考研高数经典题目(最新).pdf

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1高等数学部分第一部分函数、极限11）若x0时，（1ax2）141与xsinx是等价无穷小，则a=.【解】（1ax2）141=114ax2+o（x2）1=14ax2+o（x2）;xsinx=x2+o（x2）,故:

a=42）当x0时，f（x）=xsinax与g（x）=x2ln（1bx）等价无穷小，则a，b=【解】f（x）=xsinax=x（ax）+13!

（ax）3+o（x3）;g（x）=x2ln（1bx）=bx3+o（x3）,所以,a=1，b=1/62.【解】1）limx0（cosx）1ln（1+x2）=elimx0ln（cosxln（1+x2）=elimx0tanx）2x（1+x2）=e,2）limx01x3（2+cosx3）x1=limx0exln（2+cosx3）1x3=limx0ln（2+cosx3）x2=limx0ln（1+cosx13）x2=limx0cosx13x2=1/6,3）limx0（1sin2xcos2xx2）=limx0（1+cos2xsin2xcos2xx2）=limx0（1+cos2x（1sin2x1x2）=limx0（1+cos2x（x2sin2xx2sin2x）=limx0（1148cos2x（x4x2sin2x）=11/484）limx0sinxsin（sinx）sinxx4=limx0sinxsinx+16sin3x+o（x3）x3=1/6,5）limx01+In（1+x）2x=limx01+In（1+x）1In（1+x）2In（1+x）x=e2.6）limx0（1+x1ex1x）=limx0ex+x+x21（1ex）x=7）limx0xln（1+x）1cosx=limx0xx0.5x2=0.53.当x0+时，与x等价的无穷小量是（A）1ex.（B）ln1+x1x.（C）1+x1.（D）1cosx【解】（B）因为1exx；1+x10.5x;1cosx0.5x4.设常数a=12，则limnIn（n2na+1n（12a）n=.【解】112a5.若limx0sinxexa（cosxb）=5，则a=,b=.【解】a=1;b=46.设函数f（x）=1etanxarcsinx2,x0ae2x,x0在x=0处连续，则a=.【解】a=27.设有两个数列an,bn，若limnan=0，则（）（A）当n=1bn收敛时，n=1anbn收敛.（B）当n=1bn发散时，n=1anbn发散.1（C）当n=1|bn|收敛时，n=1a2nb2n收敛.（D）当n=1|bn|发散时，n=1a2nb2n发散.【解】（C）8.设an,bn,cn均为非负数列,且limnan=0,limnbn=1,limncn=,则必有（A）anbn对任意n成立.（B）bncn对任意n成立.（C）极限limnancn不存在.（D）极限limnbncn不存在.【解】（D）9设函数f（x）在（,+）内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是（）（A）若xn收敛，则f（xn）收敛.（B）若xn单调，则f（xn）收敛.（C）若f（xn）收敛，则xn收敛（D）若f（xn）单调，则xn收敛.【解】（B）10设0x13,xn+1=xn（3xn）（n=1,2,）,证明xn的极限存在,并求此极限.【解】因为xn+1=xn（3xn）（n=1,2,）,所以0xn+1=xn（3xn）12（xn+（3xn）=1.5,我们可以证明：

因为0xn0的直线，同理在x2时为水平线。

故D正确。

则函数F（x）=x0f（t）dt的图形为16.设数列xn满足0x1,x+1=sinxn（n=1,2,.）。

求:

（）证明limnxn存在,并求之。

（）计算limn（xn+1xn）1xn2【证明】（）因为：

0x1218设函数f（x）=x20ln（2+t）dt则f（x）的零点个数为：

（A）0，（B）1，（C）2，（D）3.【解】（B）191）设y=（1+sinx）x,则dy|x=.2）设y=arctanexlne2xe2x+1,则dydx|x=1=.【解】1）y=（1+sinx）x=exln（1+sinx）,所以y=exln（1+sinx）（ln（1+sinx）+xcosx1+sinx）.故：

dy|x=y|x=dx=dx2）y=arctanexlne2xe2x+1=arctanex+0.5ln（e2x+1）,所以：

y=ex1+e2x+0.52e2xe2x+1=ex11+e2x,故：

dydx|x=1=e11+e220设函数y=f（x）由方程xy+2Inx=y4所确定,则曲线y=f（x）在点（1,1）处的切线方程是.3【解】函数y=f（x）由方程xy+2Inx=y4所确定,y+xy+2x=4y3y,故：

（1,1）点处的导数为：

1+y+2=4y,即：

y=1,在点（1,1）处的切线方程是y=x21曲线sin（xy）+ln（yx）=x在点（0,1）处的切线方程为【解】因为：

sin（xy）+ln（yx）=x，所以cos（xy）（y+xy）+y1yx=1,故：

（0,1）点处的导数为：

1+y1=1,即：

y=1,在点（0,1）处的切线方程是y=x+122设f（x）为不恒等于零的奇函数，且f（0）存在，则函数g（x）=f（x）x（A）x=0处左极限不存在.（B）有跳跃间断点x=0.（C）x=0处右极限不存在.（D）有可去间断点x=0【解】（D）23设函数f（x）=?

x31?

（x）,其中（x）在x=1处连续,则

（1）=0是f（x）在x=1可导的（A）充要条件.（B）必要但非充分条件.（C）充分但非必要条件.（D）既非充分也非必要条件.【解】（A）24设函数f（x）=limnn1+|x|3n,则f（x）在（,+）内（A）处处可导.（B）恰有一个不可导点.（C）恰有两个不可导点.（D）至少有三个不可导点.【解】（C）分别是：

1，-125设函数f（u）可导,y=f（x2）当自变量x在x=1处取得增量x=0.1时,相应的函数增量y的线性主部为0.1,则f

（1）=.（A）1，（B）0.1，（C）1，（D）0.5【解】（A）26设函数f（x）在（0,+）上具有二阶导数，且f（x）0.令un=f（n）（n=1,2,）,则下列结论正确的是：

（A）若u1u2，则un必收敛.（B）若u1u2，则un必发散.（C）若u1u2，则un必收敛.（D）若u1u2，则un必发散.【解】（D）27设函数f（x）在（,+）上有定义,在区间0,2上,f（x）=x（x24）,若对任意的x都满足f（x）=kf（x+2）,其中k为常数.写出f（x）在2,0）上的表达式;

（2）问k为何值时,f（x）在x=0处可导.【解】因为2x0,则0x+22,所以f（x）=kf（x+2）=kf（x+2）（x+2）24）,又f（0）=0,f+（0）=4,f（0）=8k,故:

k=0.528已知曲线的极坐标方程是r=1cos,求该曲线上对应于=6处的切线与法线的直角坐标方程.【解】因为r=1cos,得：

参数方程为4x=（1cos）cosy=（1cos）sin即：

x=coscos2y=sincossin所以：

dydx=coscos2+sin2sin+2sincos由=/6得：

切点坐标（3234,1234）,并且y|=/6=1,故切线与法线的直角坐标方程为：

xy343+54=0;x+y143+14=0;第三部分中值定理与导数应用29设函数f（x）,g（x）在a,b上连续，在（a,b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（a）,f（b）=g（b）,证明：

存在（a,b），使得f（）=g（）.【证明】令：

F（x）=f（x）g（x）,则：

F（a）=F（b）=0,由于函数f（x）,g（x）在a,b上有相等的最大值M，所以，存在x1,x2（a,b）,f（x1）=M,g（x2）=M.1）若x1=x2,则取x1=x2=c得F（c）=0;2）若x10,F（x2）0）,内可导.且limx0+f（x）=A，则f+（0）存在，并且f+（0）=A.【证明】由定义可以证得。

34设函数f（x）连续,且f（0）0,则存在0,使得（A）f（x）在（0,）内单调增加.（B）f（x）在（,0）内单调减少.（C）对任意的x（0,）有f（x）f（0）.（D）对任意的x（,0）有f（x）f（0）.【答】:

（C）35设函数y=f（x）在（0,+）内有界且可导,则（A）当limx+f（x）=0,必有limx+f（x）=0.5（B）当limx+f（x）存在时,必有limx+f（x）=0.（C）当limx0+f（x）=0时,必有limx0+f（x）=0.（D）当limx0+f（x）存在时,必有limx0+f（x）=0.【答】:

（B）36以下四个命题中，正确的是（A）若f（x）在（0,1）内连续,则f（x）在（0,1）内有界.（B）若f（x）在（0,1）内连续,则f（x）在（0,1）内有界.（C）若f（x）在（0,1）内有界,则f（x）在（0,1）内有界.（D）若f（x）在（0,1）内有界,则f（x）在（0,1）内有界.【答】:

（C）38当a取下列哪个值时,函数f（x）=2x39x2+12xa恰有两个不同的零点（A）2（B）4（C）6（D）8【答】:

（D）37.设函数f（x）在（,+）内连续,其导函数的图形如图所示,则f（x）有（A）一个极小值点和两个极大值点.（B）两个极小值点和一个极大值点.（C）两个极小值点和两个极大值点.（D）三个极小值点和一个极大值点.【答】:

（C）38设f（x）=|x（1x）|，则（A）x=0是f（x）的极值点,但（0,0）不是曲线y=f（x）的拐点.（B）x=0不是f（x）的极值点,但（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.（C）x=0是f（x）的极值点,且（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.（D）x=0不是f（x）的极值点,（0,0）也不是曲线y=f（x）的拐点.【答】:

（C）39已知函数f（x）在0,1上连续,在（0,1）内可导,且f（0）=0,f

（1）=1.证明1）存在（0,1）,使得f（）=1;2）存在两个不同的点,（0,1）,使得f（）f（）=1.【证明】:

1）令：

g（x）=f（x）+x1,则：

g（0）=1,g

（1）=1,所以：

存在（0,1）,使得g（）=0,即：

f（）=1.2）分别在区间0,1上应用拉格朗日中值定理即可证得。

40设函数f（x）在0,3上连续，在（0,3）内可导，且f（0）+f

（1）+f

（2）=3,f（3）=1.试证必存在（0,3）,使f（）=0.【证明】:

函数f（x）在0,3上连续，所以函数f（x）在0,2上连续，在0,2上有最大最小值M,m,即：

mf（0）,f

（1）,f

（2）M，故m13（f（0）+6f

（1）+f

（2）M,由介值定理得存在c（0,2），使得f（c）=1,故在c,3上，由f（c）=1=f（3）即可完成证明。

41设（x）=1x+1sinx1（1x）,x（0,12,试补充定义f（0）,使得f（x）在0,12上连续【解】:

因为limx0+f（x）=1所以补充定义f（0）=1即可。

42设函数f（x）在x=0的某邻域内具有一阶连续导数,且f（x）,（0）=0,若af（h）+bf（2h）f（0）在h0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值.【解】:

因为af（h）+bf（2h）f（0）在h0时是比h高阶的无穷小,所以0=limh0（af（h）+bf（2h）f（0）=（a+b1）f（0）,f（0）=0,所以a+b=1,又：

0=limh0（af（h）+bf（2h）f（0）/h）=（a+2b）f（0）,f（0）=0,所以a+2b=0,得：

a=2,b=143.设ab4e2（ba）【证明】:

令g（x）=ln2x4e2x,讨论g（x）即可证得。

44.设0ab，证明不等式2aa2+b2lnblnaba1的最小值，令t（a）=1lnlnaaln2a=0,得：

唯一一驻点a=ee,