第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A初中组.docx
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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A初中组
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（初中组）
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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A初中组总分第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题A（初中组）
（时间:
2011年4月16日10:
00~11:
30）
一、填空题（每小题10分,共80分）
1
?
1.220
1.计算:
1
3
?
1?
3?
1?
16
2
2.算式:
兔兔年吉祥如意兔兔兔兔兔兔
中的汉字代表0~9的数字,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不
吉祥如意
同的数字,所代表的四位数是3.将12个小球放入编号为1至4的四个盒子中,每个盒子中的小球数不小于盒
子编号数,那么共有种不同的放法.
4.有一列数,第一个数是10,第二个数是20,从第三个数开始,每个数都是前
面所有数的平均数,那么第2011个数是xP3x6x32x6x9
5.设是有理数,,则P的最小值为6.将自然数1~22分别填在下面的“□”内（每个“□”只能填一个数）,在形
成的11个分数中,分数值为整数的最多能有个
7.下面两串单项式各有2011个单项式:
245783nn1326028602960316032
xy,xy,xy,,xy,,xy,xy
237812135m?
25m?
310052100531005710058
xy,xy,xy,?
xy,?
xy,xy其中n,m为非负整数,则这两串单项式中共有对同类项8.将能被3整除、被5除余2、被11除余4的所有这种正整数依照从小到大的
a,a,a,a,aa2011n
顺序排成一列,记为如果,则等于
1234nn?
1
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4006500888
-1-
学校____________姓名_________参赛证号密封线内请勿答题“华杯赛”官方网站//.
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A初中组二、解答下列各题（每题10分,共40分,要求写出简要过程）
9.将9个各不相同的正整数填在3×3表格的格
子中,一个格子填一个数,使得每个2×2子
表格中四个数的和都恰好等于100.求这9个
正整数总和的最小值
图1图2
10.右图中,平行四边形ABCD的面积等于1,F
BF
是BC上一点,AC与DF交于E,已知,3
FC
则三角形CEF的面积是多少?
11.设为非零自然数,,且满足
m,n,pm?
np
888mnp
方程:
mnp.问p的最大值等于多少?
33327
12.如图,如果将梯形ABCD分割成一个A
B
平行四边形ABCE和一个三角形AED,
22
AB38米,BC26米,CD72米,
33
D
C
AD20米,那么四边形ABCE,三角形
E
AED,梯形ABCD的面积分别是多少平
方米?
三、解答下列各题（每小题15分,共30分,要求写出详细过程）
13在边长为1厘米的正方形ABCD中,分别以A,B,C,D
为圆心,1厘米为半径画圆弧,交点E,F,G,H,如图所
示.求中间阴影六边形BEFDGH的面积11
4
m
14.已知x?
m,是否存在整数使得x为完全平方数?
如果存在,求
4
xx
出整数m;若不存在,请说明理由
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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（初中组）
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题A参考答案（初中组）
一、填空题每小题10分,共80分
题号12345678
24答案85471015211040213
919二、解答下列各题每题10分,共40分,要求写出简要过程
9.答案:
121
解:
（图1与图2供考生答题用）如图2,
192ABC
SA+B+C+D+E+F+G+H+I
4S4A+B+C+D+E+F+G+H+I6845DEF
A+B+D+E+B+C+E+F+D+E+G+H+E+F
374GHI
+H+I+
图1图2
2A+B+C+D+F+G+H+I+A+C+G+I
400+2A+B+C+D+F+G+H+I+A+C+G+I
由于A,B,C,D,F,G,H,I为各不相同的正整数,
有:
A+B+C+D+F+G+H+I≥1+2+3+…+836,A+C+G+I≥1+2+3+410
所以,4S≥400+2×36+10482,即S≥120.5
因为S为整数,有S≥121.
另一方面,可以如图1填数使得S121.
综上所述,表格中所填9个正整数总和的最小值为121.
1
10.答案
40
解答设平行四边形两条对角线交点为O,连接OF,
SxSy,Sz,Sw
?
CEFCDEDOE?
EOF
由左图和三角形面积公式:
1yzS,CDO
4
1
xyS,CDF8
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1
xwS?
COF
16
再次应用三角形面积公式,
xwEF（*
yzDE
将用x表达,
y,z,w
111
yx,wx,zx,
8168
代入*式,并整理,可得:
1x
x1
16,x11
40xx
88
1
答:
三角形CEF的面积是
40
11.答案:
4
解:
由原方程,我们有
8888
3
（3-（3-（3-（3-1
pmnp8
所以,
（3-1,p4
p
若p4,则
88888
133333,mn4
mnpmn上式只有mn4时成立。
所以,p的最大值是4。
2
12.答案:
ABCE的面积是618平方米
3
2
三角形ADE的面积是266平方米
AB
3
1
梯形的ABCD面积是885平方米
3
80
解:
因为AEBC米,
D
C
3
FE
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100
DECD-CE米,
3
22
100801002
所以+-202EF（*）
33
364
EF米,因此AF16米3
1162
平行四边形ABCE的面积是?
16618平方米
33
11612
三角形ADE的面积是72-266平方米16323
1
梯形的ABCD面积是885平方米。
3
（*）成立的原因如下,因为
222
?
AEAFEF,
222
ADAFDF,22
?
DE?
DFEF?
22?
DF?
2?
DFEFEF所以
2222
?
DEAEAD?
2?
DFEF?
2?
EF?
2?
EFDFEF2?
EFDE
三、解答下列各题每小题15分,共30分,要求写出详细过程
1
13.答:
平方厘米2
解:
如图,连接AF,AE,则都是顶角为30,两腰为1厘米
?
ADF,,?
AFE?
AEB
的等腰三角形.其面积相等1
自点F作FPAD于P.则FP,因此
2
111
三角形ADF的面积?
1所以五边
224
3
形ABEFD的面积（平方厘米）.同理,
4
3
五边形BCDGH的面积（平方厘米）4
而正方形ABCD的面积为1平方厘米由面积重叠原理可知,重叠部分为阴影六边形
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