高考数学玩转压轴题专题22与三角形相关的范围问题.docx
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高考数学玩转压轴题专题22与三角形相关的范围问题
专题2.2与三角形相关的范围问题
一．方法综述
与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、方程与不等式思想、转化与化归思想求解．
二．解题策略
类型一结合基本不等式求解问题
【例1】在
中,若
=
则角
的最大值为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式利用基本不等式变形求出cosC的最小值，根据C为三角形的内角，求出C的最大值．
【举一反三】
1、【2018天津市耀华中学模拟】在
中，如果边
，
，
满足
，则
（）
A.一定是锐角B.一定是钝
角C.一定是直角D.以上情况都有可能
【答案】A
【解析】已知不等式两边平方得
，利用余弦定理
为三角形的内角，
，即
一定是锐角．
故选A
2、【2018江西省赣州市上高二中模拟】在
中，内角
所对边分别为
，若
，且
，则
的最小值为__________．
【答案】4
3、【2018河南省漯河市高级中学模拟】在
中，内角
的对边分别为
，已知
，
，则
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
，
得
，
，
，
则
，得
，
解得
，又
，
的范围是
。
类型二利用消元法求解问题
【例2】【2018重庆市第一中学模拟】在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，
，若
，
，则
的取值范围是__________．
【答案】
【指点迷津】利用正弦定理边化角，利用角的关系消元，利用辅助角公式求范围．
【举一反三】
1、在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，
，则
的最小值是__________．
【答案】
【解析】
，
，
当且仅当
时成立.
2、【2018浙江省镇海中学模拟】圆
上任意一点
，过点
作两直线分别交圆于
，
两点，且
，则
的取值范围为__________．
【答案】
【解析】在
中，由正弦定理得：
设
又
，所以
，
.
.
.
.
答案为：
.
3.【2018江苏省丹阳高级中学模拟】在锐角三角形ABC中，
的最小值为____．
【答案】25
，当且仅当
，即
时取等号.
类型三与三角形的周长有关的最值问题
【例3】【河南省豫南豫北2018届高三第二次联考】已知锐角
的内角
的对边分别为
，其外接圆半径为
，则
的周长的取值范围是__________．
【答案】
【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：
全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值.
【举一反三】
1、【2018四川省宜宾市模拟】在
中，
，
，
分别是角
，
，
的对边，且
，
，那么
周长的最大值是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
2、【2018广西联考】在
中，角
，
，
所对应的边分别为
，
，
，若
，
，则当角
取得最大值时，三角形的周长为（）
A.
B.
C.3D.
【答案】A
【解析】在△ABC中，由正弦定理得：
∵
∴A为钝角．∴
，
由
，
可得
，
tanB=﹣
=
=
≤
=
，
当且仅当tanC=
时取等号．∴B取得最大值
时，
∴
．
∴a=2×
=
．∴a+b+c=2+
．故答案为：
2+
．
类型四与三角形面积有关的最值问题
【例4】【2018湖北省襄阳市四校联考】在
中，
分别为内角
的对边，若
，且
，则
的面积的最大值为__________．
【答案】
【指点迷津】本题综合性较大，且突破了常规性，即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边，所以在解题中要熟练地对所得中间结论的变形，如在本题中
要在
的基础上在利用正弦定理得到
。
对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用，运用不等式时，不要忘了基本不等的使用条件。
【举一反三】
1、【2018山东省德州市模拟】在
中，
分别为内角
的对边，
，则
面积的最大值为__________．
【答案】
2、
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，已知
，且
，则
面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】根据
由正弦定理可得，
，可得
，
中，
根据余弦定理
，可得
，化简可得
，
，
，由此可得
，当且仅当
时等号成立，
面积
，综上所述，当且仅当
时，
面积
最大值为
，故答案为
.
3、如图半圆
的半径为1，
为直径
延长线上一点，且
，
为半圆上任意一点，以
为一边作等边三角形
，则四边形
面积最大值为___________.
【答案】
类型五与三角形解的个数有关的最值问题
【例5】在
中，角
的对边分别为
，
，若符合条件的三角形有两解，则
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
又
，则
，则
，
由
，所以
.
【指点迷
津】本题主要考查了三角形问题的求解，其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的应用，三角形的内角和定理等知识点的应用，试题比较基础属于
基础题，解答中熟记三角形的正弦
定理的边角互化和合理应用是解答的关键.
【举一反三】
1、【2018山东省济南外国语学校模拟】在
中，内角
所对的边分别为
，已知
，如果这样的三角形有且只有一个，则
的取值范围为________.
【答案】
或
【解析】试题分析：
由题意得，在
中内角
所对的边分别为
，由
，所以
，所以当
或
时，此时满足条件的三角形只有一个．
2、已知
分别为
的三个内角
的对边，已知
，若满足条件的三角形有两个，则
的取值范围是_____.
【答案】
三．强化训练
1．在
中，
，在边
上存在一点
，满足
，作
，
为垂足，若
为
的最小内角，则
的取值范围是__________．
【答案】
2.【2018江苏省常州市武进模拟】
中，若
、
、
依次成等比数列，则
的取值范围为________.
【答案】
【解析】由已知得
，则
即
的取值范围是
故答案为
3.已知
分别为
内角
的对边，
成等比数列，当
取最大值时，则
的值为_________.
【答案】
4.【2018河南省豫北豫南名联考】在
中，若
，则
的最大值为__________．
【答案】
【解析】
，
，
若
，则
均为钝角，不可能，故
，
的最大值为
，故答案为
.
5、已知平面四边形
是由
与等腰直角
拼接而成，其中
，
，
，则当点
到点
的距离最大时，角
的大小为__________．
【答案】
【解析】
如图，
，
，则
，
所以
，
所以当
时，
最大，即角
的大小为
。
6.【2018河北省衡水第一中学模拟】在
中，角
的对边分别为
，且
，若
的面积为
，则
的最小值为__________．
【答案】3
7、【2018江西省南城县第一中学模拟】在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且满足
，若
，则
的最小值为__________．
【答案】
【解析】由
得
由
，得
，所以
因此
，即
的最小值为
8.【2018云南省师范大学附属中模拟】在
中，
为
上一点，且
，
，
为
的角平分线，则
面积的最大值为__________.
【答案】
9.已知
分别为
的三个内角
的对边，
=2，且
，则
面积的最大值为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由正弦定理得:
即
由余弦定理得:
又
当且仅当
时取等号,此时
为正三角形,则
的面积的最大值为
故选A.
10、【2018河北省衡水中学模拟】已知
的内角
的对边分别是
，且
，若
，则
的取值范围为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
11、【2018江西省南昌市莲塘一中模拟】在锐角
三角形中，
分别是内角
的对边，设
，则
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
由正弦定理
得：
，
为锐角，即
，且
为锐角，
所以
，即
，
，则
的取值范围是
，故选A.
12.【2018四川省绵
阳市模拟】已知
，且满足
，如果存
在两条互相垂直的直线与函数
的图象都
相切，则
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
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