抛物线的几何性质(2).ppt

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抛物线习题课（抛物线习题课

（1）普通高中课程标准实验教材选修（普通高中课程标准实验教材选修（2-1）平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线.定点定点F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点.定直线定直线l叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线.一、抛物线的定义一、抛物线的定义即即:

FMlN复习复习注意：

定点注意：

定点不不在定直线上。

在定直线上。

4.到定点到定点（3,5）与定直线与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹的距离相等的点的轨迹是是（）A.圆圆B.抛物线抛物线C.线段线段D.直线直线练习练习解析解析:

（3,5）点在直线点在直线2x+3y-21=0上上,所以到所以到（3,5）与与定直线距离相等的点是过定直线距离相等的点是过（3,5）且与直线垂直的直且与直线垂直的直线线.D图图形形焦焦点点准准线线标准方程标准方程yxoyxoyxoyxo根据下列条件，写出抛物线的标准方程：

根据下列条件，写出抛物线的标准方程：

（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；

（2）准线方程是）准线方程是x=；（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2.y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或或x2=-4y练习练习课本课本P591填表填表:

下列抛物线的焦点坐标和准线方程下列抛物线的焦点坐标和准线方程

（1）y2=20x

（2）x2=y（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程

（1）

（2）（3）（4）（5，0）x=-5（0，）18y=-188x=5（-，0）58（0，-2）y=2练习练习（文）课本（文）课本P592标准标准方程方程图形图形焦点焦点准线准线xxyyooFFxxyyooFFxxyyooFFxxyyooFF范围范围对称对称轴轴顶顶点点离心离心率率例例1:

求适合下列条件的抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程.

（1）过点过点（-3,2）;AOyx解：

当抛物线的焦点在解：

当抛物线的焦点在y轴轴的正半轴上时，把的正半轴上时，把A（-3，2）代入代入x2=2py，得，得p=当焦点在当焦点在x轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A（-3，2）代入代入y2=-2px，得得p=抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为或或题型一题型一求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程

（2）令令x=0,由方程由方程x-2y-4=0得得y=-2,当抛物线的焦点为当抛物线的焦点为F（0,-2）时时,设抛物线方程为设抛物线方程为x2=-2py（p0）,则由则由=2得得p=4,所求抛物线方程为所求抛物线方程为x2=-8y.令令y=0,由方程由方程x-2y-4=0得得x=4,当抛物线的焦点为当抛物线的焦点为F（4,0）时时,设抛物线方程为设抛物线方程为y2=2px（p0）,则由则由=4得得p=8,所求抛物线方程为所求抛物线方程为y2=16x.综上综上,所求抛物线方程为所求抛物线方程为x2=-8y或或y2=16x.题型一题型一求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程例例1:

求适合下列条件的抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程.

（2）焦点在直线焦点在直线x-2y-4=0上上;题型一题型一求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程例例1:

求适合下列条件的抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程.（3）求焦点在求焦点在x轴上轴上,且点且点A（-2,3）到焦点的到焦点的距离是距离是5的抛物线的方程的抛物线的方程,并写出它的焦点坐并写出它的焦点坐标与准线方程标与准线方程.题型二题型二抛物线定义的应用抛物线定义的应用B【变式训练变式训练2】（2010湖南湖南）设抛物线设抛物线y2=8x上一点上一点P到到y轴轴的距离是的距离是4,则点则点P到该抛物线焦点的距离是到该抛物线焦点的距离是（）A.4B.6C.8D.12BM是抛物线是抛物线y2=2px（p0）上）上一点，若点一点，若点M的的横坐标为横坐标为x0，则点则点M到焦点的距离是到焦点的距离是OyxFM这就是抛这就是抛物线的焦物线的焦半径公式半径公式!

练习练习题型四题型四与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题例例6:

已知抛物线已知抛物线x2=4y,点点P是抛物线上的动点是抛物线上的动点,点点A的的坐标为坐标为（12,6）.求点求点P到点到点A的距离与点的距离与点P到到x轴的轴的距离之和的最小值距离之和的最小值.故故|PA|+y=|PA|+|PF|-1,由图可知由图可知,当当APF三点共线时三点共线时,|PA|+|PF|取最小值为取最小值为|AF|=13.故所求距离之和的最小值故所求距离之和的最小值为为|AF|-1=12.（理科（理科P48）变式训练）变式训练3:

（2008辽宁高考辽宁高考）已知点已知点P是抛物线是抛物线y2=2x上的一个动点上的一个动点,则点则点P到点到点（0,2）的距离与的距离与P到该抛物到该抛物线准线的距离之和的最小值为线准线的距离之和的最小值为（）A（文科（文科P40）【变式训练变式训练1】已知抛物线已知抛物线y2=2x的焦的焦点是点是F,点点P是抛物线上的动点是抛物线上的动点,又有点又有点A（3,2）,求求|PA|+|PF|的最小值的最小值,并求出取最小值时并求出取最小值时P点坐标点坐标.题型四题型四与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题（理科理科P5310）题型四题型四与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题题型四题型四与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题（文科（文科P40）【变式训练变式训练2】抛物线抛物线y=x2到直线到直线2x-y=4距离距离最近的点的坐标是最近的点的坐标是_.（1,1）题型四题型四与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题【例例8】斜率为斜率为1的直线经过抛物线的直线经过抛物线y2=4x的焦点的焦点,与抛与抛物线相交于两点物线相交于两点AB,求线段求线段AB的长的长.题型五题型五焦点弦问题焦点弦问题解解方法方法1:

如下图如下图,由抛物线由抛物线方程可知方程可知,焦点焦点F（1,0）,因而因而直线直线AB的方程为的方程为y=x-1,代入代入y2=4x得得x2-6x+1=0,设设A（x1,y1）B（x2,y2）,则则x1+x2=6,x1x2=1题型五题型五焦点弦问题焦点弦问题题型五题型五焦点弦问题焦点弦问题题型五题型五焦点弦问题焦点弦问题（文（文P42）变式训练变式训练3:

过抛物线过抛物线y2=2px（p0）的焦点作倾斜角为的焦点作倾斜角为的的直线直线l,交抛物线于交抛物线于AB两点两点.

（1）求求|AB|;

（2）求求|AB|的最小值的最小值.（理（理P51）题型五题型五焦点弦问题焦点弦问题题型五题型五焦点弦问题焦点弦问题题型六题型六直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系【例例9】直线直线l:

y=kx+1,抛物线抛物线C:

y2=2x,当当k为何值时为何值时,l与与C有有:

（1）一个公共点一个公共点;

（2）两个公共点两个公共点;（3）没有公共点没有公共点.题型六题型六直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系规律技巧规律技巧在判断直线与抛物线只有一个交点时在判断直线与抛物线只有一个交点时,有两种情有两种情况况:

直线与抛物线的对称轴平行直线与抛物线的对称轴平行;利用利用=0,此时直线与此时直线与抛物线相切抛物线相切.题型六题型六直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系规律技巧规律技巧在判断直线与抛物线只有一个交点时在判断直线与抛物线只有一个交点时,有两种情有两种情况况:

直线与抛物线的对称轴平行直线与抛物线的对称轴平行;利用利用=0,此时直线与此时直线与抛物线相切抛物线相切.【练习练习】已知已知抛物线抛物线y2=4x,直线直线l过定点过定点P（-2，1），斜率为，斜率为k.当当k为何值时为何值时,l与抛物线有与抛物线有:

（1）一个公一个公共点共点;

（2）两个公共点两个公共点;（3）没有公共点没有公共点.（课本（课本P62例例5）（文（文P43）（理科（理科P52）例例4:

求过点求过点P（0,1）且与抛物线且与抛物线y2=2x只只有一个公共点的直线方程有一个公共点的直线方程.题型六题型六直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系解解:

如图所示如图所示.

（1）若直线的斜率不存在若直线的斜率不存在,则过点则过点P（0,1）的直线方程为的直线方程为x=0.显然只有一个公共显然只有一个公共点点,即直线即直线x=0与抛物线只有一个公与抛物线只有一个公共点共点.

（2）若直线的斜率存在若直线的斜率存在,设过点设过点P的直线方程为的直线方程为y=kx+1,由由得得k2x2+2（k-1）x+1=0,当当k=0时时,解得解得y=1,即直线即直线y=1与抛物线只有一个公共点与抛物线只有一个公共点.当当k0时由时由=4（k-1）2-4k2=0,得得k=.即直线即直线y=x+1与抛物线只有一个公共点与抛物线只有一个公共点.综上所述综上所述,所求直线方程为所求直线方程为x=0或或y=1或或y=x+1.（理科（理科P52）例）例10：

求以求以（1,-1）为中点的抛物线为中点的抛物线y2=8x的弦的弦所在的直线的方程所在的直线的方程.解解:

设弦的两端点分别为设弦的两端点分别为A（x1,y1）,B（x2,y2）,则则x1+x2=2,y1+y2=-2.又又y21=8x1,y22=8x2,y21-y22=8（x1-x2）,故所求直线方程为故所求直线方程为y+1=-4（x-1）,即即4x+y-3=0.题型六题型六直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系通径通径：

过抛物线的焦点作对称轴的：

过抛物线的焦点作对称轴的垂线与抛物线交于两点，则该两点垂线与抛物线交于两点，则该两点为端点的线段称为抛物线的为端点的线段称为抛物线的通径通径。

（2）

（2）通径长决定抛物线的开口大小通径长决定抛物线的开口大小

（1）

（1）通径长为通径长为演示演示例例3.3.图中是抛物线拱桥，当水面在图中是抛物线拱桥，当水面在时，拱顶离水面时，拱顶离水面，水面宽，水面宽，水，水面宽面宽，水下降多少？

，水下降多少？

xyoABCDEF例例斜率为斜率为1的直线经过抛物线的直线经过抛物线y2=4x的焦点的焦点,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A、B两点两点,求线段求线段AB的长的长.xyoF（,0）x+=0法法法法3|3|ABAB|=|=x11+x22+PP法法1：

利用两点间距离公式：

利用两点间距离公式法2例例5.5.已知已知PP是抛物线是抛物线yy22=4x=4x的一点，的一点，点点A（4A（4，0）0），求，求|PA|PA|的最小值。

的最小值。

xyoA（4,0）A（4,0）PP变式：

若将变式：

若将AA改为（改为（44，11），），|PF|+|PA|PF|+|PA|的最小值是多少？

的最小值是多少？

例例6.6.过抛物线过抛物线的的焦点焦点FF任作一任作一条直线条直线mm，交这条抛物线于，交这条抛物线于AA、BB两点，求证：

两点，求证：

以以ABAB为直径的圆和这为直径的圆和这抛物线的准线抛物线的准线相相切切xyoAABBFFDDCCHHEE