中级微观经济学1.docx

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中级微观经济学1

第二讲间接效用函数与支出函数

第一节间接效用函数

一、间接效用函数的定义

直接效用函数：

x2

x1

x0

X1

价格和收入发生变化后，消费者最优选择也会发生变化从而带来消费者效用的变化。

也就是说，消费者最大化效用是收入和价格向量的函数。

记这种效用函数为：

间接效用函数：

间接效用函数的政策意义：

通过价格政策（p）和收入政策（y）可以控制消费者行为。

二、间接效用函数的特征：

间接效用函数

1）在

上连续

2）在

上零次齐次性

3）在

上严格递增

4）在

上严格递减

5）在

上拟凹

6）罗伊恒等式：

如果

在

上可导，并且

，有：

间接效用函数

的特征

1、间接效用函数在

上连续

最大值定理：

如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。

含义：

当收入和价格有微量变化时，极大化了的效用也会有微量变化。

2、间接效用函数在

上零次齐次性

间接效用函数在

上零次齐次性：

3、间接效用函数

对于

严格递增，

应用包络定理：

构造拉格朗日函数

根据包络定理，

：

的符号？

4.间接效用函数

关于价格p递减

设

用与（3）同样的方法可证：

〈0

5、间接效用函数

在

上拟凸

定义A1.27：

一个函数

是拟凸函数，当且仅当对于所有

，有：

。

即凸组合的函数值小于其中一个的函数值。

6、罗伊恒等式：

如果

在

上可导，并且

，有：

。

例题：

三、间接效用函数的应用

收入所得税vs.商品税

设效用函数为：

消费者效用最大化：

构造拉格朗日乘数，解得

如果p1=0.25,p2=1,y=2,代入效用函数有：

1、0.5元收入所得税

2、对x1征收0.25元商品税

这时x1的购买量为：

税收总量=2*0.25=0.5。

与所得税相同。

商品税带来的效用损失大于所得税。

为什么？

第二节支出函数

一、支出函数的定义

x*

给定价格

实现某一效用水平

所需的最小支出：

二、希克斯需求函数

支出函数的最优解为希克斯需求函数

，最小支出为

支出函数

为：

两元空间支出最小化：

x2

p0p1

p0

p1

希克斯需求函数（补偿需求函数，或实际收入不变的需求函数）：

效用函数

严格单调递增，所以有唯一的无差异曲线与

相对应，因此可以把所要实现的效用水平

写作

。

可以写为：

支出函数可以表述为在给定价格

下，实现消费束

所带来的效用，所需的最小支出。

三、支出函数

的特征

1.在

取最低效用水平时，支出函数

为零

2.在定义域

上连续

3.对于所有的

，支出函数在

上递增并且关于u无上界

4.在价格

上递增

5.在价格

上一次齐次性

6.如果效用函数严格拟凹，有谢泼特引理：

证明：

7、如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：

。

根据包络定理。

。

。

例子：

消费者的效用函数为

，求希克斯需求函数和支出函数。

解：

构造拉格朗日函数，利用一阶条件，解得希克斯需求函数：

，

四、预算份额

预算份额：

，即花在商品xi上的支出占总收入的份额。

例：

Cobb-Douglass效用函数中的指数的经济含义

Cobb-Douglass效用函数：

求对应的需求函数：

如果

，即预算份额