第五篇专题2 跨阶找点.docx

1、第五篇专题2 跨阶找点专 题 贰 太 极 拳 跨 阶 找 点若超越函数存在不可求零点，通常我们寻找这个零点，需要用到二分法来卡点：当 a x0 b 时，一定有 f (a) f (b) 0 ，这样说明 y = f (x) 在区间(a ，b) 内一定有一个零点这是一个被神话的玩意，我们连隐零点都能跳过，至于找点，当然会有巧妙绕过的方案如果你的切线和同构功底足够，根本无须害怕找点， 因为研究导数，本来就是循序渐进，没必要一下子很突兀，让人觉得晦涩难懂ATM 找点，其实就是一种逆向思维来说明，脑海里多装几个函数图像，参变分离瞬间找到最值，一切迎刃而解【例 1】(2020邯郸模拟)已知关于的函数 f (

2、x) = ax - a (a 0)ex（1）当 a = -1时，求函数 f (x) 的极值；（2）若函数 F (x) = f (x) + 1 没有零点，求实数 a 的取值范围【例 2】(2020湖南师大附中)已知函数 f (x) = 1x2（1）讨论函数 f (x) 的单调性；+a ln x(a R) （2）若 x ， x ( x x)是 f (x) 的两个零点，证明： 2a ln(x- x + e ) + 1 0 1 2 1 22 1 a【例 1】讨论函数 f (x) = ex - ax 的零点个数【例 2】讨论函数 f (x) = ln x - ax 的零点个数【例 3】讨论函数 f (x

3、) = ln x - a 的零点个数x【例 4】讨论以下找点问题与之同构母函数的关系（1）讨论 f (x) = e2x - mx 的零点个数；（2）讨论 f (x) = ln x - m的零点个数；（3）讨论 f (x) = x - aex的零点个数；（4）已知 f (x) = xex - m 的零点个数；（5）已知 f (x) = x3 ln x - m 的零点个数【例 5】（2017新课标改编）已知 f (x) = ae2x + (a - 2)ex - x(0 a 0 【例 6】已知 f (x) = ln x - ax + 1(a 0) ，寻找 x0 ，使得 f (x0 ) 0) 【例 8

4、】判断函数 f (x) = ln x - a(x - 1 ) 的零点个数x【例 9】(2018新课标 II)已知函数 f (x) = 1 x3 - a(x2 + x + 1) 3（1）若 a = 3，求 f (x) 的单调区间；（2）证明： f (x) 只有一个零点【例 10】(2020新课标)已知函数 f (x) = e x - a(x + 2) （1）当 a = 1时，讨论 f (x) 的单调性；（2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围【例 11】(2018新课标)已知函数 f (x) = ex - ax2 （1）若 a = 1，证明：当 x 0 时， f (x) 1；（2）若

5、 f (x) 在(0 ，+ ) 只有一个零点，求 a 【例 12】(2017新课标)已知函数 f (x) = ae2x + (a - 2)ex - x （1）讨论 f (x) 的单调性；（2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围【例 13】(2016新课标)已知函数 f (x) = (x - 2)ex + a(x -1)2 （1）讨论 f (x) 的单调性；（2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围【例 14】（2021安徽六校）已知函数 f (x) = xex - 1 kx2 - kx(k R) 2（1）讨论函数 f (x) 的单调性；（2）讨论函数 f (x) 的零点个

6、数【例 15】（2021广东模拟）已知 f (x) = 1 ln x - ax(a 0) x（1）若函数 f (x) 在 x = e 处的切线平行于 x 轴，求 f (x) 的单调区间；（2）设函数 F (x) =f (x) ，若 F (x) 在(0 ，e) 上有两个零点，求实数 a 的取值范围；x【例 16】（2021广州模拟）已知函数 f (x) = ln x - (a +1)x ， a R （1）讨论 f (x) 的单调性；（2）设 g(x) = f (x) + x + 1，函数 g (x) 有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围【例 17】（2021浙江月考）已知 a 1，函数 f

7、(x) = ex - 1 x2 - ax - 1，其中 e = 2.71828为自然对数的底数2（1）证明：函数 y = f (x) 在(0 ，+ ) 上有唯一零点；（2）记 x0 为函数 y = f (x) 在(0 ，+ ) 上的零点，证明： x0 2时，求证：函数 y = f (x) 的图像与直线l : y = k(x - 1) 有 3 个交点1（2020九师联考）已知函数g(x) = ex - ax2 - ax(a R) ， h(x) = ex - 2x - ln x(1)若f (x) = h(x) - g(x) 讨论函数 f (x) 的单调性;若函数 f (x) 有两个不同的零点，求实

8、数 a 的值(2)已知 a 0 函数 g (x) 恰有两个不同的极值点 x1 ， x2 证明: x1 + x2 ln(4a2 )2（2020湖北联考）已知函数 f (x) = ln x ， g(x) = 2a x3 + 2(1 - a)x2 - 8x + 8a + 7 3(1)当 a = 0 时，求 y = f (x) + g(x) 的单调区间；(2)定义 mina ，b = a ，a b 当 a 0) ，若函数 h(x) 至少有三个零b ，a b点，求实数 a 的取值范围3（2016新课标）设函数 f (x) = lnx - x +1（1）讨论 f (x) 的单调性；（2）证明当 x (1，

9、+ ) 时，1 x -1 1，证明当 x (0 ，1) 时，1+ (c -1)x cx 24（2015北京）设函数 f (x) = x2-k ln x ， k 0 （1）求 f (x) 的单调区间和极值；（2）证明：若 f (x) 存在零点，则 f (x) 在区间(1， e ) 上仅有一个零点2 0 5(2020全国模拟)已知函数 f (x) = 4e22xx 0x 0， g(x) = ln(x + a) （1）若 f (x) ， g(x) 有公共点 M ，且在点 M 处有相同的切线，求点 M 的坐标；（2）判定函数 h(x) = f (x) - g(x) 在0 ，+ ) 上的零点个数6(20

10、20扬州模拟)已知函数 f (x) = a(x - 1 )(a R) ， g(x) = ln x x（1）当 a = l 时，解不等式 f (x) - g(x) 0 ；（2）设u(x) = xf (x) - g(x) 当 a 0 时，若存在 m ， n (0 ，+ )(m n) ，使得u(m) + u(n) = 0 ，证明： mn 0 时，讨论u(x) 的零点个数7(2020新乡二模)已知函数 f (x) = ax - e x (a R) （1）讨论 f (x) 的单调性；（2）讨论 f (x) 在(0 ，+ ) 上的零点个数8(2020河南模拟)已知函数 f (x) = x2 + (2 -

11、a) - a ln x(a R) （1）当 a = 2 时，求 f (x) 的图像在 x = 1处的切线方程；（2）当 a 3 时，求证： f (x) 在1，+ ) 上有唯一零点9(2020赣州模拟)已知函数 f (x) = a sin x - ln x(a R) ，其导函数为 f (x) （1）若不等式 f (x) 1 - 1 在区间(0 上恒成立，求实数 a 的取值范围；， x 3（2）当 a = 2 时，证明： f (x) 在区间(0 上有且只有两个零点， ) 210(2020银川模拟)已知函数 f (x) = ax2 - x - ln x ，其中 a R （1）若函数 f (x) 在(

12、0 ，1) 内单调递减，求实数 a 的取值范围；（2）试讨论函数 f (x) 的零点个数11(2020绵阳模拟)已知函数 f (x) = ax - (a + 2) ln x - 2 + 2 ，其中 a R x（1）当 a = 4 时，求函数 f (x) 的极值；（2）试讨论函数 f (x) 在(1，e) 上的零点个数12(2020烟台一模)已知函数 f (x) = 1 + ln x - a(a R) x(1)若 f (x) 0 在(0 ，+ ) 上恒成立，求 a 的取值范围，并证明：对任意的 n N* ，都有1 + 1 + 1 + + 1 ln(n + 1) ；2 3 n(2) 设 g(x)

13、= (x -1)2 ex 讨论方程 f (x) = g(x) 实数根的个数13(2020长春二模)已知函数 f (x) = 1 x3 + x2 + mx + m 3（1）若 x1 为 f (x) 的极值点，且 f (x1) = f (x2 )(x1 x2 ) ，求 2x1 + x2 的值；（2）求证：当 m 0 时， f (x) 有唯一的零点14(2020吴兴模拟)已知 f (x) = x - 1 (ln x)2 - k ln x - 1 (k R) 2 2（1）当 k = 0 时，求证函数 f (x) 在(0 ，+ ) 上单调递增；（2）当 k 1时，讨论函数 f (x) 的零点的个数15(

14、2020全国模拟)已知函数 f (x) = -x + ln x ， f (x) 的最大值为 a （1）求 a 的值；（2）试推断方程| 2x(x + a ln x) |= 2 ln x + x 是否有实数解？若有实数解，请求出它的解集16 (2020 衡阳一模) 若方程f (x) = x 有实数根 x0 ， 则称 x0 为函数f (x) 的一个不动点 已知函数f (x) = ex-ln x + (a + 1)x - a ln x （ e 为自然对数的底数） a R （1）当 a 0 时 f (x) 是否存在不动点？并证明你的结论；（2）若 a = -e ，求证 f (x) 有唯一不动点17(2

15、020密云一模)已知函数 f (x) = ex (ax +1) ， a R （1）求曲线 y = f (x) 在点 M (0 ，f (0) ，处的切线方程；（2）求函数 f (x) 的单调区间；（3）判断函数 f (x) 的零点个数18(2020河北模拟)已知函数 f (x) = lnx - aex + 1(a R) （1）当 a = 1时，讨论 f (x) 极值点的个数；（2）若函数 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围19(2020榆林模拟)已知函数 f (x) = ln x - ax + a ，其中 a 0 （1）若 f (x) 0 ，求 a 的值；（2）讨论函数 f (x) 的零

16、点个数20(2020西城一模)设函数 f (x) = a ln x + x2 - (a + 2)x ，其中 a R （1）若曲线 y = f (x) 在(2，f (2) 处切线的倾斜角为 ，求 a 的值；4（2）已知导函数 f (x) 在区间(1，e) 上存在零点，证明：当时， f (x) -e2 21(2020顺庆月考)已知函数 f (x) = ln x + 1 a(x -1)22（1）当 a = -1时，求 f (x) 的单调增区间；（2）若a 4 ，且 f (x) 在(0 ，1) 上有唯一的零点 x0 ，求证： e-2 x0 0) ， x (0 ，+ ) 2（1）若函数 y = f (x

17、) 在区间 A 上单调递减，试探究函数 y = f (x) ， x x0 在区间 A 上的单调性；（2）证明：方程 f (x) = f (x) 在(0 ，+ ) 上有且仅有两解【例 1】(2020佛山二模)已知函数 f (x) =（1）若 f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围；-sin x(x a) （2 a 1- x）若 ，证明：4在 ， ) 有唯一极值点 0 ，且2- 2x0【例 2】(2020佛山二模)已知函数 f (x) = x3 + x ，其中 a R （1）当 a 0 时，求证：过原点O 且与曲线 y = f (x) 相切的直线有且只有一条；（2）当 x 0 时，不等式 f

18、(x) tan x 恒成立，求实数 a 的取值范围， ) 2【例 3】(2020深圳调研)已知函数 f (x) = 2cos2 x + ax2 （1）当 a = 1 时，求函数 f (x) 的导函数 f (x) 在- 上的零点个数；， 2 2（2）若关于 x 的不等式 2 cos(2sin x) + a2 x2 af (x) 在(- ，+ ) 恒成立，求实数 a 的取值范围【例 4】(2020深圳调研)已知函数 f (x) = cos x + a x2 - a 4（1）当 a = 1时，求曲线 y = f (x) 在点(，f () 处的切线方程；（2）当 a 1时，求证：对任意的 x 0 ，2

19、 ， f (x) 0【例 5】(2020开福月考)已知函数 f (x) = eax sin x （1）若 f (x) 在0 上单调递增，求实数 a 的取值花围；， 4（2）设 a 1，若x 0 ，恒有 f (x) bx 成立，求b - e2a 的最小值， 2【例 6】(2019新课标)已知函数 f (x) = 2sin x - x cos x - x ， f (x) 为 f (x) 的导数（1）证明： f (x) 在区间(0 ，) 存在唯一零点；（2）若 x 0 ， 时， f (x) ax ，求 a 的取值范围【例 7】(2019新课标)已知函数 f (x) = sin x - ln(1 +

20、x) ， f (x) 为 f (x) 的导数证明：（1） f (x) 在区间(-1 存在唯一极大值点；， ) 2（2）f (x) 有且仅有 2 个零点【例 8】(2013辽宁)已知函数 f (x) = (1+ x)e-2x， g(x) = ax + x32+1+ 2x cos x ，当 x 0 ，1 时，（1）求证：1 - x f (x) 1 ；1 + x（2）若 f (x) g(x) 恒成立，求实数 a 的取值范围【例 9】(2008全国卷)设函数 f (x) =（1）求 f (x) 的单调区间；sin x 2+ cos x（2）如果对任何 x 0 ，都有 f (x) ax ，求 a 的取值

21、范围【例 10】(2006湖南)已知函数 f (x) = x - sin x ，数列an满足： 0 a1 1， an+1 = f (an ) ， n = 1， 2 ， 3证明：（1） 0 an+1 an 1；（2） a1 3 n+1 0 ，f (x) 为 f (x) 的导函数设 h(x) =且 h(x) 5 恒成立2（1）求 m 的取值范围；（2）设函数 f (x) 的零点为 x0 ，函数 f (x) 的极小值点为 x1 ，求证： x0 x1 【例 12】(2020茂名一模)设函数 g(x) = lnx + aex ， h(x) = axex ， 0 a x0 ， 证明： 3x0 - x1 2

22、 【例 13】（2019湖北期末）已知函数 f (x) = alnx - (x -1)ex ，其中 a 为非零常数（1）讨论 f (x) 的极值点个数，并说明理由；（2）若 a e ， (i) 证明： f (x) 在区间(1，+ ) 内有且仅有 1 个零点； (ii) 设 x0 为 f (x) 的极值点， x1为 f (x)的零点且 x1 1 ，求证： x0 + 2lnx0 x1 【例 14】（2020永州二模）已知函数 f (x) = e1-x (x2 + x -1) +1+ x ， g(x) = (2 - x)ex-1 - (3 - x)ln(3 - x) 证明：（1）存在唯一 x0 (0

23、 ，1) ，使 f (x0 ) = 0 ；（2）存在唯一 x1 (1，2) ，使 g(x1) = 0 ，且对(1)中的 x0 ，有 x0 + x1 2 【例 15】(2014辽宁)函数 f (x) = (cos x - x)(+ 2x) - 8 (sin x + 1) ， g(x) = 3(x -) cos x - 4(1 + sin x) ln(3 - 2x ) 3 证明：（1）存在唯一 x (0 ，使 f (x ) = 0；0 ， ) 02（2）存在唯一 x (，) ，使 g(x ) = 0 ，且对()中的 x ，有 x+ x 1 2 10 0 1【例 16】(2020衡水月考)已知函数

24、f (x) = ex + x - 2，g(x) = ln x + x ，若 x1是函数 f (x) 的零点，x2 是函数 g (x)的零点.（1）比较 x1与 x2 的大小;（2）证明: f (x2 ) + g(x1) 0.1.(2020武汉模拟)(1)证明函数 y = ex - 2sin x - 2x cos x 在区间(-，- 上单调递增；x(2)证明函数 f (x) = ex2-2sin x 在(-，0) 上有且仅有一个极大值点 x0 ，且0 f (x0 ) 2 2.(2020淮北一模)已知函数 f (x) = sin x - aln(x + 1) ， a R ， f (x) 是 f (

25、x) 的导函数 (1)若 a = 2 ，求 f (x) 在 x = 0 处的切线方程； (2)若 f (x) 在 上可单调递增，求 a 的取值范围； ， 4 2 (3)求证：当0 a (1 + 2 时 f (x) 在区间(-1 内存在唯一极大值点) ， )2 23.(2020开封一模)已知函数 f (x) = aex+sin x ， a R ， e 为自然对数的底数(1)当 a = 1时，证明： x (- ，0， f (x) 1； (2)若函数 f (x) 在(-，0) 上存在极值点，求实数 a 的取值范围24.(2020开封一模)已知函数 f (x) = aex+sin x ， a R ，

26、e 为自然对数的底数(1)当 a = 1时，证明： x (- ，0， f (x) 1； (2)若函数 f (x) 在(-，0) 上存在极值点，求实数 a 的取值范围25.(2019荔湾月考)已知函数 f (x) = sin x ， g(x) = x cos x - sin x x(1)判断函数 g(x) 在区间(0 ，3) 上零点的个数；(2)函数 f (x) 在区间(0 ，+ ) 上的极值点从小到大分别为 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， xn ， 证明： (i) f (x1) + f (x2 ) 0 ；(ii) 对一切 n N * ， f (x1) + f (x2 ) + f (x3 ) + + f (xn ) 0 成立6.(2019沙坪坝月考)已知函数 f (x) = ex (1 + a ln x) ，设 f (x) 为 f (x) 的导函数(1)设 g(x) = e-x f (x) + x2 - x 在区间1，2上单调递增，求 a