广东省六校届高三第三次联考数学理试题含答案.docx
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广东省六校届高三第三次联考数学理试题含答案
广东省六校2018届高三第三次联考数学理试题含答案;
2018届广东省六校第三次联考;;
理科数学;;
第Ⅰ卷（共60分）;;
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.;;
1.已知集合
为实数，且
，
为实数，且
，则
的元素个数为（）;;
A．0B．1C．2D．3
2.设等差数列
的前
项和为
，若
则
（）
A．63B．45C．36D．27
3.若变量
满足约束条件
，则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
4.函数
的部分图象大致为（）;;
A．
B．
C.
D．
5.设函数
，其中常数
满足
.若函数
（其中
是函数
的导数）是偶函数，则
等于（）;;
A．
B．
C.
D．
6.执行下面的程序框图，如果输入的
分别为1，2，3，输出的
那么，判断框中应填入的条件为（）
A．
B．
C.
D．
7.已知
为虚数单位），又数列
满足：
当
时，
；当
，
为
的虚部，若数列
的前
项和为
，则
（）;;
A．
B．
C.
D．
8.如图，在同一个平面内，三个单位向量
满足条件：
与
的夹角为
，且
，
与
与的夹角为45°.若
，则
的值为（）
A．3B．
C.
D．
9.四面体
中，三组对棱的长分别相等，依次为
，则
的取值范围是（）
A．
B．
C.
D．
10.从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的篮球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有（）
A．42种B．36种C.72种D．46种
11.已知点
为双曲线
的右焦点，直线
与
交于
两点，若
设
且
，则该双曲线的离心率的取值范围是（）
A．
B．
C.
D．
12.已知
是函数
与
图象的两个不同的交点，则
的取值范围是（）
A．
B．
C.
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数
是定义在
上的奇函数，则
．
14.已知函数
，若
，则函数
恒过定点．
15.已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为．
16.若函数
的图象上存在不同的两点
，其中
使得
的最大值为0，则称函数
是“柯西函数”.给出下列函数：
①
；②
；
③
；④
.
其中是“柯西函数”的为（填上所有正确答案的序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设数列
的前
项和为
，数列
的前
项和为
，满足
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求数列
的通项公式.
18.某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.
（Ⅰ）若小店一天购进16份，求当天的利润
（单位：
元）关于当天需求量
（单位：
份，
）的函数解析式；
（Ⅱ）小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：
份），整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（i）小店一天购进16份这种食品，
表示当天的利润（单位：
元），求
的分布列及数学期望；
（ii）以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？
19如图，在四棱锥
中，
是平行四边形，
，
分别是
的中点.
（Ⅰ）证明：
平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
20.已知椭圆
的离心率为
，
分别为椭圆
的左、右顶点点
满足
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设直线
经过点
且与
交于不同的两点
，试问：
在
轴上是否存在点
，使得
与直线
的斜率的和为定值？
若存在，请求出点
的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
21.已知函数
，其中
.
（Ⅰ）函数
的图象能否与
轴相切？
若能，求出实数
，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）求最大的整数
，使得对任意
，不等式
恒成立.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
已知直线
的参数方程为
（
为参数，
），以坐标原点为极点，以
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，射线
，
分别与曲线
交于
三点（不包括极点
）.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）当
时，若
两点在直线
上，求
与
的值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数
.
（Ⅰ）若
，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
2018届广东省六校第三次联考
理科数学参考答案
一、选择题
1-5:
BADAA6-10:
CCBCA11、12：
DD
二、填空题
13.
14.
15.
16.①④
三、解答题
17.解：
（Ⅰ）∵
，∴
.
∵
∴
.
∵
∴
.
（Ⅱ）∵
①，
…②，
∴①-②得，
，∵
，
∴
…③，
…④，③-④得，
，
.
∵
，∴
是首项3公比2的等比数列，
，
故
.
18.解：
（Ⅰ）当日需求量
时，利润
，
当日需求量
时，利润
，
所以
关于
的函数解析式为
.
（Ⅱ）（i）
可能的取值为62，71，80，
并且
.
的分布列为：
62
71
80
0.1
0.2
0.7
的数学期望为
元.
（ii）若小店一天购进17份食品，
表示当天的利润（单位：
元），那么
的分布列为
58
67
76
85
0.1
0.2
0.16
0.54
的数学期望为
元.
由以上的计算结果可以看出，
即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进17份.
19.
解法一：
（Ⅰ）取
中点
，连
∵
∴
∵
是平行四边形，
∴
∴
是等边三角形，∴
∵
∴
平面
∴
.
∵
分别是
的中点,∴
∴
∵
∴
平面
∵
平面
∴平面
平面
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴
是二面角
的平面角.
∵
在
中，根据余弦定理得,
∴二面角
的余弦值为
.
解法二：
（Ⅰ）∵
是平行四边形，
，∴
∴
是等边三角形，∵
是
的中点，
∴
∵
∴
.
分别以
的方向为
轴、
轴的正方向，
为坐标原点，
如图建立空间直角坐标系.
则
设
，∵
解得
，
∴可得
∵
是
的中点，∴
∵
∴
∵
∴
平面
∵
平面
∴平面
平面
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设
是平面
的法向量，则
，∴
，
令
，则
，
又
是平面
的法向量，
∴
，
∴二面角
的余弦值为
.
注：
直接设点
，或者说
平面
，酌情扣分.
20.解：
（Ⅰ）依题意，
、
，
，
∴
由
得
，∵
，
∴
，
故椭圆
的方程为
.
（Ⅱ）假设存在满足条件的点
.当直线
与
轴垂直时，
它与椭圆只有一个交点，不满足题意.
因此直线
的斜率
存在，设
，由
，消
得
，
设
，则
，
∵
，
∴要使对任意实数
为定值，则只有
，此时，
.
故在
轴上存在点
使得直线
与直线
的斜率的和为定值1.
21.解：
（Ⅰ）由于
.
假设函数
的图象与
轴相切于点
，
则有
，即
.
显然
代入方程
中得，
.
∵
，∴无解．故无论
取何值，函数
的图象都不能与
轴相切.
（Ⅱ）依题意，
恒成立.
设
，则上式等价于
，要使
对任意
恒成立，即使
在
上单调递增，
∴
在
上恒成立.
则
，∴
在
上成立的必要条件是：
.
下面证明：
当
时，
恒成立.
设
，则
，当
时，
，当
时，
，
∴
，即
.那么，
当
时，
；
当
时，
，∴
恒成立.
因此，
的最大整数值为3.
22.解：
（Ⅰ）证明：
依题意，
，
，
则
.
（Ⅱ）当
时，
两点的极坐标分别为
，
化直角坐标为
.
经过点
的直线方程为
，
又直线
经过点
，倾斜角为
，故
.
23.解：
（Ⅰ）∵
，∴
，
①当
时，得
，∴
；
②当
时，得
，∴
；
③当
时，得
，∴
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
（Ⅱ）∵
，根据绝对值的几何意义知，当
时，
的值最小,
∴
，即
，
解得
或
.∴实数
的取值范围是
.
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