例题分析：
例1．已知函数
，（教材第20页例1）
（1）求函数的定义域；
（2）求
的值；
（3）当a>0时，求
的值。
分析：
函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。
如果只给出解析式
，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
（解略）
例2．求下列函数的定义域。
（1）
；
（2）
；（3）
分析：
给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。
从上例可以看出，当确定用解析式y=f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
（1）如果f（x）是整式，那么函数的定义域是实数集R；
（2）如果f（x）是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
（3）如果f（x）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
（4）如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；
（5）如果f（x）是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。
由以上分析可知：
函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。
例3．下列函数中，哪个与函数y=x是同一函数？
（书P21例2）
（1）y=（
）2;
（2）y=
;（3）y=
;（4）y=
.
分析：
判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同。
只有完全一致时，这两个函数才算相同。
（解略）
1.2.2函数的表示方法
（Ⅰ）引入问题
1设函数
，则
，若
，则
=。
（II）讲授新知识
函数的三种表示方法
（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：
如
等。
优点：
（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）：
如：
平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。
优点：
不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）：
如：
优点：
直观形象地表示自变量的变化。
（III）例题分析：
例1（书P22）.某种笔记本的单价是5元，买x（
个笔记本需要y元,试用函数的三种表示法表示函数
。
解：
这个函数的定义域是数集
，用解析法可以将函数
表示为
，
。
用列表法可以将函数
表示为
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
图象法略。
说明：
函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。
例2．下表是某校高一
（1）班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。
分析：
画出“成绩”与“测试时间”的函数图象，可以直观地看出：
王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。
张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大。
赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。
例3．作出函数
的图象和
的图象，并分别求出函数的值域。
注：
分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。
例4．国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g时付邮资80分；超过20g不超过40g时付邮资160分；依次类推，每封xg（
）的信函付邮资为：
画出这个函数的图象。
说明：
表示函数的式子也可以不止一个（如例1与例2），对于这类分几个式子表示的函数称为分段函数。
注意它是一个函数，不要把它误认为是“几个函数”。
例5．作出下列各函数的图象：
（1）
；
（2）
对第
（2）小题的函数，试根据
的取值讨论方程
的根的个数问题。
同步练习：
1．在函数
中，若
，则
的值为。
2．已知
，则
=。
映射的概念
（I）复习回顾
1：
前面学习的元素与集合的关系“∈”、“∉”，集合与集合的关系“⊆”、“⊂≠”“⊈”；
2：
在初中学过一些对应的例子
（1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；
（2）对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一有序实数对（x,y）和它对应；
（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
（4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有唯一的抛物线和它对应。
（II）讲授新课
1.映射的概念
a.观察下列对应（投影2）：
（为简明起见，这里的A、B都是有限集合）
（对每个对应都要强调对应法则，集合顺序）
问题1：
这四个对应的共同特点是什么？
对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则ƒ，在集合B中都有确定的元素和它对应。
问题2：
观察图
（2）、（3）、（4），想一想这三个对应有什么共同特点？
这三个对应的共同特点是：
对于左边集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则ƒ，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应。
b.映射的定义
一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则ƒ，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射。
记作：
f：
A→B
由此定义：
（2），（3），（4）三个对应都是A到B的映射，
（1）的对应不是A到B的映射。
（2）f:
x
;（3）f:
x
x2;（4）f:
x
2x
c.象，原象的概念
给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B。
如果在对应法则f的作用下，元素a和元素b对应，则元素b叫做元素a（在f下）的象，元素a叫做元素b（在f下）的原象。
注意：
（1）A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合。
这两个集合具有先后顺序：
符号“f：
A→B”表示A到B的映射，符号“f：
B→A”表示B到A的映射，两者是不同的；
（2）集合A中的元素一定有象，并且象是唯一的（因此
（1）不可以构成映射），但两个（或两个以上）元素可以允许有相同的象（如图（3））；
例：
“A={0,1,2},B={0,1,1/2},f:
取倒数”就不可以构成映射，因为A中元素0在B中无象
（3）集合B中的元素在A中可以没有原象（如图（4）），即使有也可以不唯一（如图（3））；
（4）A={原象}，B
{象}。
d.例题分析：
例：
判断下面的对应是否为集合A到集合B的映射,并说明理由
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}。
f:
;
（2）设A=N*，B={0，1}，f:
；
（3）设A={1，2，3，4}，B={1，
，
}，f:
；
（4）设A={
}，B={0,1,2}，f:
（
;
2.一一映射的概念
问题3：
观察图
（2）、（3）、（4），想一想这三个对
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