自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案.docx

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自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案

1、已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求

证：

是偶函数。

2、已知f（x）是定义在（-∞,+∞）上的不恒为零的函数,且对定义域的任意x,y,f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y）.

（1）求f

（1）,f（-1）的值;

（2）判断f（x）的奇偶性,并说明理由.

3、函数f（x）对任意x､y∈R,总有f（x）+f（y）=f（x+y）,且当x>0时,

（1）判断并证明f（x）在区间（-∞,+∞）上的单调性;

（2）求f（x）在[-3,3]上的最大值和最小值.

4、已知函数f（x）在（－1，1）上有定义，f（

）=－1,当且仅当0

）,试证明

（1）f（x）为奇函数；

（2）f（x）在（－1，1）上单调递减

5、已知

是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的

都满足:

.

（1）求

的值;

（2）判断

的奇偶性,并证明你的结论;

6、定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b），

（1）求证：

f（0）=1；

（2）求证：

对任意的x∈R，恒有f（x）>0；

（3）证明：

f（x）是R上的增函数；

（4）若f（x）·f（2x-x2）>1，求x的取值围。

7、已知函数

的定义域为R,对任意实数

都有

且

当

时,

>0.

（1）求

;

（2）判断函数

的单调性,并证明.

8、函数

的定义域为R,并满足以下条件:

①对任意

有

>0;②对任意

有

;③

.

（1）求

的值;

（2）求证:

在R上是单调减函数;

9、已知函数

的定义域为R,对任意实数

都有

且当

时,

.

（1）证明:

;

（2）证明:

在R上单调递减;

10、函数

对于x>0有意义，且满足条件

减函数。

（1）证明：

；

（2）若

成立，求x的取值围。

11、定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b），

（3）求证：

f（0）=1；

（4）求证：

对任意的x∈R，恒有f（x）>0；

（3）证明：

f（x）是R上的增函数；

（4）若f（x）·f（2x-x2）>1，求x的取值围。

12、已知函数

在R上有定义，对任意的

有

且

（1）求证：

为奇函数

（2）若

，求

的值

13、已知函数

对任意实数

恒有

且当x＞0，

（1）判断

的奇偶性；

（2）求

在区间[－3,3]上的最大值；

（3）解关于

的不等式

14、定义在R上的函数f（x）对任意实数a、b都有

f（a+b）+f（a－b）=2f（a）·f（b）成立，且

。

（1）求f（0）的值；

（2）试判断f（x）的奇偶性；

15、已知定义在

上的函数

满足：

（1）值域为

，且当

时，

；

（2）对于定义域任意的实数

，均满足：

试回答下列问题：

（Ⅰ）试求

的值；

（Ⅱ）判断并证明函数

的单调性；

16、定义域为R的函数f（x）满足：

对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立.

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；

（2）证明f（x）为减函数；若函数f（x）在[-3，3）上总有f（x）≤6成立，试确定f

（1）应满足的条件；

参考答案

1、分析：

在中，令，得

令，得于是

故是偶函数

2、解析:

（1）∵f（x）对任意x,y都有

f（xy）=yf（x）+xf（y）,

令x=y=1,有f（1×1）=1·f

（1）+1·f

（1）.

∴f

（1）=0,令x=y=-1,有

f[（-1）×（-1）]=（-1）·f（-1）+（-1）·f（-1）,

∴f（-1）=0.

（2）∵f（x）对任意x,y都有f（xy）=yf（x）+xf（y）,

令y=-1,有f（-x）=-f（x）+xf（-1）.

将f（-1）=0代入,得f（-x）=-f（x）.

∴函数f（x）是（-∞,+∞）上的奇函数.

3、解析:

（1）令x=y=0,f（0）=0,令x=-y,可得f（-x）=-f（x）,

设x1､x2∈（-∞,+∞）且x1>x2,

则f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）

∵x1>x2,∴x1-x2>0.又∵x>0时,f（x）<0.

∴f（x1-x2）<0.即f（x1）-f（x2）<0.

由定义可知f（x）在区间（-∞,+∞）上为单调递减函数.

（2）∵f（x）在区间（-∞,+∞）上是减函数,

∴f（x）在[-3,3]上也是减函数.∴f（-3）最大,f（3）最小.

f（-3）=-f（3）=2.即f（x）在[-3,3]上最大值为2,最小值为-2.

4、思路分析：

对于

（1），获得f（0）的值进而取x=－y是解题关键；对于

（2），判定

的围是焦点

证明

（1）由f（x）+f（y）=f（

）可令x=y=0,得f（0）=0,

令y=－x,得f（x）+f（－x）=f（

）=f（0）=0

∴f（x）=－f（－x）

∴f（x）为奇函数

（2）先证f（x）在（0，1）上单调递减

令0

）

∵00,1－x1x2>0，∴

>0,

又（x2－x1）－（1－x2x1）=（x2－1）（x1+1）<0，∴x2－x1<1－x2x1,

∴0<

<1,由题意知f（

）<0，即　f（x2）

∴f（x）在（0，1）上为减函数，又f（x）为奇函数且f（0）=0

∴f（x）在（－1，1）上为减函数

5、

（1）解：

令

，则

令

，则

（2）证明：

令

，则

，∵

，∴

令

，则

∴

是奇函数。

6、解：

（1）令a=b=0，则f（0）=[f（0）]2∵f（0）≠0∴f（0）=1

（2）令a=x，b=-x则f（0）=f（x）f（-x）∴

由已知x>0时，f（x）>1>0，当x<0时，-x>0，f（-x）>0

∴

又x=0时，f（0）=1>0

∴对任意x∈R，f（x）>0

（3）任取x2>x1，则f（x2）>0，f（x1）>0，x2-x1>0

∴

∴f（x2）>f（x1）∴f（x）在R上是增函数

（4）f（x）·f（2x-x2）=f[x+（2x-x2）]=f（-x2+3x）又1=f（0），

f（x）在R上递增

∴由f（3x-x2）>f（0）得：

3x-x2>0∴0

7、

（1）解：

令

，则

（2）任取

则

=

∴

∴函数

是R上的单调增函数.

8、

（1）解:

∵对任意

有

>0,∴令

得,

（2）任取任取

则令

故

∵函数

的定义域为R,并满足以下条件:

①对任意

有

>0;②对

任意

有

;③

∴

∴

∴函数

是R上的单调减函数.

9、解：

（1）证明:

令

则

∵当

时,

故

∴

∵当

时,

∴当

时,

则

（2）证明:

任取

则

∵

∴0<

故

<0,又∵

∴

故

∴函数

是R上的单调减函数.

10、

（1）证明：

令

，则

，故

（2）∵

，令

，则

，

∴

∴

成立的x的取值围是

。

11、解

（1）令a=b=0，则f（0）=[f（0）]2∵f（0）≠0∴f（0）=1

（2）令a=x，b=-x则f（0）=f（x）f（-x）∴

由已知x>0时，f（x）>1>0，当x<0时，-x>0，f（-x）>0

∴

又x=0时，f（0）=1>0

∴对任意x∈R，f（x）>0

（3）任取x2>x1，则f（x2）>0，f（x1）>0，x2-x1>0

∴

∴f（x2）>f（x1）∴f（x）在R上是增函数

（4）f（x）·f（2x-x2）=f[x+（2x-x2）]=f（-x2+3x）又1=f（0），

f（x）在R上递增

∴由f（3x-x2）>f（0）得：

3x-x2>0∴0

12、解：

（1）对

，令x=u-v则有

（2）f（-x）=f（v-u）=f（v）g（u）-g（v）f（u）=f（u-v）=-[f（u）g（v）-

g（u）f（v）]=-f（x）

（2）

f

（2）=f{1-（-1）}=f

（1）g（-1）-g

（1）f（-1）=f

（1）g（-1）+g

（1）f

（1）=f

（1）{g（-1）+g

（1）}

∵f

（2）=f

（1）≠0

∴g（-1）+g

（1）=1

13、解

（1）取

则

取

对任意

恒成立∴

为奇函数.

（2）任取

，则

www.ks5u

又

为奇函数

∴

在（－∞，+∞）上是减函数.

对任意

，恒有

而

∴

在[－3，3]上的最大值为6

（3）∵

为奇函数，∴整理原式得

进一步可得

而

在（－∞，+∞）上是减函数，

当

时，

当

时，

当

时，

当

时,

当a>2时，

14、解：

（1）令a=b=0

则f（0）+f（0）=2f（0）·f（0）

所以2f（0）·[f（0）－1]=0

又因为

，所以f（0）=1

（2）令a=0，b=x，则f（x）+f（－x）=2f（0）·f（x）

由f（0）=1可得f（－x）=f（x）

所以f（x）是R上的偶函数。

15、解：

（Ⅰ）在

中，令

，则有

．即：

．也即：

．

由于函数

的值域为

，所以，

，所以

．

（Ⅱ）函数

的单调性必然涉及到

，于是，由已知

，我们可以联想到：

是否有

？

（＊）

这个问题实际上是：

是否成立？

为此，我们首先考虑函数

的奇偶性，也即

的关系．由于

，所以，在

中，令

，得

．所以，函数

为奇函数．故（＊）式成立．所以，

．任取

，且

，则

，故

且

．所以，

，所以，函数

在R上单调递减．

16、解:

（1）由已知对于任意x∈R，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立

令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0

令x=-y，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=0∴对于任意x，都有f（-x）=-f（x）∴f（x）是奇函数.

（2）设任意x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，由已知f（x2-x1）＜0

（1）

又f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）

（2）

由

（1）

（2）得f（x1）＞f（x2）,根据函数单调性的定义知f（x0在（-∞，+∞）上是减函数.

∴f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-3）.要使f（x）≤6恒成立，当且仅当f（-3）≤6，

又∵f（-3）=-f（3）=-f（2+1）=-[f

（2）+f

（1）]=-[f

（1）+f

（1）+f

（1）]=-3f

（1），

∴f

（1）≥-2.

（3）

f（ax2）-f（x）＞

f（a2x）-f（a）

f（ax2）-f（a2x）＞n[f（x）-f（a）]

f（ax2-a2x）＞nf（x-a）（10分）

由已知得：

f