第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A初中组.docx

1、第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A初中组第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（初中组）“华杯赛”官方网站/0. 第十 六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A初中组总分第十 六 届华 罗庚金 杯少 年数 学邀请 赛 决 赛试 题 A (初中组) (时间: 2011 年 4 月 16 日 10:00 11:30) 一、 填空题 (每小题 10 分, 共 80 分) 1?1.2201. 计算: 13?1 ?3 ?1 ?1622. 算式:兔兔年吉祥 如意兔兔 兔兔兔 兔 中的汉字代表 0 9 的数字, 相同的汉字代表相同的数字, 不同的汉字代表不吉 祥 如 意同的数字, 所代表的四位

2、数是3. 将12 个小 球放 入编 号为1 至 4 的四 个盒 子中, 每 个盒 子中 的小 球 数不 小于 盒子编号数, 那么 共有种不同的放法. 4. 有一列数, 第一个数是 10, 第 二个 数是 20, 从第 三 个数 开始, 每个 数 都是 前面所有数的平均数, 那么第 2011 个数是x P3x6x32x6x95. 设 是有理数, , 则P 的最小值为6. 将自然数 122 分别填在下面的 “”内(每个“”只能填一个数), 在形成的 11 个分数中, 分数值为整数的最多能有个 7. 下面两 串 单项式各有 2011 个单项式: 2 4 5 7 8 3nn 1 3 2 6028 60

3、29 6031 6032xy ,x y ,x y , ,x y , ,x y ,x y 2 3 7 8 12 13 5m ?2 5m ?3 10052 10053 10057 10058x y ,x y ,x y , ?x y , ?,x y ,x y其中n,m 为非负整数, 则这两串 单项式中共有对同类项8. 将能被 3 整除、被 5 除余 2 、被 11 除余 4 的所有这种正整数依照从小到大的a ,a ,a ,a , aa 2011 n顺序排成一列, 记为如 果 , 则 等于1 2 3 4 nn ?1“ 华杯赛 ” 组委会办公室 咨询电话:4006500888 - 1 - 学校_ 姓名_

4、 参赛证号密 封 线 内 请 勿 答 题 “华杯赛”官方网站/. 第十六 届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A 初中组二、解答下 列各题 ( 每题 10 分, 共 40 分, 要求写出 简要过程 ) 9. 将 9 个各不相同的正整数填在 3 3 表格的格子中, 一个格子填一个数, 使得每个 22 子表格中四个数的和都恰好等于 100. 求这 9 个正整数总和的最小值图 1 图 210. 右图中, 平行四边形ABCD 的 面积等于1, FBF是BC 上一点, AC 与DF 交于E, 已知 , 3FC则三角形CEF 的面积是多少?11. 设 为非 零 自然数, , 且满足m,n,p m ?np

5、8 8 8 mnp方 程: mnp. 问 p 的最大值等于多少?3 3 3 2712. 如图, 如果将梯形 ABCD 分割成 一个 AB平行四边形ABCE 和一个 三角形AED, 2 2AB 38 米, BC 26 米, CD72 米, 3 3DCAD20 米, 那么 四边形ABCE , 三角形EAED , 梯形ABCD 的面积分别是多少平方米? 三、解答下 列各题 ( 每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细 过程) 13在边长为 1 厘米的正方形ABCD 中, 分别以A, B, C, D为圆心, 1 厘米为半径画圆弧, 交点E, F, G, H, 如图所示. 求中间阴影六边形BEF

6、DGH 的面积1 14m14. 已知x?m, 是否 存在 整数 使得x为完 全平 方数 ? 如果 存在, 求4x x出整数m ;若不存在, 请说明理由“ 华杯赛 ” 组委会办公室 咨询电话:4006500888 - 2 - “华杯赛”官方网站/. 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 参考答案( 初中组) 第十六 届华 罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A 参考答案 ( 初中 组) 一、 填空题 每 小题 10 分, 共 80 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 24答案 8547 10 15 21 10 402 13 919二、解答下 列各题 每题 10 分 ,共 40 分,

7、要求写 出简要 过程 9. 答案 :121 解: (图 1 与图 2 供考生答题用)如图 2,1 9 2 A B C SA+B+C+D+E+F+G+H+I 4S4A+B+C+D+E+F+G+H+I 6 84 5 D E F A+B+D+E+B+C+E+F+D+E+G+H+E+F3 7 4 G H I +H+I+图 1 图 2 2A+B+C+D+F+G+H+I+A+C+G+I 400+2A+B+C+D+F+G+H+I+A+C+G+I 由于 A,B,C,D,F,G,H,I 为各不相同的正整数, 有:A+B+C+D+F+G+H+I 1+2+3+ +836 ,A+C+G+I 1+2+3+410 所以,

8、4S 400+2 36+10482 ,即 S 120.5 因为 S 为整数,有 S 121 . 另一方面,可以如图 1 填数使得 S121 . 综上所述,表格中所填 9 个正整数总和的最小值为 121 . 110. 答案 40解答 设 平 行 四 边 形 两 条 对 角 线 交 点 为 O , 连 接 OF ,Sx Sy, S z ,Sw?CEF CDE DOE ?EOF由左图和三角形面积公式:1yzS,CDO41xyS,CDF8“ 华杯赛 ” 组委会办公室 咨询电话:4006500888“华杯赛”官方网站/. 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 参考答案( 初中组) 1xwS?CO

9、F16再次应用三角形面积公式, x w EF(* y z DE将 用 x 表达, y,z,w1 1 1yx ,wx ,zx , 8 16 8代入* 式,并整理,可得: 1xx 116, x1140xx881答:三角形 CEF 的面积是4011. 答案:4 解:由原方程,我们有8 8 8 83(3- (3- ( 3- ( 3- 1p m n p8所以, (3- 1, p4p若 p4 ,则 8 8 8 8 8133333,mn4m n p m n上式只有 mn4 时成立。 所以,p 的最大值是 4。 212. 答案:ABCE 的 面积 是 618 平方 米 32三角形 ADE 的面积是 266 平

10、 方米 A B31梯形的 ABCD 面积是 885 平方米 380解:因为 AEBC 米 , DC3F E“ 华杯赛 ” 组委会办公室 咨询电话:4006500888“华杯赛”官方网站/. 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A 参考答案( 初中组) 100DECD-CE 米, 32 2100 80 1002所以 + -20 2EF(*)3 3364EF 米 ,因此 AF16 米3116 2平行四边形 ABCE 的面积是 ?16618 平方米 3 3116 1 2三角形 ADE 的面积是72- 266 平方米163 2 31梯形的 ABCD 面积是 885 平方米 。 3(*)成立的原因

11、如下,因为 2 2 2?AEAFEF,2 2 2ADAFDF ,2 2?DE ?DFEF?2 2?DF? 2?DFEFEF所以 2 2 2 2?DEAEAD? 2 ?DFEF? 2 ?EF? 2 ?EFDFEF2 ?EFDE 三、解答下 列各题 每小题 15 分, 共 30 分, 要求写 出详细 过程 113. 答 : 平方厘米2解 :如图,连接 AF, AE, 则 都是顶角为30 ,两腰为 1 厘米?ADF, ?AFE ?AEB的等腰三角形.其面积相等1自点 F 作 FPAD 于 P. 则 FP, 因此 21 1 1三角形 ADF 的面积?1所以五边2 2 43形 ABEFD 的面积 (平方厘米). 同理, 43五边形 BCDGH 的面积 (平方厘米)4而正方形 ABCD 的面积为 1 平方厘米由面积重叠原理可知, 重叠部分为阴影六边形“ 华杯赛 ” 组委会办公室 咨询电话:4006500888