概率论和数理统计第二章课后习题答案解析.docx

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概率论和数理统计第二章课后习题答案解析

概率论与数理统计课后习题答案

第二章

1、一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出得3只球中得最大号码,写出随机变量X得分布律、

【解】

故所求分布律为

0、1

0、3

0、6

2、设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出得次品个数,求:

（1）X得分布律;

（2）X得分布函数并作图;

（3）

、

【解】

故X得分布律为

（2）当x<0时,F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时,F（x）=P（X≤x）=P（X=0）=

当1≤x<2时,F（x）=P（X≤x）=P（X=0）+P（X=1）=

当x≥2时,F（x）=P（X≤x）=1

故X得分布函数

（3）

3、射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0、8,求3次射击中击中目标得次数得分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次得概率、

【解】

设X表示击中目标得次数、则X=0,1,2,3、

故X得分布律为

0、008

0、096

0、384

0、512

分布函数

4、

（1）设随机变量X得分布律为

P{X=k}=,

其中k=0,1,2,…,λ＞0为常数,试确定常数a、

（2）设随机变量X得分布律为

P{X=k}=a/N,k=1,2,…,N,

试确定常数a、

【解】

（1）由分布律得性质知

故

（2）由分布律得性质知

即、

5、甲、乙两人投篮,投中得概率分别为0、6,0、7,今各投3次,求:

（1）两人投中次数相等得概率;

（2）甲比乙投中次数多得概率、

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b（3,0、6）,Y~b（3,0、7）

（1）

（2）

=0、243

6、设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落得概率设为0、02,且设各飞机降落就是相互独立得、试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道得概率小于0、01（每条跑道只能允许一架飞机降落）？

【解】设X为某一时刻需立即降落得飞机数,则X~b（200,0、02）,设机场需配备N条跑道,则有

即

利用泊松近似

查表得N≥9、故机场至少应配备9条跑道、

7、有一繁忙得汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天得某时段出事故得概率为0、0001,在某天得该时段内有1000辆汽车通过,问出事故得次数不小于2得概率就是多少（利用泊松定理）？

【解】设X表示出事故得次数,则X~b（1000,0、0001）

8、已知在五重贝努里试验中成功得次数X满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}、

【解】设在每次试验中成功得概率为p,则

故

所以、

9、设事件A在每一次试验中发生得概率为0、3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,

（1）进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号得概率;

（2）进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号得概率、

【解】

（1）设X表示5次独立试验中A发生得次数,则X~6（5,0、3）

（2）令Y表示7次独立试验中A发生得次数,则Y~b（7,0、3）

10、某公安局在长度为t得时间间隔内收到得紧急呼救得次数X服从参数为（1/2）t得泊松分布,而与时间间隔起点无关（时间以小时计）、

（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救得概率;

（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救得概率、

【解】

（1）

（2）

11、设P{X=k}=,k=0,1,2

P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4

分别为随机变量X,Y得概率分布,如果已知P{X≥1}=,试求P{Y≥1}、

【解】因为,故、

而

故得

即

从而

12、某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误得概率为0、001,试求在这2000册书中恰有5册错误得概率、

【解】令X为2000册书中错误得册数,则X~b（2000,0、001）、利用泊松近似计算,

得

13、进行某种试验,成功得概率为,失败得概率为、以X表示试验首次成功所需试验得次数,试写出X得分布律,并计算X取偶数得概率、

【解】

14、有2500名同一年龄与同社会阶层得人参加了保险公司得人寿保险、在一年中每个人死亡得概率为0、002,每个参加保险得人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金、求:

（1）保险公司亏本得概率;

（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元得概率、

【解】以“年”为单位来考虑、

（1）在1月1日,保险公司总收入为2500×12=30000元、

设1年中死亡人数为X,则X~b（2500,0、002）,则所求概率为

由于n很大,p很小,λ=np=5,故用泊松近似,有

（2）P（保险公司获利不少于10000）

即保险公司获利不少于10000元得概率在98%以上

P（保险公司获利不少于20000）

即保险公司获利不少于20000元得概率约为62%

15、已知随机变量X得密度函数为

f（x）=Ae|x|,∞

求:

（1）A值;

（2）P{0

【解】

（1）由得

故、

（2）

（3）当x<0时,

当x≥0时,

故

16、设某种仪器内装有三只同样得电子管,电子管使用寿命X得密度函数为

f（x）=

求:

（1）在开始150小时内没有电子管损坏得概率;

（2）在这段时间内有一只电子管损坏得概率;

（3）F（x）、

【解】

（1）

（2）

（3）当x<100时F（x）=0

当x≥100时

故

17、在区间［0,a］上任意投掷一个质点,以X表示这质点得坐标,设这质点落在［0,a］中任意小区间内得概率与这小区间长度成正比例,试求X得分布函数、

【解】由题意知X~∪[0,a],密度函数为

故当x<0时F（x）=0

当0≤x≤a时

当x>a时,F（x）=1

即分布函数

18、设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布、现对X进行三次独立观测,求至少有两次得观测值大于3得概率、

【解】X~U[2,5],即

故所求概率为

19、设顾客在某银行得窗口等待服务得时间X（以分钟计）服从指数分布、某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟她就离开、她一个月要到银行5次,以Y表示一个月内她未等到服务而离开窗口得次数,试写出Y得分布律,并求P{Y≥1}、

【解】依题意知,即其密度函数为

该顾客未等到服务而离开得概率为

即其分布律为

20、某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走、第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服从N（40,102）;第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N（50,42）、

（1）若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车得把握大些？

（2）又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些？

【解】

（1）若走第一条路,X~N（40,102）,则

若走第二条路,X~N（50,42）,则

故走第二条路乘上火车得把握大些、

（2）若X~N（40,102）,则

若X~N（50,42）,则

故走第一条路乘上火车得把握大些、

21、设X~N（3,22）,

（1）求P{2

（2）确定c使P{X＞c}=P{X≤c}、

【解】

（1）

（2）c=3

22、由某机器生产得螺栓长度（cm）X~N（10、05,0、062）,规定长度在10、05±0、12内为合格品,求一螺栓为不合格品得概率、

【解】

23、一工厂生产得电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160,σ2）,若要求P{120＜X≤200}≥0、8,允许σ最大不超过多少？

【解】

故

24、设随机变量X分布函数为

F（x）=

（1）求常数A,B;

（2）求P{X≤2},P{X＞3};

（3）求分布密度f（x）、

【解】

（1）由得

（2）

（3）

25、设随机变量X得概率密度为

f（x）=

求X得分布函数F（x）,并画出f（x）及F（x）、

【解】当x<0时F（x）=0

当0≤x<1时

当1≤x<2时

当x≥2时

故

26、设随机变量X得密度函数为

（1）f（x）=ae|x|,λ>0;

（2）f（x）=

试确定常数a,b,并求其分布函数F（x）、

【解】

（1）由知

故

即密度函数为

当x≤0时

当x>0时

故其分布函数

（2）由

得b=1

即X得密度函数为

当x≤0时F（x）=0

当0

当1≤x<2时

当x≥2时F（x）=1

故其分布函数为

27、求标准正态分布得上分位点,

（1）=0、01,求;

（2）=0、003,求,、

【解】

（1）

即

故

（2）由得

即

查表得

由得

即

查表得

28、设随机变量X得分布律为

21013

1/51/61/51/1511/30

求Y=X2得分布律、

【解】Y可取得值为0,1,4,9

故Y得分布律为

0149

1/57/301/511/30

29、设P{X=k}=k,k=1,2,…,令

求随机变量X得函数Y得分布律、

【解】

30、设X~N（0,1）、

（1）求Y=eX得概率密度;

（2）求Y=2X2+1得概率密度;

（3）求Y=｜X｜得概率密度、

【解】

（1）当y≤0时,

当y>0时,

故

（2）

当y≤1时

当y>1时

故

（3）

当y≤0时

当y>0时

故

31、设随机变量X~U（0,1）,试求:

（1）Y=eX得分布函数及密度函数;

（2）Z=2lnX得分布函数及密度函数、

【解】

（1）

故

当时

当1

当y≥e时

即分布函数

故Y得密度函数为

（2）由P（0

当z≤0时,

当z>0时,

即分布函数

故Z得密度函数为

32、设随机变量X得密度函数为

f（x）=

试求Y=sinX得密度函数、

【解】

当y≤0时,

当0

当y≥1时,

故Y得密度函数为

33、设随机变量X得分布函数如下:

试填上

（1）,

（2）,（3）项、

【解】由知②填1。

由右连续性知,故①为0。

从而③亦为0。

即

34、同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现6点为止,求抛掷次数X得分布律、

【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。

（i=1,2）,P（Ai）=、且A1与A2相互独立。

再设C={每次抛掷出现6点}。

则

故抛掷次数X服从参数为得几何分布。

35、随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次得概率不小于0、9?

【解】令X为0出现得次数,设数字序列中要包含n个数字,则

X~b（n,0、1）

即

得n≥2

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