中考数学一轮复习之针对训练三角形的突破含答案.docx

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中考数学一轮复习之针对训练三角形的突破含答案

2020年数学一轮复习之针对训练：

三角形的突破

1．如图，在直角三角形ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝60°，CD是角平分线，在CB上截取CE＝CA．

（1）求证：

DE＝BE；

（2）若AC＝1，AD＝

﹣1，试求△ABC的面积．

2．已知，如图，点P是等边△ABC内一点，以线段AP为边向右边作等边△APQ，连接PQ、QC．

（1）求证：

PB＝QC；

（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．

3．八年级

（2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：

①测得BD的长为15米（注：

BD⊥CE）；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝

线BC的长为25米；

③牵线放风筝的小明身高1.6米．

（1）求风筝的高度CE．

（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH、DH．

4．如图1，平面内，AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE．

（1）求证：

BE＝CD；

（2）当∠CAB＝∠DAE＝90°时，取BE，CD的中点分别为M，N，连接AM，AN，MN，如图2，判断△AMN的形状，并加以证明．

5．在△ABC中，BD⊥AC于点D，P为BD上的点，∠ACP＝45°，AP＝BC．

（1）求证：

①AD＝BD；②AP⊥BC．

（2）延长CP交AB于点M，求证：

CP+2BM＝AB．

6．如图，在△ABC中，点M在AB上，CN∥AB，BM＝CN，MN交BC于点D，过点D作BC的垂线交AB于点P，连接PC．

（1）求证：

PB＝PC；

（2）连接PN交BC于点E，已知∠CNP＝2∠CPN，求证：

EN＝PM．

7．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）问题提出：

如图1，若AD＝AE，AB＝AC．

①∠ABD与∠ACE的数量关系为　∠ABD＝∠ACE　；

②∠BPC的度数为　90°　．

（2）猜想论证：

如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，则

（1）中的结论是否成立？

请说明理由．

8．如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．

（1）PC＝　（10﹣2t）　cm（用含t的代数式表示）．

（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？

若存在，请求出口的值；若不存在，请说明理由．

9．已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上以acm/的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒，

（1）CP的长为　（10﹣4t）　cm（用含t的代数式表示）

（2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值

10．如图所示，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4）．

（I）如图①，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；

（II）如图②，在（I）的条件下，连接OH，求∠OHC的度数；

（III）如图③，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？

如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

11．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上．

（1）如图1，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC互相垂直，则S△DEF+S△CEF＝

S△ABC，求当S△DEF＝S△CEF＝2时，AC边的长；

（2）如图2，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，S△DEF+S△CEF＝

S△ABC，是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系；

（3）如图3，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上，S△DEF+S△CEF＝

S△ABC是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系．

12．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】

（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　DE　，BC＝　AE　．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

【模型应用】

（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：

点G是DE的中点；

②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．

13．在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．

（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝　40　°，若△AMN的周长为9，则BC＝　9　．

（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：

BM2+CN2＝MN2；

（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．

14．已知：

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E是射线CB上的动点，连接DE，DF⊥DE交射线AC于点F．

（1）若点E在线段CB上．

①求证：

AF＝CE．

②连接EF，试用等式表示AF、EB、EF这三条线段的数量关系，并说明理由．

（2）当EB＝3时，求EF的长．

15．定义：

两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在△ABC中，若AB2+AC2﹣AB•AC＝BC2，则△ABC是“和谐三角形”．

（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是　真　命题（填“真”或“假”）．

（2）若Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若△ABC是“和谐三角形”，求a：

b：

c．

（3）如图2，在等边三角形AB

C的边AC，BC上各取一点D，E，且AD＜CD，AE，BD相交于点F，BG是△BEF的高，若△BGF是“和谐三角形”，且BG＞FG．

①求证：

AD＝CE．

②连结CG，若∠GCB＝∠ABD，那么线段AG，FE，CD能否组成一个“和谐三角形”？

若能，请给出证明：

若不能，请说明理由．

答案与解析

1．如图，在直角三角形ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝60°，CD是角平分线，在CB上截取CE＝CA．

（1）求证：

DE＝BE；

（2）若AC＝1，AD＝

﹣1，试求△ABC的面积．

证明：

（1）已知CD是角平分线，

∴∠ACD＝∠ECD

在△ACD和△ECD中：

，

∴△ACD≌△ECD（SAS），

∴∠CAD＝∠CED＝60°，

又∵∠B＝90°﹣60°＝30°，

∴∠EDB＝30°，

∴DE＝BE，

（2）解：

∵△ACD≌△ECD，

∴CE＝AC＝1，DE＝AD＝

，

又∵DE＝BE，

∴BE＝

，

∴BC＝CE+BE＝

，

∴S△ABC＝

＝

．

2．已知，如图，点P是等边△ABC内一点，以线段AP为边向右边作等边△APQ，连接PQ、QC．

（1）求证：

PB＝QC；

（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．

（1）证明：

∵△APQ，

∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，

∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC，

∴∠BAP＝∠CAQ，

在△BAP和△CAQ中

，

∴△BAP≌△CAQ（SAS），

∴PB＝QC；

（2）解：

∵△APQ是等边三角形，

∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°，

∵∠APB＝150°，

∴∠PQC＝150°﹣60°＝90°，

∵PB＝QC，

∴QC＝4，

∴△PQC是直角三角形，

∴PC＝

＝

＝5．

3．八年级

（2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：

①测得BD的长为15米（注：

BD⊥CE）；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝

线BC的长为25米；

③牵线放风筝的小明身高1.6米．

（1）求风筝的高度CE．

（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH、DH．

解：

（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得

（米）．

所以CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）；

（2）由

得

，

在Rt△BHD中，

．

4．如图1，平面内，AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE．

（1）求证：

BE＝CD；

（2）当∠CAB＝∠DAE＝90°时，取BE，CD的中点分别为M，N，连接AM，AN，MN，如图2，判断△AMN的形状，并加以证明．

证明：

（1）∵∠CAB＝∠DAE，

∴∠EAB＝∠DAC，且AC＝AB，AD＝AE，

∴△DAC≌△EAB（SAS）

∴BE＝CD；

（2）△AMN是等腰直角三角形，

理由如下：

由

（1）可知：

△DAC≌△EAB，

∴∠ADC＝∠AEB，BE＝CD，

∵M，N是BE，CD中点，

∴DN＝EM，且AD＝AE，∠AEB＝∠ADC，

∴△ADN≌△AEM（SAS）

∴AM＝AN，∠DAN＝∠EAM，

∴∠EAD＝∠MAN＝90°，

∴△AMN是等腰直角三角形．

5．在△ABC中，BD⊥AC于点D，P为BD上的点，∠ACP＝45°，AP＝BC．

（1）求证：

①AD＝BD；②AP⊥BC．

（2）延长CP交AB于点M，求证：

CP+2BM＝AB．

证明：

（1）①∵BD⊥AC，∠ACP＝45°，

∴∠DPC＝∠DCP＝45°，

∴CD＝DP，且AP＝BC，

∴Rt△ADP≌Rt△CDB（HL），

∴AD＝BD；

②延长AP交BC于E，

∵Rt△ADP≌Rt△CDB，

∴∠DAP＝∠CBD，

∵∠BCD+∠CBD＝90°，

∴∠BCD+∠DAP＝90°，

∴∠AEC＝90°，

∴AP⊥BC；

（2）∵∠ADB＝90°，AD＝BD，

∴∠D

BA＝∠DAB＝45°，

∵∠DPC＝∠BPM＝45°，

∴∠PMB＝∠PMA＝90°，PM＝MB，

∵∠DAB＝∠ACM＝45°，

∴AM＝CM，

∵AB＝AM+MB＝CM+MB，

∴CP+MP+MB＝AB，

∴CP+2BM＝AB．

6．如图，在△ABC中，点M在AB上，CN∥AB，BM＝CN，MN交BC于点D，过点D作BC的垂线交AB于点P，连接PC．

（1）求证：

PB＝PC；

（2）连接PN交BC于点E，已知∠CNP＝2∠CPN，求证：

EN＝PM．

证明：

（1）∵CN∥AB，

∴∠B＝∠

BCN，∠BMD＝∠CND，且BM＝CN，

∴△BMD≌△CND（ASA）

∴BD＝CD，且PD⊥BC，

∴PB＝PC；

（2）如图，在PC上取点F，使CF＝CN，连接EF，

∵PB＝PC，

∴∠PCB＝∠B，

∴∠PCB＝∠NCB，且CF＝CN，CE＝CE，

∴△CEN≌△CEF（SAS），

∴EN＝EF，∠CNP＝∠CFE，

∵∠CFE＝∠CPN+

∠PEF，∠CNP＝2∠CPN，

∴∠CPE＝∠PEF，

∴PF＝EF，

∴EN＝EF＝PF，

∵BP＝PC，BM＝CN＝CF，

∴PM＝PF＝EN．

7．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）问题提出：

如图1，若AD＝AE，AB＝AC．

①∠ABD与∠ACE的数量关系为　∠ABD＝∠ACE　；

②∠BPC的度数为　90°　．

（2）猜想论证：

如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，则

（1）中的结论是否成立？

请说明理由．

解：

（1）①∵∠BAC＝∠DAE＝90°

∴∠BAD＝∠CAE，且AD＝AE，AB＝AC，

∴△ACE≌△ABD（SAS）

∴∠ABD＝∠ACE，

故答案为：

∠ABD＝∠ACE；

②∵∠BAC＝90°，

∴∠ACE+∠PCB+∠ABC＝90°，

∴∠APB+∠ABC+∠PCB＝90°，

∴∠BPC＝90°，

故答案为：

90°；

（2）

（1）中结论成立，

理由如下：

在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，

∴AB＝

AC，

在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，

∴AD＝

AE，

∴

，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，且

，

∴△ADB∽△AEC，

∴∠ABD＝∠ACE；

∵∠BPC＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP＝180°﹣30°﹣（∠BCP+∠ACE），

∴∠BPC＝90°．

8．如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．

（1）PC＝　（10﹣2t）　cm（用含t的代数式表示）．

（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？

若存在，请求出口的值；若不存在，请说明理由．

解：

（1）BP＝2t，则PC＝10﹣2t；

故答案为（10﹣2t）；

（2）存在．

分两种情况讨论：

①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ．

因为AB＝6，所以PC＝6．

所以BP﹣10﹣6＝4，即2t＝4．

解得t＝2．

因为CQ＝BP＝4，v×2＝4，所以v＝2．

②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP．

因为PB＝PC，

所以BP＝PC＝

BC＝5，即2t＝5．

解得t＝2.5．

因为CQ＝BA＝6，即v×2.5＝6，解得v＝2.4．

综上所述，当v＝2.4或2时，△ABP与△PQC全等．

9．已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上以acm/的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒，

（1）CP的长为　（10﹣4t）　cm（用含t的代数式表示）

（2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值

解：

（1）PC＝BC﹣BP＝（10﹣4t）cm；

故答案为：

（10﹣4t）；

（2）①若△EBP≌△PCQ

则EB＝PC＝6，即BP＝CQ＝4，t＝1

得：

a＝4；

②若△EBP≌△QCP

则EB＝CQ＝6，BP＝CP＝5，则t＝

得：

，

解得：

a＝

．

10．如图所示，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4）．

（I）如图①，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；

（II）如图②，在（I）的条件下，连接OH，求∠OHC的度数；

（III）如图③，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？

如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

解：

（I）由题意，OA＝OB＝4，

∵∠AHC＝90°，∠BOC＝90°，

∴∠CAH＝∠CBO，

在△OAP和△OBC中，

，

∴△OAP≌△OBC（ASA），

∴OP＝OC＝1，

则点P的坐标为（0，﹣1）；

（II）如图②，过O分别作OM⊥BC于M，作ON⊥AH于N，

则四边形MONH为矩形，

∴∠MON＝90°，

∵∠COP＝90°，

∴∠COM＝∠PON，

在△COM和△PON中，

，

∴△COM≌△PON（AAS）

∴OM＝ON，又OM⊥BC，作ON⊥AH，

∴HO平分∠MHN，

∴∠OHC＝

∠MHN＝45°；

（III）式子S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于4．

理由如下：

如图③，连接OD，

∵∠AOB＝90°，OA＝OB，点D为AB的中点，

∴OD⊥AB，OD＝AD＝BD＝，∠OAB＝45°，

∴∠BOD＝45°，

∴∠MOD＝135°，

∴∠MOD＝∠NAD＝135°，

∵∠ODA＝90°，∠MDN＝90°，

∴∠MDO＝∠NDA，

在△MOD和△NAD中，

，

∴△MOD≌△NAD（ASA）

∴S△MDO＝S△NDA，

∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BDO＝

×

×4×4＝4．

11．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上．

（1）如图1，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC互相垂直，则S△DEF+S△CEF＝

S△ABC，求当S△DEF＝S△CEF＝2时，AC边的长；

（2）如图2，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，S△DEF+S△CEF＝

S△ABC，是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系；

（3）如图3，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上，S△DEF+S△CEF＝

S△ABC是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系．

解：

（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴四边形DECF是矩形，

∵∠ACB＝90°，

∴BC⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∵D为AB边的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝

BC，AC＝2CE，

同理：

DF＝

AC，

∵AC＝BC，

∴DE＝DF，

∴四边形DECF是正方形，

∴CE＝DF＝CF＝DE，

∵S△DEF＝S△CEF＝2＝

DE•DF＝

DF2，

∴DF＝2，

∴CE＝2，

∴AC＝2CE＝4；

（2）S△DEF+S△CEF＝

S△ABC成立，理由如下：

连接CD；如图2所示：

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，

∴∠B＝45°，∠DCE＝

∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝

AB＝BD，

∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，S△ABC＝2S△BCD，

∵∠EDF＝90°，

∴∠CDE＝∠BDF，

在△CDE和△BDF中，

，

∴△CDE≌△BDF（ASA），

∴DE＝DF．S△CDE＝S△BDF．

∴S△DEF+S△CEF＝S△CDE+S△CDF＝S△BCD＝

S△ABC；

（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝

S△ABC；理由如下：

连接CD，如图3所示：

同

（1）得：

△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，

∴S△DEF＝S五边形DBFEC，

＝S△CFE+S△DBC，

＝S△CFE+

S△ABC，

∴S△DEF﹣S△CFE＝

S△ABC．

∴S

△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：

S△DEF﹣S△CEF＝

S△ABC．

12．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】

（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　DE　，BC＝　AE　．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

【模型应用】

（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：

点G是DE的中点；

②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．

解：

（1）∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，

∴∠1＝∠D，

在△ABC和△DAE中，

，

∴△ABC≌△DAE（SAS）

∴AC＝DE，BC＝AE，

故答案为：

DE；AE；

（2）①如图2，作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，

∵BC⊥AF，

∴∠BFA＝∠AMD＝90°，

∵∠BAD＝90°，

∴∠1+∠2＝∠1+∠B＝90°，

∴∠B＝∠2，

在△ABF与△DAM中，∠BFA＝∠AMD，

，

∴△ABF≌△DAM（AAS），

∴AF＝DM，

同理，AF＝EN，

∴EN＝DM，

∵DM⊥AF，EN⊥AF，

∴∠GMD＝∠GNE＝90°，

在△DMG与△ENG中，

∴△DMG≌△ENG（AAS），

∴DG＝EG，即点G是DE的中点；

②如图3，△ABC和△AB′C是以OA为斜边的等腰直角三角形，

过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D，

则四边形OCDE为矩形，

∴DE＝OC，OE＝CD，

由①可知，△ADB≌△BCO，

∴AD＝BC，BD＝OC，

∴BD＝OC＝DE＝AD+2＝BC+2，

∴BC+BC+2＝4，

解得，BC＝1，OC＝3，

∴点B的坐标为（3，1），

同理，点B′的坐标为（﹣1，3），

综上所述，△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为（3，1）或（﹣1，3）．

13．在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．

（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝　40　°，若△AMN的周长为9，则BC＝　9　．

（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：

BM2+CN2＝MN2；

（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．

解：

（1）∵∠BAC＝110°，

∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，

∵AB边的垂直平分线交BC边于点M，

∴AM＝BM，

∴∠BAM＝∠B，

同理：

NA＝NC，

∴∠NAC＝∠C，

∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，

∵△AMN的周长为9，

∴MA+MN+NA＝9，

∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，

故答案为：

40；9；

（2）如图②，连接AM、AN，

∵∠BAC＝135°，

∴∠B+∠C＝45°，

∵点M在