物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的精确解_精品文档.pdf

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1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http:

/兰州大学学报（自然科学版）,1996,32（3）:

3136JOURNALOFLANZHOUUNIVERSITY（NaturalSciences）物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的精确解周宇斌王明亮（兰州大学数学系,兰州730000）摘要用齐次平衡方法求出了由实际物理问题引出的一个非线性耦合偏微分方程组的含有任意函数的精确解;利用这个结果还求出了该方程组的初值边值问题的精确解.关键词非线性偏微分方程组齐次平衡方法精确解初值-边值问题中图法分类号O175120引言当一束光照射均匀分布有感光分子的液体或胶片时,则引出一个非线性偶合的偏微分方程组15I5x=-IN,（011）5N5t=b5I5x,（012）其中:

I=I（x,t）和N=N（x,t）分别表示光强和感光分子的密度,a和b分别表示吸收常数和比例常数,x和t分别表示空间坐标和时间坐标.文献1利用通常的微分和积分技巧导出了方程组（011）和（012）的一个特殊的初值-边值问题（初值和边值均为常数）的解;本文的目的是利用齐次平衡方法2,3求出方程组（011）和（012）的含有任意函数的精确解;依据这个结果,进而求出了方程组（011）和（012）的一般初值边值问题（边值与初值均为任意函数）的精确解.我们讨论方程组（011）和（012）的方法与所得结果均比文献1更具一般性.1精确解现在用齐次平衡方法求方程组（011）和（012）的精确解.为此我们设方程组（011）和（012）的解具下形式I（x,t）=5m+nf（）5xm5tn+f（）关于x和t的低于m+n阶的某些偏导数的线性组合=f（m+n）（）mxnt+（x,t）的各种偏导数为变元的次数低于m+n的某多项式（不管f及其各阶导数）,（111）收稿日期:

1996203220.国家自然科学基金和甘肃省自然科学基金资助项目.1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http:

/N（x,t）=5p+qg（）5xp5tq+=g（p+q）pxqt+,（112）其中:

m,n,p和q是非负整数,f（）和g（）是适当光滑的单变元函数,=（x,t）,它们都是待定的.（112）式中未写出的部分与（111）式的相应部分类似.为简单计,这里以及今后将省去这些类似的部分,也不再说明.下面我们的任务是求非负整数m,n,p和q,单变元函数f（）和g（）,函数=（x,t）以及确定（111）和（112）中线性组合的系数,使（111）和（112）满足方程组（011）和（012）.由（111）和（112）易计算出方程（011）和（012）中的各项为Ix=f（m+n+1）m+1xnt+（113）Nt=g（p+q+1）pxq+lt+（114）NI=f（m+n）g（p+q）m+pxn+qt+（115）为使（011）和（012）中各自的项能分别平衡,我们应分别要求（113）与（115）中的的偏导数的最高幂次相等.（113）和（115）中的的偏导数的最高幂次相等得m+1=m+p,n=n+q,p=m+1,q+1=n,由此解得p=1,q=0,m=0,n=1.（116）将（116）代入（111）及（112）,则（111）和（112）简单地具形式（选择其中线性组合的系数为零）I=5f（）5t=ft,（111）N=5g（）5x=gx,（112）于是（113）、（114）及（115）变为Ix=fxt+fxt,（113）Nt=gxt+gxt,（114）NI=fgxt.（115）将（113）与（115）代入（011）并移项,将（113）与（114）代入（012）并移项,分别得Ix+aNI=（f+afg）xt+fxt,（011）Nt-bIx=（g-bf）xt+（g-bf）xt.（012）为使（011）及（012）的右端为零,也即（111）及（112）满足方程（011）和（012）,我们置（011）和（012）中xt的系数为零,即f+afg=0,（117）g-bf=0,（118）和xt=0.（119）（117）和（118）有解f=-1abln,（1110）23兰州大学学报（自然科学版）32卷1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http:

/g=1aln.（1111）（119）有所谓通解=X（x）+T（t）,（1112）其中:

X（x）及T（t）为任意连续可微函数.将（1110）,（1111）以及（1112）代入（111）及（112）得（011）和（012）的精确解I=-1abTX+T,（1113）N=1aXaX+T.（1114）此外,我们还可将（011）和（012）化为一个二阶方程后,用齐次平衡方法,仍可得到结果（1113）和（1114）（见附录）.2初值边值问题我们考虑方程组（011）和（012）的初值边值问题5I5x=-aIN,x0,t0,（011）5N5t=b5I5x,（012）I（0,t）=I0（t）,（211）N（x,0）=N0（x）.（212）已知（1113）和（1114）满足方程（011）和（012）,现在确定T（t）及X（x）使（1113）和（1114）满足条件（211）和（212）.由（1113）当x=0时得I0（t）=-1abT（t）abX（0）+T（t）,（213）或者T（t）+abI0（t）T（t）=-abX（0）I0（t）.（213）（213）是T（t）的线性非齐次方程,其通解为T（t）=c1exp-abt0I0（）d-X（0）,（214）其中:

c1是待定常数.由（1114）当t=0时得N0（x）=1aX（x）aX（x）+T（0）,（215）或者X（x）-aN0（x）X（x）=aT（0）N0（x）.（215）（215）是X（x）的线性非齐次方程,其通解为其中:

c2是待定常数.将（214）和（216）代入（1113）得333期周宇斌等:

物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的粗确解1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http:

/I（x,t）=-1abc1-abI0（t）exp-abt0I0（）dc1exp-abt0I0（）d+c2expax0N0（）d-（X（0）+T（0）.（217）在上式中令x=0,由给定的边值（211）得I0（t）=I0（t）c1exp-abt0I0（）dc1exp-abt0I0（）d+c2-（T（0）+X（0）.由此应有c2=T（0）+X（0）.（218）将（214）及（216）代入（1114）得N（x,t）=1ac2aN0（x）expax0N0（）dac2expax0N0（）d+c1exp-abt0I0（）d-（X（0）+T（0）.（219）在上式中令t=0,由给定的初值（212）得N0（x）=N0（x）c2expax0N0（）dc2expax0N0（）d+c1-（T（0）+X（0）.由此应有c1=X（0）+T（0）.（2110）将（218）及（2110）代入（217）及（219）得初值-边值问题（011）,（012）,（211）和（212）的精确解:

I（x,t）=I0（t）exp-abt0I0（）dexpax0N0（）d+exp-abt0I0（）d-1,（2111）N（x,t）=N0（t）expax0I0（）dexpax0N0（）d+exp-abt0I0（）d-1.（2112）特别的,当I0（t）=I0=const,N0（x）=N0=const时,由（2111）和（2112）将得到文献1中的结果:

I（x,t）=I0exp-abI0texpaN0x+exp-abI0t-1,N（x,t）=N0（x）expaN0xexpaN0x+exp-abI0t-1.A附录本附录将方程组（011）和（012）化为二阶方程,用齐次平衡方法仍可得到结果（1113）和（1114）.为方便,现将问题重写如下:

43兰州大学学报（自然科学版）32卷1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http:

/5I5x=-aIN,x0,t0,（A11）5N5t=b5I5x,（A12）I（0,t）=I0（t）,（A13）N（x,0）=N0（x）.（A14）由（A11）得N=-1IxaI.（A15）（A15）式关于t求偏导得Nt=-1aIxtI-IxItI2.（A16）将（A16）代入（A12）得IxtI-IxIt+abI2Ix=0.（A17）下面我们用齐次平衡方法求解（A17）.设（A17）的解具如下形式I=5m+nf（）5xm5tn+=f（m+n）（）mxnt+（A18）由（A18）可计算出（A17）中的各项为IxtI=f（m+n+2）f（m+n）（2m+1）x+（2n+1）t+IxIt=（f（m+n+1）2（2m+1）x（2n+1）t+I2It=f（m+n）f（m+n+1）（3m+1）x（3n）t+（A19）为使（A17）中的各项能平衡,我们要求（A19）中的的偏导数的最高幂次相同,得2m+1=3m+1,2n+1=3n,m=0,n=1.于是I简单地具形式I=5f（）5t=f（）t.（A18）从而（A19）变为IxtI=ffx3t+2ffxt2t+ffxttt+f2xttt,IxIt=f2x3t+ffxttt+ffxt2t+f2xttt,I2Ix=ff2x3t+f3xt2t.（A19）将（A19）代入（A17）的左端合并的偏导数的同次幂项得IxtI-IxIt+abI2Ix=ff-f2+abff2x3t+ff+abf32t+f2（t55t+tt）xt.（A17）为使（A17）的右端为零,置33t的系数为零ff-f2+abff2=0,（A110）和xt=0.（A111）533期周宇斌等:

物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的粗确解1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http:

/解（A110）得f=-abln,（A112）由（A111）得（x,t）=X（x）+T（t）,（A113）将（A112）及（A113）代入（A18）得I=f（）t=-1abT（t）abX（x）+T（t）,（A114）将（A111）代入（A15）得N=1aX（x）X（x）+T（t）.（A115）结果（A114）及（A115）和（1113）及（1114）一致.参考文献1HungCheng.Anexactlysolvablenonlinearpartialdifferentialequationwithsolitary2wavesolutions.StudiesinApplMath,1984,70（3）:

1831882WangMingliang.ThesolitarywavesolutionsforvariantBoussinesqequations.PhysicsLettersA,1995,199:

1671723WangMingliang.ExactsolutionsforacompoundKdV2Burgersequation.PhysicsLettersA,1996