高考数学玩转压轴题专题22与三角形相关的范围问题.docx

1、高考数学玩转压轴题专题22与三角形相关的范围问题专题2.2 与三角形相关的范围问题一方法综述与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、方程与不等式思想、转化与化归思想求解二解题策略类型一 结合基本不等式求解问题【例1】在中,若=,则角的最大值为A. B. C. D. 【答案】C【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式利用基本不等式变形求出cosC的最小值，根据C为三角形的内角，求出C的最大值【举一反三】1、【2018天津市耀华中学模拟】在中，如果边， ， 满足，则（

2、 ）A. 一定是锐角 B. 一定是钝角 C. 一定是直角 D. 以上情况都有可能【答案】A【解析】已知不等式两边平方得，利用余弦定理 为三角形的内角， ，即一定是锐角故选A2、【2018江西省赣州市上高二中模拟】在中，内角所对边分别为，若，且，则的最小值为_【答案】4 3、【2018河南省漯河市高级中学模拟】在中，内角的对边分别为，已知， ，则的取值范围是_【答案】【解析】，得， ， ，则，得，解得，又，的范围是。类型二 利用消元法求解问题【例2】【2018重庆市第一中学模拟】在中，角， ， 的对边分别是， ， ，若， ，则的取值范围是_【答案】【指点迷津】利用正弦定理边化角，利用角的关系消元

3、，利用辅助角公式求范围【举一反三】1、在中，角， ， 的对边分别为， ， ，若， ，则的最小值是_【答案】【解析】， ， , , 当且仅当时成立.2、【2018浙江省镇海中学模拟】圆上任意一点，过点作两直线分别交圆于， 两点，且，则的取值范围为_【答案】【解析】在中，由正弦定理得： ,设又，所以，.答案为： .3. 【2018江苏省丹阳高级中学模拟】在锐角三角形ABC中， 的最小值为_【答案】25 ，当且仅当，即 时取等号. 类型三 与三角形的周长有关的最值问题【例3】【河南省豫南豫北2018届高三第二次联考】已知锐角的内角的对边分别为，其外接圆半径为，则的周长的取值范围是_【答案】【指点迷津

4、】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值.【举一反三】1、【2018四川省宜宾市模拟】在中， ， ， 分别是角， ， 的对边，且， ， 那么周长的最大值是A. B. C. D. 【答案】C 2、【2018广西联考】在中，角， ， 所对应的边分别为， ， ，若， ，则当角取得最大值时，三角形的周长为（ ）A. B. C. 3 D. 【答案】A【解析】在ABC中，由正弦定理得： A为钝角，由，可得，tan

5、B=，当且仅当tanC=时取等号B取得最大值时，a=2=a+b+c=2+故答案为：2+类型四 与三角形面积有关的最值问题【例4】【2018湖北省襄阳市四校联考】在中， 分别为内角的对边，若，且，则的面积的最大值为_【答案】【指点迷津】本题综合性较大，且突破了常规性，即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边，所以在解题中要熟练地对所得中间结论的变形，如在本题中要在的基础上在利用正弦定理得到。对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用，运用不等式时，不要忘了基本不等的使用条件。【举一反三】1、【2018山东省德州市模拟】在中， 分别为内角的对边， ，则面积的最大值为_【答案】 2、中，内角， ，

6、所对的边分别为， ， ，已知，且，则面积的最大值是_【答案】【解析】根据由正弦定理可得， ，可得 ， 中， 根据余弦定理，可得，化简可得， ， ，由此可得，当且仅当时等号成立， 面积，综上所述，当且仅当时， 面积最大值为，故答案为.3、如图半圆的半径为1， 为直径延长线上一点，且， 为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形，则四边形面积最大值为_.【答案】类型五 与三角形解的个数有关的最值问题【例5】在中，角的对边分别为， ，若符合条件的三角形有两解，则的取值范围是_【答案】【解析】 因为，所以， 又，则，则， 由，所以.【指点迷津】本题主要考查了三角形问题的求解，其中解答中涉及到正弦定理在解三

7、角形中的应用，三角形的内角和定理等知识点的应用，试题比较基础属于基础题，解答中熟记三角形的正弦定理的边角互化和合理应用是解答的关键.【举一反三】1、【2018山东省济南外国语学校模拟】在中，内角所对的边分别为，已知，如果这样的三角形有且只有一个，则的取值范围为_.【答案】或【解析】试题分析：由题意得，在中内角所对的边分别为，由，所以，所以当或时，此时满足条件的三角形只有一个2、已知分别为的三个内角的对边，已知，若满足条件的三角形有两个，则的取值范围是_.【答案】三强化训练1在中， ，在边上存在一点，满足，作， 为垂足，若为的最小内角，则的取值范围是_【答案】 2. 【2018江苏省常州市武进模

8、拟】中，若、依次成等比数列，则的取值范围为_.【答案】【解析】由已知得，则即的取值范围是故答案为3. 已知分别为内角的对边，成等比数列，当取最大值时，则的值为_.【答案】 4. 【2018河南省豫北豫南名联考】在中，若，则的最大值为_【答案】【解析】， ， 若，则均为钝角，不可能，故， 的最大值为，故答案为.5、已知平面四边形是由与等腰直角拼接而成，其中， ， ，则当点到点的距离最大时，角的大小为_【答案】【解析】如图， ， ，则，所以，所以当时， 最大，即角的大小为。6. 【2018河北省衡水第一中学模拟】在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为_【答案】3 7、【2018江西省南

9、城县第一中学模拟】在中，角， ， 的对边分别为， ， ，且满足，若，则的最小值为_【答案】【解析】由得由，得，所以因此，即的最小值为8. 【2018云南省师范大学附属中模拟】在中， 为上一点，且， ， 为的角平分线，则面积的最大值为_.【答案】 9. 已知分别为的三个内角的对边， =2，且，则面积的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由正弦定理得: ,即,由余弦定理得: , ,又,当且仅当时取等号,此时为正三角形,则的面积的最大值为,故选A.10、【2018河北省衡水中学模拟】已知的内角的对边分别是，且，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 11、【2018江西省南昌市莲塘一中模拟】在锐角三角形中， 分别是内角的对边，设，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由正弦定理得： ， 为锐角，即，且 为锐角， ,所以，即，则的取值范围是，故选A.12. 【2018四川省绵阳市模拟】已知，且满足，如果存在两条互相垂直的直线与函数的图象都相切，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B