考研高数经典题目(最新).pdf

1、1高等数学部分第一部分 函数、极限11）若x 0时，(1 ax2)14 1与xsinx是等价无穷小，则a=.【解】(1 ax2)14 1=1 14ax2+o(x2)1=14ax2+o(x2);xsinx=x2+o(x2),故:a=42）当x 0时，f(x)=x sinax与g(x)=x2ln(1 bx)等价无穷小，则a，b=【解】f(x)=xsinax=x(ax)+13!(ax)3+o(x3);g(x)=x2ln(1bx)=bx3+o(x3),所以,a=1，b=1/62.【解】1)limx0(cosx)1ln(1+x2)=elimx0ln(cos xln(1+x2)=elimx0tan x)2

2、x(1+x2)=e,2)limx01x3(2+cosx3)x 1=limx0ex ln(2+cos x3)1x3=limx0ln(2+cos x3)x2=limx0ln(1+cos x13)x2=limx0cosx13x2=1/6,3)limx0(1sin2xcos2xx2)=limx0(1+cos2xsin2xcos2xx2)=limx0(1+cos2x(1sin2x1x2)=limx0(1+cos2x(x2sin2xx2sin2x)=limx0(1 148cos2x(x4x2sin2x)=1 1/484)limx0sinxsin(sinx)sinxx4=limx0sinxsinx+16si

3、n3x+o(x3)x3=1/6,5)limx01+In(1+x)2x=limx01+In(1+x)1In(1+x)2In(1+x)x=e2.6)limx0(1+x1ex1x)=limx0ex+x+x21(1ex)x=7)limx0 xln(1+x)1cosx=limx0 xx0.5x2=0.53.当x 0+时，与x等价的无穷小量是(A)1 ex.(B)ln1+x1x.(C)1+x 1.(D)1 cosx【解】(B)因为1ex x；1+x1 0.5x;1cosx 0.5x4.设常数a=12，则limnIn(n2na+1n(12a)n=.【解】112a5.若limx0sinxexa(cosx b)

4、=5，则a=,b=.【解】a=1;b=46.设函数f(x)=1etan xarcsinx2,x 0ae2x,x 0在x=0处连续，则a=.【解】a=27.设有两个数列an,bn，若limnan=0，则（）(A)当n=1bn收敛时，n=1anbn收敛.(B)当n=1bn发散时，n=1anbn发散.1(C)当n=1|bn|收敛时，n=1a2nb2n收敛.(D)当n=1|bn|发散时，n=1a2nb2n发散.【解】(C)8.设an,bn,cn均为非负数列,且limnan=0,limnbn=1,limncn=,则必有(A)an bn对任意n成立.(B)bn cn对任意n成立.(C)极限limnancn

5、不存在.(D)极限limnbncn不存在.【解】(D)9设函数f(x)在(,+)内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是（）(A)若xn收敛，则f(xn)收敛.(B)若xn单调，则f(xn)收敛.(C)若f(xn)收敛，则xn收敛(D)若f(xn)单调，则xn收敛.【解】(B)10设0 x1 3,xn+1=xn(3 xn)(n=1,2,),证明xn的极限存在,并求此极限.【解】因为xn+1=xn(3 xn)(n=1,2,),所以0 xn+1=xn(3 xn)12(xn+(3 xn)=1.5,我们可以证明：因为0 xn 0的直线，同理在x 2时为水平线。故D正确。则函数F(x)=x0f(t)dt

6、的图形为16.设数列xn满足0 x1,x+1=sinxn(n=1,2,.)。求:()证明limnxn存在,并求之。()计算limn(xn+1xn)1xn2【证明】()因为：0 x1 218设函数f(x)=x20ln(2+t)dt则f(x)的零点个数为：(A)0，(B)1，(C)2，(D)3.【解】(B)191)设y=(1+sinx)x,则dy|x=.2)设y=arctanex lne2xe2x+1,则dydx|x=1=.【解】1)y=(1+sinx)x=exln(1+sinx),所以y=exln(1+sinx)(ln(1+sinx)+xcosx1+sinx).故：dy|x=y|x=dx=dx2

7、)y=arctanex lne2xe2x+1=arctanex+0.5ln(e2x+1),所以：y=ex1+e2x+0.52e2xe2x+1=ex11+e2x,故：dydx|x=1=e11+e220 设函数y=f(x)由方程xy+2Inx=y4所确定,则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.3【解】函数y=f(x)由方程xy+2Inx=y4所确定,y+xy+2x=4y3y,故：(1,1)点处的导数为：1+y+2=4y,即：y=1,在点(1,1)处的切线方程是y=x21曲线sin(xy)+ln(y x)=x在点(0,1)处的切线方程为【解】因为：sin(xy)+ln(y x)=x，所以c

8、os(xy)(y+xy)+y1yx=1,故：(0,1)点处的导数为：1+y 1=1,即：y=1,在点(0,1)处的切线方程是y=x+122设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f(0)存在，则函数g(x)=f(x)x(A)x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.(C)x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0【解】(D)23 设函数f(x)=?x3 1?(x),其中(x)在x=1处连续,则(1)=0是f(x)在x=1可导的(A)充要条件.(B)必要但非充分条件.(C)充分但非必要条件.(D)既非充分也非必要条件.【解】(A)24设函数f(x)=limnn1+|x|3n,则f(x)在(,

9、+)内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.【解】(C)分别是：1，-125设函数f(u)可导,y=f(x2)当自变量x在x=1处取得增量x=0.1时,相应的函数增量y的线性主部为0.1,则f(1)=.(A)1，(B)0.1，(C)1，(D)0.5【解】(A)26设函数f(x)在(0,+)上具有二阶导数，且f(x)0.令un=f(n)(n=1,2,),则下列结论正确的是：(A)若u1 u2，则un必收敛.(B)若u1 u2，则un必发散.(C)若u1 u2，则un必收敛.(D)若u1 u2，则un必发散.【解】(D)27 设函数f(x)在(,

10、+)上有定义,在区间0,2上,f(x)=x(x24),若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2),其中k为常数.写出f(x)在2,0)上的表达式;(2)问k为何值时,f(x)在x=0处可导.【解】因为2 x 0,则0 x+2 2,所以f(x)=kf(x+2)=kf(x+2)(x+2)2 4),又f(0)=0,f+(0)=4,f(0)=8k,故:k=0.528 已知曲线的极坐标方程是r=1cos,求该曲线上对应于=6处的切线与法线的直角坐标方程.【解】因为r=1 cos,得：参数方程为4x=(1 cos)cosy=(1 cos)sin即：x=cos cos2y=sin cossin所以：dydx

11、=coscos2+sin2sin+2sin cos由=/6得：切点坐标(3234,1234),并且y|=/6=1,故切线与法线的直角坐标方程为：xy343+54=0;x+y143+14=0;第三部分 中值定理与导数应用29设函数f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：存在 (a,b)，使得f()=g().【证明】令：F(x)=f(x)g(x),则：F(a)=F(b)=0,由于函数f(x),g(x)在a,b上有相等的最大值M，所以，存在x1,x2(a,b),f(x1)=M,g(x2)=M.1)若x1=x2,则取

12、x1=x2=c得F(c)=0;2)若x1 0,F(x2)0),内可导.且limx0+f(x)=A，则f+(0)存在，并且f+(0)=A.【证明】由定义可以证得。34设函数f(x)连续,且f(0)0,则存在 0,使得(A)f(x)在(0,)内单调增加.(B)f(x)在(,0)内单调减少.(C)对任意的x (0,)有f(x)f(0).(D)对任意的x (,0)有f(x)f(0).【答】:(C)35设函数y=f(x)在(0,+)内有界且可导,则(A)当limx+f(x)=0,必有limx+f(x)=0.5(B)当limx+f(x)存在时,必有limx+f(x)=0.(C)当limx0+f(x)=0时

13、,必有limx0+f(x)=0.(D)当limx0+f(x)存在时,必有limx0+f(x)=0.【答】:(B)36以下四个命题中，正确的是(A)若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界.(B)若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界.(C)若f(x)在(0,1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界.(D)若f(x)在(0,1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界.【答】:(C)38当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3 9x2+12x a恰有两个不同的零点(A)2(B)4(C)6(D)8【答】:(D)37.设函数f(x)在(,+)内连续,其导函数的图形如

14、图所示,则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.【答】:(C)38设f(x)=|x(1 x)|，则(A)x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.(B)x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(C)x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.【答】:(C)39 已知函数f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明

15、1)存在 (0,1),使得f()=1 ;2)存在两个不同的点,(0,1),使得f()f()=1.【证明】:1)令：g(x)=f(x)+x 1,则：g(0)=1,g(1)=1,所以：存在 (0,1),使得g()=0,即：f()=1 .2)分别在区间0,1上应用拉格朗日中值定理即可证得。40 设函数f(x)在0,3上连续，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在 (0,3),使f()=0.【证明】:函数f(x)在0,3上连续，所以函数f(x)在0,2上连续，在0,2上有最大最小值M,m,即：m f(0),f(1),f(2)M，故m 13(f(0)+6f(1)

16、+f(2)M,由介值定理得存在c (0,2)，使得f(c)=1,故在c,3上，由f(c)=1=f(3)即可完成证明。41设(x)=1x+1sinx1(1x),x (0,12,试补充定义f(0),使得f(x)在0,12上连续【解】:因为limx0+f(x)=1所以补充定义f(0)=1即可。42 设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(x),(0)=0,若af(h)+bf(2h)f(0)在h 0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值.【解】:因为af(h)+bf(2h)f(0)在h 0时是比h高阶的无穷小,所以0=limh0(af(h)+bf(2h)f(0)=(a+b 1)f(0),f(0)=0,所以a+b=1,又：0=limh0(af(h)+bf(2h)f(0)/h)=(a+2b)f(0),f(0)=0,所以a+2b=0,得：a=2,b=143.设 a b 4e2(b a)【证明】:令g(x)=ln2x 4e2x,讨论g(x)即可证得。44.设0 a b，证明不等式2aa2+b2lnblnaba 1的最小值，令t(a)=1lnlnaaln2a=0,得：唯一一驻点a=ee,