新课标最新人教版九年级数学上学期《一元二次方程根与系数的关系》专题练习及解析精品试题.docx

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新课标最新人教版九年级数学上学期《一元二次方程根与系数的关系》专题练习及解析精品试题

一元二次方程的根与系数的关系

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．已知一元二次方程：

x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（　　）

A．﹣3B．3C．﹣6D．6

2．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（　　）

A．

B．

C．3D．

3．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）

A．2014B．2013C．2012D．2011

4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　）

A．x2﹣3x+6=0B．x2﹣3x﹣6=0C．x2+3x﹣6=0D．x2+3x+6=0

5．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（　　）

A．无解B．有两正根

C．有两负根D．有一正根及一负根

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

6．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=______，x1x2=______．

7．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=______，n=______．

8．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么

的值为______．

9．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______．

10．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则α2+4α+β=______．

11．若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是______，k=______．

12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程______．

13．若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是______．

三．解答题：

14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：

（1）3x2+2x﹣3=0

（2）x2+x=6x+7．

15．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求

+

的值．

16．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2

（1）求m的取值范围；

（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

17．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．

（1）若方程有两个实数根，求m的范围；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．

18．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．

（1）证明：

方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．

新人教版九年级上册《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》2014年同步测试卷（河南省洛阳市东升二中）

参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．已知一元二次方程：

x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（　　）

A．﹣3B．3C．﹣6D．6

【解答】解：

∵一元二次方程：

x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，

∴x1+x2=3，x1•x2=﹣1，

∴x12x2+x1x22=x1x2•（x1+x2）=﹣1×3=﹣3．

故选A．

2．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（　　）

A．

B．

C．3D．

【解答】解：

因为α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，

所以α+β=

，αβ=﹣

，

又因为（α﹣2）（β﹣2）

=αβ﹣2（α+β）+4

=﹣

﹣2×

+4

=

．

故选A

3．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）

A．2014B．2013C．2012D．2011

【解答】解：

∵a是方程x2+x﹣2014=0的实数根，

∴a2+a﹣2014=0，

∴a2+a=2014，

∴原式=2014+a+b，

∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，

∴a+b=﹣1，

∴原式=2014﹣1=2013．

故选B．

4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　）

A．x2﹣3x+6=0B．x2﹣3x﹣6=0C．x2+3x﹣6=0D．x2+3x+6=0

【解答】解：

小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，

故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：

α•β=﹣6，α+β=﹣3，

那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，

故选：

B．

5．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（　　）

A．无解B．有两正根

C．有两负根D．有一正根及一负根

【解答】解：

由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根，

又由根与系数的关系，知x1+x2=﹣

=2＞0，x1•x2=

=﹣

＜0，

所以有一正根及一负根．

故选D．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

6．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=　

　，x1x2=　﹣

　．

【解答】解：

x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=

，x1x2=﹣

．

故答案为：

，﹣

．

7．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=　2　，n=　﹣24　．

【解答】解：

由根与系数的关系得，﹣3+4=

，（﹣3）×4=

解得：

m=2，n=﹣24，

故答案为：

2，﹣24．

8．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么

的值为　﹣

　．

【解答】解：

∵x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，

∴根据韦达定理知，x1+x2=﹣7，x1•x2=﹣8，

∴

=

=﹣

．

故答案是：

﹣

．

9．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=　10　．

【解答】解：

∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，

∴x22+5x2﹣3=0，

∴x22+5x2=3，

∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，

∴2x1•x2+a=4，

∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，

∴x1x2=﹣3，

∴2×（﹣3）+a=4，

∴a=10．

10．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则α2+4α+β=　4　．

【解答】解：

∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，

∴α+β=﹣3，α2+3α﹣7=0，

∴α2+3α=7，

∴α2+4α+β=α2+3α+α+β=7﹣3=4，

故答案为：

4．

11．若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是　5　，k=　0　．

【解答】解：

设方程的另一个根为t，

根据题意得0+t=5，0•t=k，

所以t=5，k=0．

故答案为5，0．

12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程　x2﹣5x+6=0（答案不唯一）　．

【解答】解：

∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，

∴一元二次方程的两个根的乘积为：

3×2=6，

∴此方程可以为：

x2﹣5x+6=0，

故答案为：

x2﹣5x+6=0（答案不唯一）．

13．若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是　5　．

【解答】解：

设方程x2+kx+6=0的两根分别为a、b，则方程x2﹣kx+6=0的两根分别为a+5，b+5，

根据题意得a+b=﹣k，a+5+b+5=k，

所以10﹣k=k，

解得k=5．

故答案为：

5．

三．解答题：

14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：

（1）3x2+2x﹣3=0

（2）x2+x=6x+7．

【解答】解：

（1）设x1，x2是一元二次方程的两根，

所以x1+x2=﹣

，x1x2=﹣1；

（2）方程化为一般式为x2﹣5x﹣7=0，

设x1，x2是一元二次方程的两根，

所以x1+x2=5，x1x2=﹣7．

15．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求

+

的值．

【解答】解：

∵a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，

∴a，b可看作方程x2﹣6x+4=0的两根，

∴a+b=6，ab=4，

∴原式=

=

=

=7．

16．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2

（1）求m的取值范围；

（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

【解答】解：

（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0；

∵原方程有两个实数根，

∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤

；

（2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的两根，

∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤

；

因而y随m的增大而减小，故当m=

时，取得最小值1．

17．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．

（1）若方程有两个实数根，求m的范围；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．

【解答】解：

（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，

∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，

解得m≤1；

（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，

解方程组

，

解得

，

∴m=x1•x2=

．

18．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．

（1）证明：

方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．

【解答】解：

（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，

∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，

∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣

）2+

，

∴△＞0，

则方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x1•x2=

=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，

∴x1，x2异号，

又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，

若x1＞0，x2＜0，上式化简得：

x1+x2=﹣2，

∴m﹣3=﹣2，即m=1，

方程化为x2+2x﹣1=0，

解得：

x1=﹣1+

，x2=﹣1﹣

，

若x1＜0，x2＞0，上式化简得：

﹣（x1+x2）=﹣2，

∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，

方程化为x2﹣2x﹣25=0，

解得：

x1=1﹣

，x2=1+

．