新疆哈密地区第二中学年高二下学期期末考试数学理试题.docx
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新疆哈密地区第二中学年高二下学期期末考试数学理试题
2016-2017学年第二学期高二（18届）数学学科
期末考试试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知复数
（
为虚数单位），则
在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2、若集合
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
3、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：
“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：
“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了（）
A.96里B.48里C.192里D.24里
4、一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）
A
B.
C.
D.
5、已知
，
满足则
的最大值为（）
A.3B.4C.6D.7
6、从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加C，D两科竞赛，则不同的参赛方案种数为
A.24B.48C.72D.120
7、某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。
甲：
我不会证明。
乙：
丙会证明。
丙：
丁会证明。
丁：
我不会证明。
根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）
A.甲B.乙C.丙D.丁
8、某程序框图如图所示，运行该程序时，输出的S值是（ ）
A．44B．70C．102D．140
9、已知双曲线的右顶点为
，过右焦点的直线与
的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点
，则
（）
A.
B.
C.
D.
10、已知正三棱柱
的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于
A.
B.
C.
D.
11、已知函数
，则（）
A.当
，有极大值为B.当
，有极小值为
C.当
，有极大值为0D.当
，有极小值为0
12、如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则
·
等于（ ）
A.
B.
C．2D．3
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知随机变量
，随机变量
，则
．
14、函数
的值域是．
15、已知等差数列
的前
项和
，满足
，则数列
的前
项和
．
16、若经过抛物线
焦点的直线
与圆
相切，则直线
的斜率为．
二、解答题（17题10分，其它各题每题12分，共70分）
17、已知
的内角
的对边分别为
，
．
（1）若
，求
；
（2）若
，
，求
．
18、2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元.为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4.
（
）先求出
的值，再将如图4所示的频率分布直方图绘制完整；
（
）对这100名网购者进一步调查显示：
购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？
参考数据：
参考公式：
，其中
.
19、如图，已知四棱锥
的底面为菱形，
，
，
.
（Ⅰ）线段AB上是否存在点M，使AB
平面PCM？
并给出证明.
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
20、已知点
，椭圆E：
的离心率为
，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为
，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点A的直线
与椭圆E相交于P，Q两点，当
的面积最大时，求直线
的方程．
21、已知函数f（x）=mex﹣lnx﹣1．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程；
（2）当m≥1时，证明：
f（x）＞1．
选做题：
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做则按所做的第一题记分．
22、在直角坐标系
中，已知曲线
（
为参数），在以
为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
，曲线
.
（1）求曲线
与
的交点
的直角坐标；
（2）设点
，
分别为曲线
，
上的动点，求
的最小值.
23、已知
；
（1）判断
的大小；
（2）若
，求证：
中至少有一个的值小于2．
参考答案
一、单项选择
1、【答案】C2、【答案】B3、【答案】A4、【答案】A5、【答案】D
6、【答案】C
【解析】∵从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加A，B两科竞赛，
∴可分为以下几步：
（1）先从5人中选出4人，分为两种情况：
有甲参加和无甲参加.
有甲参加时，选法有：
＝4种；
无甲参加时，选法有：
＝1种.
（2）安排科目
有甲参加时，先排甲，再排其它人.排法有：
＝12种.
无甲参加时，排法有
＝24种.
综上，4×12+1×24=72.
∴不同的参赛方案种数为72
7、【答案】A
【解析】若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意；以此类推。
易得出答案：
A.
8、【答案】C
【解析】解：
模拟执行程序框图，可得
K=1，S=0
S=2，K=4
不满足条件S＞100，S=10，K=7
不满足条件S＞100，S=24，K=10
不满足条件S＞100，S=44，K=13
不满足条件S＞100，S=70，K=16
不满足条件S＞100，S=102，K=19
满足条件S＞100，退出循环，输出S的值为102．
故选：
C．
9、【答案】A
【解析】由双曲线
，可得
故
，渐近线方程为
不妨设
的方程为
代入方程
解得
.故选B．
10、【答案】C
【解析】过
作
，连接
，由于
，故
平面
，所以所求直线与平面所成的角为
，设棱长为
，则
，故
，
.
11、【答案】D
【解析】依题意，原函数类似于二次函数，有唯一零点
，相当于两个相等的实数根，此时函数图像类似二次函数图像，开口向上，且
，故当
时，函数有极小值为
.
12、【答案】B
【解析】
·
＝
·（
－
）＝
·
－
·
，
因为OA＝OB，所以
在
上的投影为
|
|，
所以
·
＝
|
|·|
|＝2，
同理
·
＝
|
|·|
|＝
，
故
·
＝
－2＝
.
二、填空题
13、【答案】
14、【答案】
15、【答案】
【解析】设等差数列
的首项和公差分别为
、
，根据题意建立方程组
，解之得
，数列
的通项公式
，数列
的通项公式
，则
16、【答案】
【解析】抛物线的焦点为
，设直线
的方程为，
，即
，
直线
与圆
相切，
，解得
，故答案为
.
三、解答题
17、【答案】
（1）
；
（2）
.
（1）由已知
，
结合正弦定理得：
，于是
或
（舍）．因为
，所以，
，
．
（2）由题意及余弦定理可知
，
由
（1）
得
即
，联立解得
，
．所以，
.
18、【答案】（
）因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4，所以网购金额在
的频率为
，即
，且
，
从而
，
，相应的频率分布直方图如图3所示：
（
）相应的
列联表为：
由公式
，
因为
，
所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关.
19、【答案】试题解析：
（Ⅰ）当m是AB的中点时，AB⊥平面PCM
∵AP=PB∴AB⊥PM又△ACB中，AB=BC,∠ABC=60°∴△ABC是正三角形∴AB⊥CM
又PM∩CM=M∴AB⊥平面PCM
（Ⅱ）（Ⅱ）由
，
，易求得
，
，
∴
，
以
为坐标原点，以
，
，
分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系
，则
，
，
，
，
∴
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
，
∴
，∴
，
，∴
设平面
的一个法向量为
，则
，
，
∴
，∴
，
，∴
∴
，
∵二面角
为钝角，∴二面角
的余弦值为
.
20、【答案】解：
（1）
．
（2）由题可知，直线
的斜率存在，故设
：
，
，
．
将
代人
中整理得
当
即
时，
，
．
从而
．
点O到直线PQ的距离
，所以
的面积
，
设
，则
，
，
，当且仅当
即
时等号成立，且满足
．所以，当
的面积最大时，
的方程为
或
．
21、【答案】
（1）解：
当m=1时，f（x）=ex﹣lnx﹣1，所以
．…
所以f
（1）=e﹣1，f'
（1）=e﹣1．…所以曲线y=f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程为y﹣（e﹣1）=（e﹣1）（x﹣1）．即y=（e﹣1）x．…
（2）证法一：
当m≥1时，f（x）=mex﹣lnx﹣1≥ex﹣lnx﹣1．
要证明f（x）＞1，只需证明ex﹣lnx﹣2＞0．…
以下给出三种思路证明ex﹣lnx﹣2＞0．
思路1：
设g（x）=ex﹣lnx﹣2，则
．
设
，则
，
所以函数h（x）=
在（0，+∞）上单调递增．…
因为
，g'
（1）=e﹣1＞0，
所以函数
在（0，+∞）上有唯一零点x0，且
．…
因为g'（x0）=0时，所以
，即lnx0=﹣x0．…
当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0．
所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）．…
故
．
综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…
思路2：
先证明ex≥x+1（x∈R）．…
设h（x）=ex﹣x﹣1，则h'（x）=ex﹣1．
因为当x＜0时，h'（x）＜0，当x＞0时，h'（x）＞0，
所以当x＜0时，函数h（x）单调递减，当x＞0时，函数h（x）单调递增．
所以h（x）≥h（0）=0．
所以ex≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…
所以要证明ex﹣lnx﹣2＞0，
只需证明（x+1）﹣lnx﹣2＞0．…
下面证明x﹣lnx﹣1≥0．
设p（x）=x﹣lnx﹣1，则
．
当0＜x＜1时，p'（x）＜0，当x＞1时，p'（x）＞0，
所以当0＜x＜1时，函数p（x）单调递减，当x＞1时，函数p（x）单调递增．
所以p（x）≥p
（1）=0．
所以x﹣lnx﹣1≥0（当且仅当x=1时取等号）．…
由于取等号的条件不同，
所以ex﹣lnx﹣2＞0．
综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…
（若考生先放缩lnx，或ex、lnx同时放缩，请参考此思路给分！
）
思路3：
先证明ex﹣lnx＞2．
因为曲线y=ex与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，
设直线x=t（t＞0）与曲线y
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