届北京市东城区普通校高三联考零模理科数学试题.docx
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届北京市东城区普通校高三联考零模理科数学试题
北京市东城区普通校2018届高三联考（零模）
数学（理科）
本试卷共150分，考试用长120分钟。
第一部分
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合
集合
则
A.
B.
C.
D.
2.函数
与
在同一直角坐标系中的图象是
ABCD
3.已知函数
的最小正周期为
，则该函数的图象
A.关于点
对称B.关于直线
对称
C.关于点
对称D.关于直线
对称
4.若双曲线
的离心率是
，则实数
的值是
A.
B.
C.
D.
5.某程序框图如图所示,若输出的S=57，则判断框内为
A.
B.
C.
D.
6.设
，函数
的导函数是
，若
是偶函数，则曲线
在原点处的切线方程为
A.
B.
C.
D.
7.如图所示，在边长为1的正方形
中任取一点
，则点
恰好取自阴影部分的概率为
A.
B.
C.
D.
8.从一个三棱柱的6个顶点中任取4个做为顶点，能构成三棱锥的个数设为
；过三棱柱任意两个顶点的直线（15条）中，其中能构成异面直线有
对，则
的取值分别为
A.15，45B.10,30C.12,36D.12,48
第二部分
二、填空题：
本大题共6小题,每小题5分，共30分,把答案填在题中横线上。
9.在
的二项展开式中，
的系数为。
10．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，角
，
，
成等差数列，则
=________；若同时边
，
，
成等比数列，则
=________。
11.若实数
满足
则
的取值范围是。
12．已知圆
（
为参数）与直线
，则直线
截圆
所得的弦长为。
13.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，依次为主视图，侧视图，俯视图，则此几何体的表面积为。
14.关于曲线
，给出下列说法：
①关于坐标轴对称；②关于点
对称；
③关于直线
对称；④是封闭图形，面积大于
.
则其中正确说法的序号是.（注：
把你认为正确的序号都填上）
三、解答题：
本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
已知
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求函数
的单调递增区间.
16.（本题满分13分）
一个袋中装有
个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为
.
（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，求恰有两次编号为3的倍数的概率；
（Ⅱ）若一次从袋中随机抽取
个球，记球的最大编号为
，求随机变量
的分布列和
的数学期望.
17.（本题满分14分）如图，已知菱形
的边长为
，
.将菱形
沿对角线
折起，使
，得到三棱锥
.
（Ⅰ）若点
是棱
的中点，求证:
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）设点
是线段
上一个动点，试确定
点的位置，使得
，并证明你的结论.
18.（本题满分13分）
已知函数
.
（Ⅰ）当
时，求
的单调区间；
（Ⅱ）求
在区间
上的最大值.
19.（本题满分13分）
已知直线
与抛物线
相交于
，
两点，且与圆
相切.
（Ⅰ）求直线
在
轴上截距的取值范围；
（Ⅱ）设
是抛物线的焦点，且
，求直线
的方程.
20.（本题满分14分）在数列
和
中，
，
，
，其中
且
，
.
（Ⅰ）若
，
，求数列
的前
项和；
（Ⅱ）证明：
当
时，数列
中的任意三项都不能构成等比数列；
（Ⅲ）设
，
，设
.当
时，求出相应的集合
.
北京市东城区普通校2018届高三3月联考（零模）
数学理参考答案
一、选择题：
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
D
C
A
B
C
二、填空题：
本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上.（若有两空，第一空3分；第14题多选、错选得0分，少选得3分）
9.-4010.
；
11.
12.
13.
14.①②④
三、解答题：
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.解：
（1）因为
，所以
， （2分）
因为
，所以
， （4分）
=
（6分）
=
=
（7分）
（2）
（8分）
=
（10分）
令
，解得
， （12分）
所以单调递增区间为[
. （13分）
16.解：
（I）从袋中随机抽取1个球，其编号为3的倍数的概率
（2分）
有放回的抽取3次，恰有2次编号为3的倍数的概率为
（6分）
（II）随机变量
所有可能的取值为
. （7分）
，
，
，
所以，随机变量
的分布列为:
（11分）
（13分）
17.解：
（Ⅰ）因为点
是菱形
的对角线的交点,所以
是
的中点.又点
是棱
的中点,所以
.（2分）
因为
平面
平面
所以
平面
. （4分）
（Ⅱ）由题意,
因为
所以
.（5分）又因为菱形
所以
.建立空间直角坐标系
如图所示.
.
所以
（6分）
设平面
的法向量为
则有
即：
令
则
所以
.（8分）
因为
所以
平面
.平面
的法向量与
平行,所以平面
的法向量为
. （9分）
因为二面角
是锐角,
所以二面角
的余弦值为
. （10分）
（Ⅲ）解：
因为
是线段
上一个动点,设
则
所以
、
则
由
得
即
（12分）
解得
或
（13分）
（所以
点是线段
的三等分点,
或
） （14分）
18.解：
（Ⅰ）
（2分）
在区间
上,
；在区间
上
故
的单调递增区间是
单调递减区间是
. （5分）
（Ⅱ）
.
（7分）
①当
时,由（Ⅰ）知
在
上单调递增,
故在
上
（9分）
②当
时,
在区间
上,
；故
在
上单调递增
故在
上
（11分）
③当
时,
在区间
上,
；在区间
上
在
上单调递增,在
上单调递减,（9分）
故在
上
. （13分）
19.解：
（Ⅰ）解：
设直线
的方程为
.由直线
与圆
相切，
得
，化简得
. （2分）
直线
的方程代入
，消去
，得
.（*） （3分）
由直线
与抛物线
相交于
，
两点，得
，即
.
将
代入上式，得
.解得
，或
. （5分）
注意到
，从而有
，或
. （6分）
（Ⅱ）解：
设
，
.由（*）得
，
.
所以
.将
，
代入上式，得
. （10分）
将
，
代入上式，令
，得
.
所以
，即
.解得
，
（舍去）.
故
.
所以直线
的方程为
，或
. （13分）
20.解：
（Ⅰ）因为
所以
（1分）由
得
所以
（3分）因为
且
所以
（4分）
所以
是等差数列,
所以数列
的前
项和
. （5分）
（Ⅱ）由已知
假设
成等比数列,其中
且彼此不等,则
（6分）
所以
所以
（8分）
可得
与
矛盾；假设不成立.
所以数列
中的任意三项都不能构成等比数列. （9分）
（Ⅲ）当
时,设
则
且
设
则
所以
（10分）
因为
且
所以
能被
整除.
（1）当
时,
； （11分）
（2）当
时,
所以
能被
整除. （12分）
（3）当
时,
所以
不能被
整除. （13分）
综上,
时,
； （14分）
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