初中数学动点问题归纳精品.docx

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初中数学动点问题归纳精品

动点问题

题型方法归纳

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：

等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点

1、（2009年齐齐哈尔市）直线

与坐标轴分别交于

两点，动点

同时从

点出发，同时到达

点，运动停止．点

沿线段

运动，速度为每秒1个单

位长度，点

沿路线

→

→

运动．

（1）直接写出

两点的坐标；

（2）设点

的运动时间为

秒，

的面积为

，求出

与

之间

的函数关系式；

（3）当

时，求出点

的坐标，并直接写出以点

为顶点的平行四边形的第四个顶点

的坐标．

解：

1、A（8，0）B（0，6）

2、当0＜t＜3时，S=t2

当3＜t＜8时，S=3／8（8-t）t

提示：

第

（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；

第（3）问是分类讨论：

已知三定点O、P、Q，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----

OP为边、OQ为边，

OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市）

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，

∠ABC=60º．

（1）求⊙O的直径；

（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；

（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为

，连结EF，当

为何值时，△BEF为直角三角形．

注意：

第（3）问按直角位置分类讨论

3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线

经过点

，抛物线的顶点为

，过

作射线

．过顶点

平行于

轴的直线交射线

于点

，

在

轴正半轴上，连结

．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点

从点

出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线

运动，设点

运动的时间为

．问当

为何值时，四边形

分别为平行四边形？

直角梯形？

等腰梯形？

（3）若

，动点

和动点

分别从点

和点

同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿

和

运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为

，连接

，当

为何值时，四边形

的面积最小？

并求出最小值及此时

的长．

注意：

发现并充分运用特殊角∠DAB=60°

当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。

二、特殊四边形边上动点

4、（2009年吉林省）如图所示，菱形

的边长为6厘米，

．从初始时刻开始，点

、

同时从

点出发，点

以1厘米/秒的速度沿

的方向运动，点

以2厘米/秒的速度沿

的方向运动，当点

运动到

点时，

、

两点同时停止运动，设

、

运动的时间为

秒时，

与

重叠部分的面积为

平方厘米（这里规定：

点和线段是面积为

的三角形），解答下列问题：

（1）点

、

从出发到相遇所用时间是秒；

（2）点

、

从开始运动到停止的过程中，当

是等边三角形时

的值是秒；

（3）求

与

之间的函数关系式．

提示：

第（3）问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类；提醒-----高相等的两个三角形面积比等于底边的比。

5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（

，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．

（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（

），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在

（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

注意：

第

（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类；

第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠ABM互余，画出点P运动过程中，

∠MPB=∠ABM的两种情况，求出t值。

利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.

6、（2009年温州）如图，在平面直角坐标系中，点A（

，0），B（3

，2），C（0，2）．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．

（1）求∠ABC的度数；

（2）当t为何值时，AB∥DF；

（3）设四边形AEFD的面积为S．

①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S<2

时，求m的取值范围（写出答案即可）．

注意：

发现特殊性，DE∥OA

7、（07黄冈）已知：

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且

∠AOC=60°，点B的坐标是

，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设

秒后，直线PQ交OB于点D.

（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（3）当

时，求t的值及此时直线PQ的解析式；

（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与

相似？

当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与

不相似？

请给出你的结论，并加以证明.

8、（08黄冈）已知：

如图，在直角梯形

中，

，以

为原点建立平面直角坐标系，

三点的坐标分别为

，点

为线段

的中点，动点

从点

出发，以每秒1个单位的速度，沿折线

的路线移动，移动的时间为

秒．

（1）求直线

的解析式；

（2）若动点

在线段

上移动，当

为何值时，四边形

的面积是梯形

面积的

？

（3）动点

从点

出发，沿折线

的路线移动过程中，设

的面积为

，请直接写出

与

的函数关系式，并指出自变量

的取值范围；

（4）当动点

在线段

上移动时，能否在线段

上找到一点

，使四边形

为矩形？

请求出此时动点

的坐标；若不能，请说明理由．

9、（09年黄冈市）如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线

与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B.过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t（单位:

秒）

（1）求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;

（2）当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?

请写出计算过程;

（3）当0＜t＜

时,△PQF的面积是否总为定值?

若是,求出此定值,若不是,请说明理由;

（4）当t为何值时,△PQF为等腰三角形?

请写出解答过程．

提示：

第（3）问用相似比的代换，

得PF=OA（定值）。

第（4）问按哪两边相等分类讨论

PQ=PF,

PQ=FQ,

QF=PF.

三、直线上动点

8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数

（

）的图象与

轴交于

两点，与

轴相交于点

．连结

两点的坐标分别为

、

，且当

和

时二次函数的函数值

相等．

（1）求实数

的值；

（2）若点

同时从

点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿

边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为

秒时，连结

，将

沿

翻折，

点恰好落在

边上的

处，求

的值及点

的坐标；

（3）在

（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点

，使得以

为项点的三角形与

相似？

如果存在，请求出点

的坐标；如果不存在，请说明理由．

提示：

第

（2）问发现

特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°

特殊图形四边形BNPM为菱形；

第（3）问注意到△ABC为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC相似的△BNQ，再判断是否在对称轴上。

9、（2009眉山）如图，已知直线

与

轴交于点A，与

轴交于点D，抛物线

与直线交于A、E两点，与

轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）。

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使

的值最大，求出点M的坐标。

提示：

第

（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----

P为直角顶点AE为斜边时，以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P，

A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P，

E为直角顶点时，作法同

；

第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。

10、（2009年兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标

（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在

（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

注意：

第（4）问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论；求t值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。

11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系

中，△ABC三个顶点的坐标分别为

，

，

，延长AC到点D,使CD=

过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.

（1）求D点的坐标；

（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线

将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G为y轴上一点，点P从直线

与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。

（要求：

简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

提示：

第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心；

　　　第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°.见“最短路线问题”专题。

12、（2009年上海市）

已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足

（如图1所示）．

（1）当AD=2，且点

与点

重合时（如图2所示），求线段

的长；

（2）在图8中，联结

．当

，且点

在线段

上时，设点

之间的距离为

，

，其中

表示△APQ的面积，

表示

的面积，求

关于

的函数解析式，并写出