值点x0，且0
2.（2020•淮北一模）已知函数f（x）=sinx-aln（x+1），a∈R，f'（x）是f（x）的导函数．
（1）若a=2，求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若f（x）在ππ上可单调递增，求a的取值范围；
[，]
42
（3）求证：
当0），）
22
3.（2020•开封一模）已知函数f（x）=a
ex
+
sinx，a∈R，e为自然对数的底数．
（1）当a=1时，证明：
∀x∈（-∞，0]，f（x）≥1；
（2）若函数f（x）在（-π，0）上存在极值点，求实数a的取值范围．
2
4.（2020•开封一模）已知函数f（x）=a
ex
+sinx，a∈R，e为自然对数的底数．
（1）当a=1时，证明：
∀x∈（-∞，0]，f（x）≥1；
（2）若函数f（x）在（-π，0）上存在极值点，求实数a的取值范围．
2
5.（2019•荔湾月考）已知函数f（x）=sinx，g（x）=x⋅cosx-sinx．
x
（1）判断函数g（x）在区间（0，3π）上零点的个数；
（2）函数f（x）在区间（0，+∞）上的极值点从小到大分别为x1，x2，x3，x4，xn，证明：
（i）f（x1）+f（x2）<0；
（ii）对一切n∈N*，f（x1）+f（x2）+f（x3）++f（xn）<0成立．
6.（2019•沙坪坝月考）已知函数f（x）=ex（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数．
（1）设g（x）=e-xf（x）+x2-x在区间[1，2]上单调递增，求a
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