概率论和数理统计第二章课后习题答案解析.docx

1、概率论和数理统计第二章课后习题答案解析概率论与数理统计课后习题答案第二章 1、一袋中有5 只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出得3只球中得最 大号码,写出随机变量X得分布律、【解】 故所求分布律 为X 345P 0、10、30、62、设在15只同 类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出 得次品个数,求:(1) X得分 布律;(2) X得分 布函数并作图;(3) 、【解】 故X得分布律为 X 012P (2) 当x0时, F(x)=P(Xx)=0当0x1时 ,F(x)=P(Xx)=P(X=0)= 当1x2时 ,F(x)=P(X

2、x)=P(X=0)+P(X=1)=当x2时, F(x)=P(Xx)=1故X得分布函 数 (3) 3、射手向目标独立 地进行了3次射击,每次击中率为0、8,求3次射击中击中目标得次数得分布律及分布函 数,并求3次射击中至少击中2次得概率、【解】 设X表示击中目标得次数、则X=0,1,2,3、 故X得 分布律为X 0123P0、0080、0960、3840、512 分布函数 4、(1) 设随机变量X得分布律为 PX=k=, 其中k=0,1,2,0为常数,试确定常数a、 (2) 设随机变量X得分布律为 PX=k=a/N, k=1,2,N, 试确定常数a、 【解】(1) 由分布律得性质知 故 (2)

3、由分布律得性质知 即 、 5、甲、乙两人投篮,投中得概率分别为0、6,0、7,今各投3次,求: (1) 两人投中次数相等得概率; (2) 甲比乙投中次数多得概率、 【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则Xb(3,0、6),Yb(3,0、7) (1) + (2) =0、243 6、设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落得概率设为0、02,且设各飞机降落就是相互独立得、试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道得概率小于0、01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【 解】设X为某一时刻需立即降落得飞机数,则Xb(200,0、02),设机场需配备N

4、条跑道,则有 即 利用泊松近似 查表得N9、故机场至少应配备9条跑道、7、有 一繁忙得汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天得某时段出事故得概率为0、000 1,在某天得该时段内有1000辆汽车通过,问出事故得次数不小于2得概率就是多少(利用泊 松定理)？【解】设X表示出事故得次数,则Xb(1000,0、0 001)8、已知在五重贝努里试验中成功得次数X满足PX= 1=PX=2,求概率PX=4、【解】设在每次试验中成功得概率为p,则 故 所以 、 9、设事件A在每一次试验中发生得概率为0、3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号得概率; (

5、2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号得概率、 【解】(1) 设X表示5次独立试验中A发生得次数,则X6(5,0、3) (2) 令Y表示7次独立试验中A发生得次数,则Yb(7,0、3) 10、某公安局在长度为t得时间间隔内收到得紧急呼救得次数X服从参数为(1/2)t得泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计)、(1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救得概率;( 2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救得概率、【解】(1 ) (2) 11、设P X=k=, k=0,1,2PY=m= , m=0,1,2,3,4分别为随机变量X,Y得概率分布,如果已知PX1=,试求PY1、

6、【解】因为,故、而 故得 即 从而 12、某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误得概率为0、001,试求在这2000册书中恰有5册错误得概率、【解】令X为2000册书中错误得册数,则Xb(2000,0、001)、利用泊松近似计算,得 13、进行某种试验,成功得概率为,失败得概率为、以X表示试验首次成功所需试验得次数,试写出X得分布律,并计算X取偶数得概率、【解】14、有2500名同一年龄与同社会阶层得人参加了保险公司得人寿保险、在一年中每个人死亡得概率为0、002,每个参加保险得人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金、求:(1) 保险公司亏本得概率

7、;(2) 保险公司获利分别不少于10000元、20000元得概率、【解】以“年”为单位来考虑、(1) 在1月1日,保险公司总收入为250012=30000元、设1年中死亡人数为X,则Xb(2500,0、002),则所求概率为由于n很大,p很小,=np=5,故用泊松近似,有(2) P(保险公司获利不少于10000) 即保险公司获利不少于10000元得概率在98%以上 P(保险公司获利不少于20000) 即保险公司获利不少于20000元得概率约为62% 15、已知随机变量X得密度函数为f(x)=Ae |x|, x+,求:(1)A值;(2)P0X1; (3) F(x)、【解】(1) 由得故 、(2)

8、 (3) 当x0时,当x0时, 故 16、设某种仪器内装有三只同样得电子管,电子管使用寿命X得密度函数为f(x)=求:(1) 在开始150小时内没有电子管损坏得概率;(2) 在这段时间内有一只电子管损坏得概率;(3) F(x)、【解】(1) (2) (3) 当x100时F(x)=0当x100时 故 17、在区间0,a上任意投掷一个质点,以X表示这质点得坐标,设这质点落在0,a中任意小区间内得概率与这小区间长度成正比例,试求X得分布函数、【解】 由题意知X0,a,密度函数为故当xa时,F(x)=1即分布函数18、设随机变量X在2,5上服从均匀分布、现对X进行三次独立观测,求至少有两次得观测值大于

9、3得概率、【解】XU2,5,即故所求概率为19、设顾客在某银行得窗口等待服务得时间X(以分钟计)服从指数分布、某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟她就离开、她一个月要到银行5次,以Y表示一个月内她未等到服务而离开窗口得次数,试写出Y得分布律,并求PY1、【解】依题意知,即其密度函数为该顾客未等到服务而离开得概率为,即其分布律为20、某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走、第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服从N(40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42)、(1) 若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车得把握大些？(2) 又若离火车开车时间只有45分

10、钟,问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1) 若走第一条路,XN(40,102),则若走第二条路,XN(50,42),则+故走第二条路乘上火车得把握大些、(2) 若XN(40,102),则若XN(50,42),则 故走第一条路乘上火车得把握大些、21、设XN(3,22),(1) 求P2X5,P 4X10,PX2,PX3;(2) 确定c使PXc=PXc、【解】(1) (2) c=322、由某机器生产得螺栓长度(cm)XN(10、05,0、062),规定长度在10、050、12内为合格品,求一螺栓为不合格品得概率、【解】 23、一工厂生产得电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,2),若要求

11、P120X2000、8,允许最大不超过多少？【解】 故 24、设随机变量X分布函数为F(x)=(1) 求常数A,B;(2) 求PX2,PX3;(3) 求分布密度f(x)、【解】(1)由得(2) (3) 25、设随机变量X得概率密度为f(x)=求X得分布函数F(x),并画出f(x)及F(x)、【解】当x0时F(x)=0当0x1时 当1x0;(2) f(x)=试确定常数a,b,并求其分布函数F(x)、【解】(1) 由知故 即密度函数为 当x0时当x0时 故其分布函数(2) 由得 b=1即X得密度函数为当x0时F(x)=0当0x1时 当1x0时, 故 (2)当y1时当y1时 故 (3) 当y0时当y

12、0时 故31、设随机变量XU(0,1),试求:(1) Y=eX得分布函数及密度函数;(2) Z= 2lnX得分布函数及密度函数、【解】(1) 故 当时当1ye时当ye时即分布函数故Y得密度函数为(2) 由P(0X0时, 即分布函数故Z得密度函数为32、设随机变量X得密度函数为f(x)=试求Y=sinX得密度函数、【解】当y0时,当0y1时, 当y1时,故Y得密度函数为33、设随机变量X得分布函数如下:试填上(1),(2),(3)项、【解】由知填1。由右连续性知,故为0。从而亦为0。即34、同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现6点为止,求抛掷次数X得分布律、【解】设Ai=第i枚骰子出现6点。(i=1,2),P(Ai)=、且A1与A2相互独立。再设C=每次抛掷出现6点。则 故抛掷次数X服从参数为得几何分布。35、随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次得概率不小于0、9?【解】令X为0出现得次数,设数字序列中要包含n个数字,则Xb(n,0、1)即 得 n2