中考数学145套分类之09一元一次方程.docx
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中考数学145套分类之09一元一次方程
2021年中考数学分类汇编之一元一次方程
一、选择题
1．（2021吉林省，第6题，2分）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：
一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．若设这个数是x，则所列方程为（ ）
A．
x
x+x=33 B．
x
x
x=33
C．
x
x
x+x=33 D．x
x
x
x=33
【答案】C．
【分析】根据题意列方程
x
x
x+x=33．
【详解】解：
由题意可得
x
x
x+x=33．
故选：
C．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，解答本题的关键是通过题干找出等量关系．
考点：
由实际问题抽象出一元一次方程．
2．（2021四川省南充市，第5题，4分）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（ ）
A．10x+5（x﹣1）=70 B．10x+5（x+1）=70
C．10（x﹣1）+5x=70 D．10（x+1）+5x=70
【答案】A．
【分析】设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元，根据总价=单价×数量，结合购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：
设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元，
依题意得：
10x+5（x﹣1）=70．
故选：
A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
考点：
由实际问题抽象出一元一次方程．
3．（2021四川省绵阳市，第6题，3分）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（ ）
A．60件 B．66件 C．68件 D．72件
【答案】B．
【分析】设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10x+6）中即可求出该分派站现有包裹数．
【详解】解：
设该分派站有x个快递员，
依题意得：
10x+6=12x﹣6，
解得：
x=6，∴10x+6=10×6+6=66，
即该分派站现有包裹66件．
故选：
B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
考点：
一元一次方程的应用．
4．（2021安徽省，第7题，4分）设a，b，c为互不相等的实数，且b
a
c，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b=4（b﹣c） D．a﹣c=5（a﹣b）
【答案】D．
【分析】根据等式的基本性质，对已知等式进行变形即可．
【详解】解：
∵b
a
c，∴5b=4a+c．
在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）=c﹣a．
在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）=a﹣c．
故选：
D．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，结合已知条件及选项，对等式进行合适的变形是解答本题的关键．
考点：
等式的性质；不等式的性质．
5．（2021山东省聊城市，第9题，3分）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a=2解的取值范围为（ ）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
【答案】A．
【分析】把a看作已知数求出方程的解得到x的值，由﹣3＜a≤3代入计算即可．
【详解】解：
x+a=2，
x=﹣a+2．
∵﹣3＜a≤3，∴﹣3≤﹣a＜3，∴﹣1≤﹣a+2＜5，∴﹣1≤x＜5，
故选：
A．
【点睛】本题考查了解一元一次等式、一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
考点：
一元一次方程的解；不等式的性质．
6．（2021浙江省杭州市，第6题，3分）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（ ）
A．60.5（1﹣x）=25 B．25（1﹣x）=60.5
C．60.5（1+x）=25 D．25（1+x）=60.5
【答案】D．
【分析】依题意可知四月份接待游客25万，则五月份接待游客人次为：
25（1+x），进而得出答案．
【详解】解：
设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则
25（1+x）=60.5．
故选：
D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程中增长率的问题，一般公式为：
原来的量×（1±x）=现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用+，减少用﹣．
考点：
由实际问题抽象出一元一次方程．
7．（2021浙江省温州市，第5题，4分）解方程﹣2（2x+1）=x，以下去括号正确的是（ ）
A．﹣4x+1=﹣x B．﹣4x+2=﹣x C．﹣4x﹣1=x D．﹣4x﹣2=x
【答案】D．
【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号．
【详解】解：
根据乘法分配律得：
﹣（4x+2）=x，
去括号得：
﹣4x﹣2=x，
故选：
D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，去括号法则，解答本题的关键是：
括号前面是减号，把减号和括号去掉，括号的各项都要变号．
考点：
解一元一次方程．
8．（2021湖北省武汉市，第7题，3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
”意思是：
现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？
若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是（ ）
A．8（x﹣3）=7（x+4） B．8x+3=7x﹣4
C．
D．
【答案】D．
【分析】根据人数=总钱数÷每人所出钱数，得出等式即可．
【详解】解：
设共有x人，根据题意可得：
8x﹣3=7x+4，
设物价是y钱，根据题意可得：
．
故选：
D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解答本题的关键．
考点：
由实际问题抽象出一元一次方程．
9．（2021湖南省株洲市，第2题，4分）方程
1=2的解是（ ）
A．x=2 B．x=3 C．x=5 D．x=6
【答案】D．
【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：
1=2，
移项，得
2+1，
合并同类项，得
3，
系数化成1，得x=6，
故选：
D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解答本题的关键．
考点：
解一元一次方程．
10．（2021黑龙江省牡丹江市，第15题，3分）已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元，其中一件盈利60%，另一件亏损20%，在这次买卖中这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．盈利20元 C．盈利10元 D．亏损20元
【答案】B．
【分析】设盈利的运动衫的进价为x元，亏损的运动衫的进价为y元，利用利润=售价﹣进价，即可得出关于x（y）的一元一次方程，解之即可得出x（y）的值，再将两件运动衫的利润相加即可得出结论．
【详解】解：
设盈利的运动衫的进价为x元，亏损的运动衫的进价为y元，
依题意得：
160﹣x=60%x，160﹣y=﹣20%y，
解得：
x=100，y=200，∴（160﹣100）+（160﹣200）=60﹣40=20（元），∴在这次买卖中这家商店盈利20元．
故选：
B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
考点：
一元一次方程的应用．
二、填空题
11．（2021北京市，第16题，2分）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则
的值为 ．
【答案】2：
3；
．
【分析】设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5﹣x）吨，依题意可得4x+1=2（5﹣x）+3，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为4（2+m）+1=2（3+n）+3，进而求解即可得出答案．
【详解】解：
设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5﹣x）吨，依题意可得：
4x+1=2（5﹣x）+3，
解得：
x=2，∴分配到B生产线的吨数为5﹣2=3（吨），∴分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2：
3；∴第二天开工时，给A生产线分配了（2+m）吨原材料，给B生产线分配了（3+n）吨原材料．
∵加工时间相同，∴4（2+m）+1=2（3+n）+3，
解得：
m
n，∴
．
故答案为：
2：
3；
．
【点睛】本题考查了一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解答本题的关键．
考点：
一元一次方程的应用；二元一次方程的应用；比例的性质．
12．（2021山东省日照市，第14题，4分）关于x的方程x2+bx+2a=0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为 ．
【答案】﹣2．
【分析】根据方程的解的概念，将x=a代入原方程，然后利用等式的性质求解．
【详解】解：
由题意可得x=a（a≠0），
把x=a代入原方程可得：
a2+ab+2a=0，
等式左右两边同时除以a，可得：
a+b+2=0，
即a+b=﹣2．
故答案为：
﹣2．
【点睛】本题考查了方程的解的概念及等式的性质，理解方程的解的定义，掌握等式的基本性质是解答本题的关键．
考点：
方程的解；等式的性质．
13．（2021山东省枣庄市，第14题，4分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为 ．
【答案】1．
【分析】根据幻方的定义，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：
依题意，得：
6+m+8=15，
解得：
m=1．
故答案为：
1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
考点：
数学常识；一元一次方程的应用．
14．（2021山东省烟台市，第15题，3分）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为 ．
【答案】2．
【分析】利用幻方中每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，可求出幻方右下角及第二行中间的数字，再利用幻方中对角线上的数字之和为15，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：
幻方右下角的数字为15﹣8﹣3=4，
幻方第二行中间的数字为15﹣6﹣4=5．
依题意得：
8+5+a=15，
解得：
a=2．
故答案为：
2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数字常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
考点：
数学常识；一元一次方程的应用．
15．（2021江苏省扬州市，第13题，3分）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：
“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？
”题意是：
快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？
答：
快马 天追上慢马．
【答案】20．
【分析】设良马行x日追上驽马，根据路程=速度×时间结合两马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：
设快马行x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日，
依题意，得：
240x=150（x+12），
解得：
x=20，∴快马20天追上慢马．
故答案为：
20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
考点：
一元一次方程的应用．
16．（2021浙江省绍兴市，第12题，5分）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：
客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有 两．
【答案】46．
【分析】通过设两个未知数，可以列出银子总数相等的二元一次方程组，本题得以解决．
【详解】解：
设有x人，银子y两，
由题意得：
，解得
．
故答案为：
46．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
考点：
一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
17．（2021湖南省张家界市，第9题，3分）已知方程2x﹣4=0，则x= ．
【答案】2．
【分析】直接移项、系数化为1即可．
【详解】解：
2x﹣4=0，
2x=4，
x=2．
故答案为：
2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解答本题的关键．
考点：
一元一次方程的解．
18．（2021湖南省邵阳市，第17题，3分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
意思是：
几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？
该问题中物品的价值是 钱．
【答案】53．
【分析】设有x人，物品的价值为y钱，由题意：
几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：
设有x人，物品的价值为y钱，
依题意，得：
，
解得：
，
即该问题中物品的价值是53钱．
故答案为：
53．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
考点：
一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
19．（2021辽宁省大连市，第14题，3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：
“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：
“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 ．
【答案】6x+14=8x．
【分析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：
设有牧童x人，
依题意得：
6x+14=8x．
故答案为：
6x+14=8x．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
考点：
由实际问题抽象出一元一次方程．
20．（2021重庆市，第15题，4分）若关于x的方程
a=4的解是x=2，则a的值为 ．
【答案】3．
【分析】把x=2代入方程
a=4得出
a=4，再求出方程的解即可．
【详解】解：
把x=2代入方程
a=4得：
a=4，
解得：
a=3．
故答案为：
3．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记方程的解的定义是解答本题的关键，注意：
使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解．
考点：
一元一次方程的解．
21．（2021重庆市，第15题，4分）方程2（x﹣3）=6的解是 ．
【答案】x=6．
【分析】按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可．
【详解】解：
方程两边同除以2得：
x﹣3=3．
移项，合并同类项得：
x=6．
故答案为：
x=6．
【点睛】本题考查了解一元一次方程．解一元一次方程常见的过程有去分母，去括号、移项、合并同类项，系数化为1等．
考点：
解一元一次方程．
22．（2021陕西省，第11题，3分）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ．
【答案】﹣2．
【分析】根据各行的三个数字之和相等，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：
依题意得：
﹣1﹣6+1=0+a﹣4，
解得：
a=﹣2．
故答案为：
﹣2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
考点：
一元一次方程的应用．
23．（2021黑龙江省大庆市，第17题，3分）某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：
三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共 间．
【答案】18．
【分析】设住了三人间普通客房x间，住双人间普通客房y间，根据总人数46，可列方程3x+2y=46；根据总费用，可列方程
（150x+140y）=1310，求解即可．
【详解】解：
设住了三人间普通客房x间，住双人间普通客房y间，
由题意可得：
，
解得
，∴x+y=18，∴该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共18间．
故答案为：
18．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；理解题意，根据题意列出方程组是解答本题的关键．题中五折优惠是易错点，读题需仔细．
考点：
一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
三、解答题
24．（2021四川省广元市，第17题，6分）解方程：
4．
【答案】x=7．
【分析】解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此解答即可．
【详解】解：
4，
3（x﹣3）+2（x﹣1）=24，
3x﹣9+2x﹣2=24，
3x+2x=24+9+2，
5x=35，
x=7．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
考点：
解一元一次方程．
25．（2021四川省成都市，第26题，8分）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
【答案】
（1）每个B型点位每天处理生活垃圾38吨；
（2）至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
【分析】
（1）每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，根据“每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理”，可列方程，即可解得答案；
（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，《条例》施行后，每个A型点位每天处理生活垃圾37吨，每个B型点位每天处理生活垃圾30吨，根据题意列出不等式：
37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，可解得：
y的范围，在求得的范围内取最小正整数值即得到答案．
【详解】解：
（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾（x+7）吨，根据题意可得：
12（x+7）+10x=920，
解得：
x=38，
答：
每个B型点位每天处理生活垃圾38吨；
（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，
由
（1）可知：
《条例》施行前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则《条例》施行后，每个A型点位每天处理生活垃圾45﹣8=37（吨），
《条例》施行前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则《条例》施行后，每个B型点位每天处理生活垃圾38﹣8=30（吨），
根据题意可得：
37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，
解得：
y
．
∵y是正整数，∴符合条件的y的最小值为3，
答：
至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
【点睛】本题考查了一次方程及一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系或不等关系，列方程或不等式．
考点：
一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
26．（2021广东省广州市，第21题，8分）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
【答案】
（1）23万人次；
（2）30%．
【分析】
（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，根据今年计划新增加培训共100万人次，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设李某的年工资收入增长率为m，利用李某今年的年工资收入=李某去年的年工资收入×（1+增长率），结合预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：
（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，
依题意得：
31+2x+x=100，
解得：
x=23．
答：
“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次．
（2）设李某的年工资收入增长率为m，
依题意得：
9.6（1+m）≥12.48，
解得：
m≥0.3=30%．
答：
李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
考点：
一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．
27．（2021广西桂林市，第20题，6分）解一元一次方程：
4x﹣1=2x+5．
【答案】x=3．
【分析】方程移项、合并同类项、系数化为1即可．
【详解】解：
4x﹣1=2x+5，
4x﹣2x=5+1，
2x=6，
x=3．
【点睛
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