物理切割磁感线模型.docx
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物理切割磁感线模型
04（北京卷）13．（18分）如图1所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L0、M、P两点间接有阻值为R的电阻。
一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。
整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略。
让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。
（1）由b向a方向看到的装置如图2所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；
（3）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。
重力mg，竖直向下
支撑力N，垂直斜面向上
安培力F，沿斜面向上
（2）当ab杆速度为v时，感应电动势E=BLv,此时电路电流
ab杆受到安培力
根据牛顿运动定律，有
（3）当
时，ab杆达到最大速度vm
（13分）如图1所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距
l＝0.20m，电阻R＝1.0Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂
直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于磁感强度B＝0.50T
的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下，现用一外力F沿轨道方向拉
杆，使之做匀加速运动，测得力F与时间t的关系如图2所示.求杆的质
量m和加速度a.
导体杆在轨道上做匀加速直线运动，用v表示其速度，t表示时间，则有
v＝at①
杆切割磁力线，将产生感应电动势，
＝Blv②
在杆、轨道和电阻的闭合回路中产生电流
I＝
③
杆受到的安培力为
f＝IBl④
根据牛顿第二定律，有
F－f＝ma⑤
联立以上各式，得
F＝ma＋
at⑥
由图线上取两点代入⑥式，可解得
a＝10m/s，m＝0.1kg.
评分标准：
本题13分.得出⑥式给6分，得出最后结果再给7分.
③
3、（18分）24.图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面）向里。
导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2。
x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。
两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。
F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力。
已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重
力的功率大小和回路电阻上的热功率。
设杆向上运动的速度为v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减小，从而磁通量也减小。
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小为
ε=B（l2－l1）v ①
回路中的电流
I=
， ②
电流沿顺时针方向。
两金属杆均要受到安培力作用，作用于杆x1y1的安培力为
f1=Bl1I， ③
方向向上，作用于杆x2y2的安培力为
f2=Bl2I， ④
方向向下。
当杆做匀速运动时，根据牛顿第二定律有
F－m1g－m2g+f1－f2=0 ⑤
解以上各式，得
I=
， ⑥
v=
R ⑦
作用于两杆的重力的功率的大小为
P=（m1+m2）gv ⑧
电阻上的热功率
Q=I2R ⑨
由⑥⑦⑧⑨式，可得
P=
R（m1+m2）g ⑩
Q=［
］2R
（2004•广东）如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ，导轨间距离为l，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为m1、m2和R1、R2，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ，已知：
杆1被外力拖动，以恒定的速度v0沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率．
解：
设杆2的运动速度为v，由于两杆运动时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，
产生感应电动势 E=Bl（v0-v）①
感应电流 I＝
E
R1+R2
②
杆2作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，
BlI=μm2g③
导体杆2克服摩擦力做功的功率 P=μm2gv ④
由①②③④解得 P＝μm2g[v0−
μm2g
B2l2
（R1+R2）]
答：
此时杆2克服摩擦力做功的功率是μm2g[v0−
μm2g
B2l2
（R1+R2）]．
水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆，金属杆与导轨的电阻忽略不计，均匀磁场竖直向下。
用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动。
当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v和F的关系如下图。
（取重力加速度g=10m/s2）
（1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？
（2）若m=0.5kg，L=0.5m，R=0.5Ω，磁感应强度B为多大？
（3）由v-F图线的截距可求得什么物理量？
其值为多少？
解：
（1）金属棒受到水平向左的安培力作用，根据F−
B2L2v
R
−f＝ma可知，随着速度的增大，棒的加速度逐渐减小，当加速度等于零时，开始匀速运动．
故金属棒在匀速运动之前做：
变速运动（或变加速运动、加速度逐渐减小的加速运动、加速运动）．
（2）感应电动势：
E=BLv
感应电流：
I＝
E
R
安培力：
F安＝ BIL＝
B2L2v
R
所以：
v＝
R
B2L2
（F−f）
由图线可以得到直线的斜率k=2，所以B＝
R
kL2
＝1（T）
故若m=0.5kg，L=0.5m，R=0.5Ω，磁感应强度B=1T．
（3）由直线的截距可以求得金属杆受到的摩擦力：
f=2（N）
若金属杆受到的阻力仅为动摩擦力，则有：
f=mgμ，由截距可求得动摩擦因数μ≈0.41．
故由v-F图线的截距可求得摩擦力、摩擦系数这两个物理量，分别为f=2N，μ≈0.41．
如图1所示，OACO为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O、C处分别接触短电阻丝（图中粗线表示）.R1=4Ω，R2=8Ω（导轨其他部分电阻不计）.导轨OAC的形状满足方程y=2sin（
x）（单位m），磁感应强度B=0.2T的匀强磁场，方向垂直于导轨平面.一足够长的金属棒在水平外力F作用下，以恒定的速率v=5.0m/s水平向右在导轨上从O点滑动到C点，棒与导轨接触良好，且始终保持与OC导轨垂直，不计棒的电阻.求：
（1）外力F的最大值；
（2）金属棒在导轨上运动时，电阻丝R1的最大功率；
（3）在滑动过程中通过金属棒的电流i与时间t的关系.
（1）金属棒匀速运动 F=F安
ε=BLv①
I=
E
R总
F=BIL=
B2L2v
R总
又Lmax=2sin
π
2
=2（m）
R1R2
R1+R2
=
8
3
Ω
故Fmax=0.22×22×5.0×
3
8
N=0.3N
（2）P1=
E2
R1
=1W
（3）金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化 L=2sin（
π
3
x）（m）
且 x=vt，E=BLv，
得到I=
ε
R总
=
Bv
R总
=2sin（
π
3
vt）=
3
4
sin（
5π
3
t）（A）
答：
（1）外力F的最大值0.3N；
（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R1上消耗的最大功率为1W；
（3）在滑动过程中通过金属棒的电流I与时间t的关系为
3
4
sin（
5π
3
t）A．
如图所示，半径为R、单位长度电阻为λ的均匀导体圆环固定在水平面上，圆环中心为O．匀强磁场垂直水平面方向向下，磁感强度为B．平行于直径MON的导体杆，沿垂直于杆的方向向右运动．杆的电阻可以忽略不计，杆与圆环接触良好，某时刻，杆的位置如图，∠aOb=2θ，速度为v，求此时刻作用在杆上安培力的大小．
如图所示，杆切割磁力线时，ab部分产生的感应电动势
E=vB（2Rsinθ） ①
此时弧acb和弧adb的电阻分别为2λR（π-θ）和2λRθ，它们并联后的电阻为：
r=
2λRθ（π-θ）
π
②
杆中的电流为：
I=
E
r
③
作用在杆上的安培力为：
F=IB（2Rsinθ） ④
由以上各式解得F=（
2πvB2R
λ
）（
sin2θ
θ（π-θ）
）．
故此时刻作用在杆上安培力的大小为：
F=（
2πvB2R
λ
）（
sin2θ
θ（π-θ）
）．
（2003年全国理综卷）如图5所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。
导轨间的距离l=0.20m。
两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。
在t=0时刻，两杆都处于静止状态。
现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。
经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？
解析:
设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2,经过很短的时间△t，杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势
回路中的电流
杆甲的运动方程
由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量
时为0）等于外力F的冲量
联立以上各式解得
代入数据得
如图，一个很长的竖直放置的圆柱形磁铁，产生一个辐射状的磁场（磁场水平向外），其大小为B=K/r，r为半径，设一个与磁铁同轴的圆形铝环，半径为R（大于圆柱形磁铁半径），而弯成铝环的铝丝其截面积为S，铝丝电阻率为ρ，密度为ρ0．铝环通过磁场由静止开始下落，下落过程中铝环平面始终保持水平．试求：
（1）铝环下落速度为v时的电功率？
（2）铝环下落的最终速度？
（3）当下落h高度时，速度最大，此过程中圆环消耗的电能？
（1）由题意知圆环所在处的磁感应强度B=
K
R
，圆环的有效切割长度为其周长，即L=2πR，
圆环的电阻R0=ρ
L
S
=ρ
2πR
S
，当圆环的速度为v时，切割磁感线产生的电动势E=BLv=2kπv，
圆环中的电流I=
KvS
ρR
，圆环速度为v时电功率P=I2R0
联立以上各式解得：
P=
2πSk2v2
ρR
（2）当圆环加速度为零时，有最大速度vm，此时安培力F=BIL=
2πSk2 vm
ρR
由平衡条件可知：
mg=F，圆环的质量m=ρ0S•2πR
解得：
vm=
ρρ0gR2
k2
（3）由能量守恒定律得：
mgh=
1
2
m
v
2m
+Q
解得：
Q=2πρ0RS[gh-
1
2
（
ρρ0gR2
k2
）2]
答：
（1）铝环下落速度为v时的电功率是
2πSk2v2
ρR
（2）铝环下落的最终速度是
ρρ0gR2
k2
（3）当下落h高度时，速度最大，此过程中圆环消耗的电能是2πρ0RS[gh-
1
2
（
ρρ0gR2
k2
）2]．
如图所示，MN、PQ是两条水平放置彼此平行的金属导轨，匀强磁场的磁感线垂直导轨平面。
导轨左端接阻值R=1.5Ω的电阻，电阻两端并联一电压表，垂直导轨跨接一金属杆ab，ab的质量m=0.1kg，电阻r=0.5Ω。
ab与导轨间动摩擦因数μ=0.5，导轨电阻不计，现用F=0.7N的恒力水平向右拉ab，使之从静止开始运动，经时间t=2s后，ab开始做匀速运动，此时电压表示数U=0.3V。
重力加速度g=10m／s2。
求：
（1）ab匀速运动时，外力F的功率；
（2）ab杆加速过程中，通过R的电量；
（3）ab杆加速运动的距离。
解：
（1）设导轨间距为L，磁感应强度为B，ab杆匀速运动的速度为v，电流为I，此时ab杆受力如图所示：
由平衡条件得：
F=μmg+ILB①
由欧姆定律得：
②
由①②解得：
BL=1T·m，v=0.4m/s③
F的功率：
P=Fv=0.7×0.4W=0.28W④
（2）设ab加速时间为t，加速过程的平均感应电流为
，由动量定理得：
⑤
解得：
⑥
（3）设加速运动距离为s，由法拉第电磁感应定律得：
⑦
又
⑧
由⑥⑦⑧解得：
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